重庆市2013届高三数学3月月考试题理新人教A版

① 2013 [3] ；
② 2 [2] ；
③ Z [0] [1] [2] [3] [4] ；
④ 整数 a, b 属于同一 “类 ”的充要条件是 “a b [0] ”．
其中，正确结论的个数为（
）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
x2 y2
10．双曲线 a 2
b2
1(a 0, b 0)
的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e，过 F2 的直
（Ⅲ） X 的所有可能取值为 0,1,2,3 .
1
P( X 0)
所以
4，
……………………分７ ……………………分８
P( X 1) P ( A1 A2 A3) P (A1 A2 A3) P ( A1 A2 A3)
1 1 1 3 1 2 1 11 4 2 3 4 2 3 4 24 ，
P( X 2) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3) P ( A1 A2 A3)
4
江津八中高三考试
数学（理科）
参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
答案 B
A
D
二、填空题 ．
题号 11
12
答案 20
33 2
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
A
D
C
D
13
4 0c .
3
14
15
16
3 3 x 8 2 3， 3．
三、解答题 17．（本小题共 13 分）
x k + ,k Z
（Ⅰ）因为 cosx 0 ，所以
20.（本小题共 12 分）
1
f (x)= a
（பைடு நூலகம்）
x
3 1 24
……………… 分 13
…………………分１
7
f (1)= a+1 ， kl =f (1)=1 a ，所以切线 l 的方程为
y f (1)=kl (x 1) ，即 y=(1 a)x ．
…………………分３
（
Ⅱ
）
令
F(
x)
=f
，(x ，
则a
11 概率分别为 2 ? 3 ? p ，且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概
1 率为 4 ．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求 p 的值；
（Ⅲ）设甲 ?乙 ?丙三人中破译出密码的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 EX ．
3
20．（本小题共 12 分）已知函数 f (x) ln x ax+1 ， a R 是常数． （Ⅰ）求函数 y f (x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程； （Ⅱ）证明：函数 y f (x) (x 1) 的图象在直线 l 的下方； （Ⅲ）讨论函数 y f (x) 零点的个数．
14.(坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，参数方程为
3
x2
t
2 ( t为参数）
1
yt
2
的
直线 l ，被以原点为极点、 x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为
2 cos 的曲线 C 所截，
则得的弦长是
．
15.( 不等式选讲选做题）设函数
f ( x) | x 4| | x a | (a ＞ 1) ，且 f ( x) 的最小值为 3 ，若
即 D 为 AC 中点时 , A1B 的长度最小 ,最小值为 3 3 ． …………………分14
19．（本小题共 13 分）
记“甲、乙、丙三人各自破译出密码 ”分别为事件 A1 , A2 , A3 ，依题意有
1
1
P( A1)
, P ( A2 ) 2
, P ( A3 ) 3
p,
且
A1, A2 , A3 相互独立
f (x)
17．（本小题共 13 分）已知函数
cos x
．
（Ⅰ）求 f ( x) 的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [
,] 6 4 上的最大值和最小值．
18．（本小题共 13 分）如图 1，在 Rt ABC 中， C 90 ，
A
BC 3， AC 6 ． D ? E 分别是 AC ? AB 上的点，且
.
6
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
12 2 1 P ( A1 A2 ) 1 2 3 3 .
…………………分３
（Ⅱ）设 “三人中只有甲破译出密码 ”为事件 B ，则有
12
1p
P( B ) P (A1 A2 A3) ＝ 2 3 (1 p)
3，
…………………分５
1p 1
1
p
所以 3 4 ， 4 .
x
F ( x)= 1 1= 1 (1 x) ， 解 F ( x)=0得x=1. xx
x
(0 , 1) 1
(1 , )
F ( x)
0
F (x) ↗
最大值 ↘
…………………分６
F (1)<0 ，所以 x >0 且 x 1 ， F ( x)<0 ， f ( x)<(1 a)x ，
即函数 y=f ( x)( x 1) 的图像在直线 l 的下方．
江津八中 2013 届高三考试数学（理科）
一、选择题
1．设集合 U {1,2,3,4} ， A {1,2} ， B {2,4} ，则 (CU A) B （ ）
A． {1,2}
B． {2，3, 4}
C． {3, 4}
D． {1,2,3,4}
Z2
2．若复数 Z1 i ， Z 2 3 i ，则 Z1 （
）
）
A． 3000
B．2009
C． 2008
D． 2007
5．设 m, n 是不同的直线， , 是不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若 m / / ,n , m n ，则
B．若 m / / , n , m n ，则 / /
C．若 m / / ,n , m / / n ，则 ⊥
D．若 m / / , n , m / / n ，则 / /
6．执行右面的框图，若输出结果为 3，
则可输入的实数 x值的个数为（
）
A． 1
B．2
C． 3
D． 4
开始
输入 x
x>2
是
否
y= x2-1
y=log 2 x
输出 y
7．若从 1, 2, 3, … , 9 这 9 个整数中同时取 4 个
不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（
）
A． 60 种
B．63 种
5
A1D DE .又 A1D CD , CD DE D , A1D 面 BCDE . 由 BC 面 BCDE , A1D BC.
BC CD ,CD BC C , BC 面 A1DC . ………………………分…４
（Ⅱ）如图 ,以 C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………分５
D(2,0,0), E (2,2,0), B(0,3,0), A1(2,0,4) ．
4 ，所以 12
44
……………分５ ……………分７
……………分９
2x当4
x 4 时，即
4 时， f (x) 的最大值为 2 ；
…………… 分11
2x- -
x
当 4 2 时，即
8 时， f ( x) 的最小值为 - 2+1 .
……… 1分3
18．（本小题共 13 分）
（Ⅰ）证明： 在△ ABC 中， C 90 , DE // BC, AD DE
数是 7 ，则 n
12．在 ABC中，若 a 2 ， B 60 ， b 7 ，则 BC 边上的高等于
．
f ( x)
13．已知函数
1 x3 3
bx 2
c. (b, c 为常数），当 x
2 时，函数 f (x) 取得极值，若函
数 f (x) 只有三个零点，则实数 c 的取值范围 ______.
选做题（ 14—16 题，考生只能从中选做两题）
…………………分８
ln x+1 （Ⅲ）令 f (x)=ln x ax+1 =0 ， a= x .
ln x+1
ln x+1 1 (ln x+1) ln x
z
A1
设 n (x, y, z) 为平面 A1BC 的一个法向量， 因为 CB (0,3,0), CA1 (2,0,4)
3y 0 所以 2 x 4z 0 ， 令 x 2，得 y=0, z= 1. 所以 n (2,0, 1) 为平面 A1BC 的一个法向量．
x
D
C
E
yB
……………………分７
设 BE 与平面 A1BC 所成角为 ．
线与双曲线的右支交于 A、 B 两点，若△ F1AB是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2
的值是（
）
A． 1 2 2
B． 3 2 2
C． 4 2 2
D． 5 2 2
二、填空题 11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸
奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、 10 种、 35 种、 25 种不同的品牌．现采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测， 若抽取的婴幼儿奶粉的品牌
A
DE / / BC ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1D CD ，如图 2 ． （Ⅰ）求证： BC 平面 A1DC ；
DC
D
C
E
E
B
B
图1
图2
（Ⅱ）若 CD 2 ，求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）当 D 点在何处时， A1B 的长度最小，并求出最小值．
19．（本小题共 13 分）甲 ?乙 ?丙三人独立破译同一份密码， 已知甲 ?乙 ?丙各自破译出密码的
sin = cos BE n
则
4
4
5 5 5．
4 所以 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 5 ．
…………………分９
（Ⅲ）设 D ( x,0,0) ,则 A1( x,0,6 x)，
A1B (x-0) 2 (0-3) 2 (6- x-0) 2
2x2-12x 45
…………………分 12
当 x=3 时 , A1B 的最小值是 3 3 ．
21．（本小题共 12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在
x 轴上，离心率为
3 2 ，且经过点
M (4,1) ，直线 l : y x + m 交椭圆于不同的两点 A ? B ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求 m 的取值范围；
（Ⅲ）若直线 l 不过点 M ，求证：直线 MA ? MB 的斜率互为相反数．
22．（本小题共 12 分）定义：如果数列 { an} 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长， 则称 { a n} 为 “三角形 ”数列． 对于 “三角形 ”数列 { an} ，如果函数 y f ( x) 使得 bn f (an ) 仍 为一个 “三角形 ”数列，则称 y f ( x) 是数列 { an} 的 “保三角形函数 ”(n N ) ． （Ⅰ）已知 { an} 是首项为 2 ，公差为 1的等差数列，若 f ( x) k x (k 1) 是数列 { an } 的 “保三角形函数 ”，求 k 的取值范围； （Ⅱ）已知数列 { cn} 的首项为 2013 ， Sn 是数列 { cn} 的前 n 项和，满足 4 Sn+1 3Sn 8052 ， 证明： { cn} 是 “三角形 ”数列； （Ⅲ）若 g (x) lg x 是（Ⅱ）中数列 { cn} 的 “保三角形函数 ”，问数列 { cn} 最多有多少项 ? （解题中可用以下数据： lg2 0.301, lg3 0.477, lg2013 3.304）
113 121 111 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4，
111 1 P( X 3) = P ( A1 A2 A3) ＝ 2 3 4 24 .
……………………分 11
X 分布列为：
X
0
1
2
1
11
1
P
4
24
4
……………………分 12
1 11
1
1 13
E(X ) 0 1
2
3
所以，
4 24
4
24 12 .
A． 1 3i
B． 2 i
C． 1 3i
D． 3 i
3． AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2, 4) ， AC (1,3) ，则 AD （ ）
A． (2, 4)
B． (3,7)
C． (1,1)
D． ( 1, 1)
4．在等差数列 { an } 中，若 a1004 a1005 a1006 3 ，则该数列的前 2009 项的和为（
2
f ( x) 5 ，则 x 的取值范围是 __________________．
16.(几何证明选讲选做题）如图 3，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB=OB=2,PC切圆 O
C
于 C 点， CD AB 于 D 点，则 PC=
，
CD=
．
A
OD B
P
三、解答题
图3
sin 2 x (sin x cos x)
2
.
所以函数 f ( x) 的定义域为 { x｜ x
k + ,k 2
Z}
sin 2（x sin x cos x） f ( x)
cos x ２s i nx s ixn + cxo s
2= 2xs i n
x+ s i n 2
……………分２
2 s i n (x 2 - ) 1 4
T
7
x
-
2 x-
（Ⅱ）因为 6
C． 65 种
结束 D． 66 种
3
3
1
8．设 x 、y 均为正实数，且 2 x 2 y ，则 xy 的最小值为（
）
A． 4
B． 4 3
C． 9
D． 16
9．在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “类”，记为 [ k] ，
1
即 [k ] {5 n k | n Z} ， k 0,1,2,3,4 ．给出如下四个结论：