年湖南省岳阳市中考数学试题

A C
B
D 2010年湖南省岳阳市初中毕业学业考试
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，）
1．下列运算正确的是（）
A ．a 2·a 3＝a 6
B ．(a 2)3＝a 6
C ．2x (x ＋y )＝x 2＋xy
D ．9＋2＝3 2 2．下面给出的四个命题中，是假命题的是（） A ．如果a ＝3，那么|a |＝3 B ．如果x 2＝4，那么x ＝2
C ．如果(a －1)(a ＋2)＝0，那么a －1＝0或a ＋2＝0
D ．如果四边形ABCD 是正方形，那么它是矩形
3．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
4．如图，是一个正五棱柱，作为该正五棱柱的三视图，下列四个选项中，错误的一个是（）
5．将不等式组⎩⎨⎧x ＋2≥0
2－x ＞0
的解集在数轴上表示，正确的是（）
2
-2
A 2
-2
B 20
-2C
2
0-2
D
6．如图，要使△ABC ≌△ABD ，下面给出的四组条件中，错误的一组是（）
A ．BC ＝BD ，∠BAC ＝∠BAD
B ．∠
C ＝∠
D ，∠BAC ＝∠BAD C ．∠BAC
D ．BC ＝BD ，AC ＝AD 710个图案中的最下面一行从左至右的第2
8．如图，⊙O 的圆心在定角∠α(0°＜α＜180°)的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r (r ＞0)变化的函数图像大致是（）
第一个图案 第二个图案
第三个图案
第四个图案
第五个图案
A ．． A
B C
D
A B C
D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．因式分解：x 3y －xy 3＝．
10．岳阳洞庭湖大桥路桥全长10173.8m ，这个数据用科学记数法表示(保留3位有效数字)
为．
11．幼儿园的小朋友打算选择一种．．．．
形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板(填三种)． 12．如图，我国南方一些地区农民戴的斗笠是一个底面圆半径为24cm ，高为413cm 的圆椎
形，这个斗笠的侧面积是(用含π的数表示)．
13．二氧化碳的密度ρ(kg/m 3)关于其体积V (m 3)的函数关系式如图所示，那么函数关系式是．
14．据第二次全国经济普查资料修订及各项数据初步核算，岳阳市GDP 从2007年的987.9
亿元增加到2009年的1272.2亿元．设平均年增长率为x ，则可列方程为．
15．如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高．AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得点
D 的仰角为α，从A 点测得点D 的仰角为β．已知甲乙两建筑物之间的距离为a ，甲建
筑物的高AB 为(用含α、β、a 的式子表示)．
16．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AD ，∠A ＝60°，AD ＝2，梯形ABCD 的面
积为(结果保留根号)．
三、解答题（本大题共10小题，满分72分）
17．(6分)计算：2－
1＋0.252010×42010－(π＋13
)0＋sin30°．
18．(6分)先化简，再计算：(1＋23-a )÷4
12-+a a ，其中a ＝2－3．
19．(6分)解方程：24-x －2
-x x
＝1．
3) 0.5
)
B C
C D C 1 20．(6分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，D 为AC 的中点，以BD 为折
痕，将△BCD 折叠，使得C 点到达C 1点的位置，连接AC 1． 求证：四边形ABDC 1是菱形．
21．(6分)在一次课外活动中，李聪、何花、王军三位同学准备跳绳，他们约定用“抛硬
币”的游戏方式来确定哪两位同学先用绳(如图)．
(1)请将下面表示游戏一个回合所有可能出现结果的树状图补充完整；
(2)求一个回合能确定两位同学先用绳的概率．
开始
正面
李聪 正面 正面 荷花 正面
王军
不 确 定
确 定
22．(8分)农历五月初五，汨罗江龙舟赛渡．甲、乙两队在比赛中龙舟行驶路程y (m )和行驶
时间t (s )之间的函数关系如图所示．根据所给图像，解答下列问题： (1)请分别求出甲、乙两队行驶路程y 与时间t (t ≥0)之间的函数关系； (2)出发后，t 为何值时，甲、乙两队行驶的路程相等？
23．(8分)几年来，岳阳经济快速发展，居民收入不断提高．根据统计部门统计，绘制了
2005年～2009年岳阳市居民人均纯收入和农村居民人均纯收入的条形统计图(如图①)． 农村居民人均纯收入占全市居民人均纯收入的大致比例统计表(单位：元)
(1)请你根据图①提供的信息将上表补充完整；
(2)请在图②中，将年度农村居民人均纯收入占全市居民人均纯收入的比例，绘制成折线统计图．
A A A A
B B B B
C C C C
D D
D D O O O O
E E E E F
F F
F G
G
G H G
H 图① 图② 图③ 图④
24．(8分)某货运码头，有稻谷和棉花共2680t ，其中稻谷比棉花多380t ．
(1)求稻谷和棉花各是多少？
(2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷35t 和棉花15t 可装满一个甲型集装箱；稻谷25t 和棉花35t 可装满一个乙型集装箱．按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？
25．(8分)已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．
(1)当点E 为DB 上任意一点(点D 、B 除外)时，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，AF 与CD 的延长线交于点G (如图①)．求证：AC 2＝AG ·AF ．
(2)李明证明(1)的结论后，又作了以下探究：当点E 为AD 上任意一点(点A 、D 除外)时，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，连接AF 并延长与CD 的延长线在圆外交于点G ，CG 与⊙O 相交于点H (如图②)．连接FH 后，他惊奇的发现∠GFH ＝∠AFC ．根据这一条件，可证GF ·GA ＝GH ·GC ．请你帮李明给出证明．
(3)当点E 为AB 的延长线上或反向延长线上任意一点(点A 、B 除外)时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题(1)、(2)的结论(两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外)(不要求证明)．
26．(8分)如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．
(1)求C1点的坐标；
(2)求经过三点O、A、C`的抛物线的解读式；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线
BF的解读式；
(4)抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF∶S△OAB＝16∶3．若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
x
岳阳市2010年初中毕业学业考试试卷数学参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．A 6．A 7．C 8．C 二、填空题
9．xy (x ＋y )(x －y ) 10．1．02×104 11．正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形(写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分) 12．672πcm 2
13．ρ＝
99
v
14．978．9(1＋x )2＝1272．2 15．a (t a nα－t a nβ) 16．三、解答题
17．解:原式＝12＋(0．25×4)2010－1＋12
＝12＋1－1＋12
＝1
18．解:原式＝(
22a a --＋32a -)×(2)(2)
1
a a a +-+ ＝12a a +-×(2)(2)1
a a a +-+ ＝a ＋2
把a 33＋2 1 19．解：去分母，得4－x ＝x －2 (4分) 解得：x ＝3 (5分)
经检验：x ＝3是原方程的解．(6分)
20．证法一：(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) ∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，D 为AC 的中点， ∴BD ＝CD ＝AD ∵∠BAC ＝60°
∴△BDA 为等边三角形
∴BD ＝BA
根据折叠可知CD ＝DC`∠C ＝∠BC`D ＝30° ∵BD ＝CD
∴∠C ＝∠CBD ＝30° ∵∠CBD ＝∠C`BD ∴∠C`BD ＝30°
∴∠BC`D ＝∠C`BA ＝30° ∴DC`∥BA 又DC`＝CD CD ＝BD ＝BA ∴DC`＝BA
∴四边形DBAC`为平行四边形 又BD ＝BA
∴平行四边形DBAC`为菱形
证法二：(四条边相等的四边形是菱形)
∵Rt △ABC 中，D 为AC 的中点 ∴BD ＝CD ＝AD ＝
1
2
AC 又∠BAC ＝60° ∴△BDA 为等边三角形
∴BD ＝BA ＝AD 根据折叠可知△CBD ≌△C`BD ∴CD ＝C`D ∵∠BAC ＝60° ∴∠C ＝30° ∵CD ＝BD
∴∠C ＝∠CBD ＝30° 又∠DBC`＝∠CBD ＝30° ∴∠ABC`＝30° ∴∠ABC`＝∠DBC`
∵DA ＝BA ，BC`为公共边 ∴△BDC`≌△BAC`
∴C`D ＝AC`又CD ＝BD ∴C`D ＝BD ＝BA ＝AC` ∴四边形DBAC`为菱形
21．解：(1)补充树状图：
(2)P (确定两人先用绳)＝
34
22．解：(1)设甲队在0≤t ≤500的时段内y 与t 的函数关系式为y ＝k 甲t 由图可知，函数图象经过点(500，1200) ∴500k 甲＝1200 ∴k 甲＝2．4
∴甲对y 与t 的函数关系式为y ＝2．4t
(2)设乙队在0≤t ≤200的时段内y 与t 的函数关系式为y ＝k 乙t 由图可知，函数图象经过点(200，400) ∴200k 甲＝400 ∴k 乙＝2 ∴y ＝2t ；
设乙队在200≤t ≤450的时段内y 与t 的函数关系式为y ＝a t ＋b 由图可知，函数图象经过点(200，400)，(450，1200)
∴2004004501200a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得a ＝3．2 b ＝－240
∴y ＝3．2t －240
∴乙对y 与t 的函数关系式为y ＝2(0200)
3.2240(200450)t t t t ≤≤⎧⎨-<≤⎩
(2)由题意得：2．4t ＝3．2t －240 解得t ＝300
∴当t 为300秒时，甲、乙两队行驶的路程相等．
24．(1)解：设稻谷为x t ，棉花为y t ．根据题意，可列方程
2680380x y x y +=⎧⎨
-=⎩解得1530
1150x y =⎧⎨=⎩
答：稻谷、棉花分别为1530吨、1150吨．
(2)解：设安排甲型集装箱x 个，乙型集装箱(50－x )个． 根据题意，可得3525(50)1530
1535(50)1150x x x x +-≥⎧⎨
+-≥⎩
解得28≤x ≤30
又因为x 为整数∴x ＝28、29、30 ∴共有三种方案
方案一：安排甲型集装箱28个，乙型集装箱22个 方案二：安排甲型集装箱29个，乙型集装箱21个 方案三：安排甲型集装箱30个，乙型集装箱20个． 25．(1)证明：延长CG 交⊙O 于H ，
∵CD ⊥AB ∴AB 平分CH ∴弧CH ＝弧AH ∴∠ACH ＝∠AFC 又∠CAG ＝∠FAC △AGC ∽△ACF ∴
AG AC ＝AC
AF
即AC 2＝AG·AF
(2)∵CH ⊥AB ∴弧AC ＝弧AH ∴∠AFC ＝∠ACG 又∠AFC ＝∠GFH ∴∠ACG ＝∠GFH 又∠G ＝∠C ∴△GFH ∽△GCA ∴
GF GC ＝GH
GA
∴GF·GA ＝GC·CH
(3)CD 2＝AD·DB AC 2＝AD·AB EF·EC ＝EA·EB AF·GA ＝AD·AB
26．(1)C`(3
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解读式为y＝ax2＋b x
把A(2，0)，C`(3
带入，得
420
93
a b
a b
+=
⎧⎪
⎨
+=
⎪⎩
a
b
∴抛物线解读式为y
＝
3x2
－
3
x
(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°又AB＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F(－2，0)设直线BF的解读式为y＝k x＋b
把B(1
，F(－2，0)
带入，得
20
k b
k b
⎧+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
解得k
b
∴直线BF的解读式为y
(4)①当M在x轴上方时，存在M(x
2
)
S△AMF：S△OAB＝[1
2
×4×
(
3
x2
－
3
x)]：[
1
2
×2×4]＝16：3
得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2
当x1＝4时，y
42
×4
当x1＝－2时，y
(－2)2
(－2)
∴M1(4
，
3)，M2(－2
，
3
)
②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x
，
3x2
－
3
x)
S△AMF：S△OAB＝[－1
2
×4×
2
x)]：[
1
2
×2×4]＝16：3
得x2－2x＋8＝0，b2－4a c＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M1(4
，
3)，M2(－2
，
3
)．。