4专升本 第八章 多元函数微分学

处偏导连续,
则复合函数 且有链式法则 z z u z v x u x v x
在点（x,y）可导,
z z u z v y u y v y
z
u v
x y x y
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例1、求下列函数的全微分。 x 1. z xy . y 答案： z y 1 , z x x2 ,
121
二. 填空题
z z 在点 z f ( x , y ) 的偏导数 1. （10年，2分）“函数 , x y z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) ( x , y ) 存在”是“函数
可微分”的______条件.
答案：必要非充分条件
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真题赏析
第八章 多元函数微分学
第一部分 多元函数微分法 第二部分 多元函数微分法的应用
第一部分
大纲要求：
多元函数微分法
一、理解偏导数、全微分的概念，知道全微 分存在的必要条件与充分条件。
二、会求二元函数的全微分。 三、掌握复合函数一阶偏导数的求法。
一、二元函数的全微分
1、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量
(dx2 dy 2 )
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真题赏析
一. 选择题
3. （09年，1分）二元函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处存在 偏导数是 f ( x , y ) 在该点可微分的（ ）. 答案：A
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C . 必要且充分条件 D. 既不必要也不充分条件
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3. （06年，4分）设 z sin( xy ) ln( x 2 xy y ),
2 2
求 dz |(2,0) . 答案： dz |( 2, 0 ) dx dy
4. （05年，5分）设 z 2 , 求 dz.
y y y ln 2 x ln 2 x 答案： dz 2 dx 2 dy 2 x x
三. 计算题
y 1. （09年，5分） 求函数 w x sin e y 的全微分. 2
1 y 答案：dw dx ( cos e y )dy 2 2
2. （08年，5分） 求二元函数 z x 3 y xy 3 的全微分. 答案： dz (3 x 2 y y 3 )dx ( x 3 3 xy 2 )dy
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3、重要关系:
各偏导数存在
函数连续 函数可微
偏导数连续
(一元函数)导数存在
函数可微
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函数连续
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二、二元函数复合函数的求导法则
1、一元函数与多元复合函数复合的情形
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
z f (u, v)
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
称为全导数。
z
u v
t t
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2、多元函数与多元复合函数复合的情形
定理. 若函数 u ( x, y), v ( x, y)都在点 ( x, y )具有对
x 及 y 的偏导数,
z f (u, v)在相应点
x y x y
eu sin v
eu cos v 1
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dz . 例3. 设 z arcsin( x y), 而x 3t , y 4t , 求全导数 dt
2
解:
z
u v
t t
d z z d u z dv d t u d t v d t 1 1 3 8t 2 1 ( x y) 1 ( x y)2
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
x 2 y 2 z 2 x 2 cos y x 2 y 2 x 4 sin 2 y
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z z 例2. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
z y
u
e cos v 1
z v v y
u
z
u v
f '2 (u, v) f v (u, v)
w x w y
w z
w v v x
y z f1 yzf 2 f2
f 2 xz 2 f1 xzf 2
f 2 x y 3 f1 x yf 2
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x y y y z z 1 x dz dx dy ( y )dx ( x 2 )dy. x y y y
2. z sin( x2 y ).
答案： z 2 x cos( x 2 y), z cos( x 2 y),
x y z z dz dx dy 2 x cos( x 2 y)dx cos( x 2 y)dy. x y
y
2ye
x2 y2 z 2
4
2 z e
2 ( y x sin y cos y ) e
结束
3 8t 1 ( x 4t 2 ) 2
.
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例4. 求下列函数的偏导数 (其中f 具有二阶连续偏导数).
解: 令 u x 2 y 3z , v x yz , 则 w f (u, v) 记 f '1 (u, v) fu (u, v)
z （ x
）. 答案：A
D. e xy
2. （07年，3分）已知 z e
A. 2e C. e x
2
x2 y 2
, 则 dz （
( xdy ydx)
）.
x2 y 2
( xdx ydy)
B. 2e
x2 y 2
y
2
( xdx ydy)
答案：A
D. 2e
x2 y 2
解：
z x
z y
f 2 2 xy y 2 f1 2 xy f 2
f 2 x 2 2 xyf1 x 2 f 2
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真题赏析
一. 选择题
xy
1. （08年，3分）已知 z e 则
A. ye xy B. xe xy C. xye xy
可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
y x
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5. （07年，5分）
设 u f ( x, y , z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe x
2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
y z
2
2
2z e
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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2、可微分的条件
(1)必要条件： 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 必存在,且有
则该函数在该点的偏导数
z z dz dx dy x y
(2)充分条件：
z z 若函数 的偏导数 , x y 在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.