ADMM算法原理

ADMM算法原理
ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一
种用于求解凸优化问题的迭代算法，由Gabrielu Eidelman和Arkady Nemirovsky于1970年代提出。

它是由Douglas和Rachford的交替方向
乘子法与广义拉格朗日对偶的结合所形成的。

```
minimize f(x) + g(z)
subject to Ax + Bz = c
```
其中，f(x)是只涉及变量x的凸函数，g(z)是只涉及变量z的凸函数，Ax+Bz=c是线性约束条件。

算法的迭代过程可以分为三个步骤：
1.优化x：固定z和y，对x优化。

2.优化z：固定x和y，对z优化。

3.更新乘子：更新乘子y。

下面对ADMM算法的原理进行详细说明。

1.优化x：
在这一步骤中，要求解下面的优化问题：
```
minimize f(x) + (ρ/2)，Ax + Bz - c + y，^2
```
其中，y为乘子，ρ为非负的参数。

这个问题实质上是目标函数f(x)加上一个关于线性约束的罚函数。

通过最小化这个问题，可以得到每次迭代中的最优解x*。

将这个解
x*固定下来，进入下一步骤。

2.优化z：
在这一步骤中，要求解下面的优化问题：
```
minimize g(z) + (ρ/2) ，Ax + Bz - c + y，^2
```
这个问题与第一步骤中的优化问题类似，只是目标函数变为了g(z)。

通过最小化这个问题，可以得到每次迭代中的最优解z*。

将这个解
z*固定下来，进入下一步骤。

3.更新乘子：
在这一步骤中，要更新乘子y。

更新的过程是通过将x和z替换到线
性约束中得到的：
```
y=y+ρ(Ax+Bz-c)
```
至此，一个迭代过程完成。

然后，根据设定的停止准则（例如误差小于一些阈值）判断是否终止算法，否则继续进行下一次迭代。

总结来说，ADMM算法是一种用于求解凸优化问题的迭代算法，通过交替优化各个子问题来求解原问题。

它的基本思想是将复杂的问题分解为多个子问题，并通过协调它们的解来达到求解原问题的目的。

ADMM算法具有良好的收敛性和稳定性，在实际应用中得到广泛的应用。