2013届高三数学(理)一轮复习方案课件第30讲三角函数的性质
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cotx 求函数 y＝ 的定义域． tanx－1
cotx≥0， tanx－1≠0， [解答] x≠kπ， x≠kπ＋π 2
π kπ<x≤kπ＋2， x≠kπ＋π， 4 ⇒ x≠kπ， x≠kπ＋π， 2
(k∈Z)
π π π 所以定义域为kπ，kπ＋4 ∪kπ＋4，kπ＋2，k∈Z.
第30讲 │ 知识梳理
函数 对称中 对称 性 对称轴 心
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
(kπ，0) ________
(k∈Z)
π ＋kπ，0 2 ________
(kπ，0) ________
(k∈Z)
x＝kπ ________
(k∈Z)
π x＝kπ＋ ________ 2
第30讲 │ 知识梳理
知识梳理
三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
第30讲 │ 知识梳理
函数 定义域 值域
y＝sinx R
y＝cosx R
y＝tanx
π ________ xx∈R ，x≠kπ＋ 2
[－1,1] ________
第30讲 │就是解三角不等式(组)．① 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．② 列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方 数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1，又 要考虑三角函数本身的定义域．
第30讲 │ 要点探究
[－1,1] ________ 偶 函数 ________
2π
R ________ 奇 ________ 函数
π
奇 奇偶性 ________ 函数
周期性 2π
第30讲 │ 知识梳理
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
在每一个闭区间 在每一个开区间 π π － ＋2kπ， ＋2kπ [－π＋2kπ，2kπ] 2 2 在每一个开区间 单调 (k∈Z)上是增函数；(k∈Z)上是增函数； －π π ＋ k π ， ＋ k π 2 2 性 在每一个闭区间 在每一个闭区间 π (k∈Z)上是增函数 3π ＋2kπ， ＋2kπ [2kπ，π＋2kπ] 2 2 (k∈Z)上是减函数 (k∈Z)上是减函数
第30讲 │ 要点探究
函数 A．奇函数
3x 3π f(x)＝sin 4 ＋ 2 的奇偶性为(
B
)
B．偶函数 D．以上都不对
C．非奇非偶函数
第30讲 │ 要点探究
例4
设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)．
π (1)y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ (－π＜φ＜0)，求 8 φ； (2)y＝f(x)为偶函数(－π＜φ＜0)，求 φ； (3)y＝f(x)为奇函数，求 φ.
第30讲 │ 要点探究
[ 点评 ] 考查三角变换的基本方法和基本技巧及周期的求 法，必须熟练掌握．求三角函数的最小正周期必须将所给三角 函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 与 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 2π π 用公式 T＝ ； 或化为 y＝Atan(ωx＋φ)＋B 形式， 用公式 T＝ . |ω| |ω| 三角变换是工具，f(x)＝Asin(ωx＋φ)是目标．
第30讲 │ 要点探究
► 探究点2 三角函数的周期性
例 2 [2010· 茂名二模] 已知函数
π f(x)＝4cosx· sinx＋ 6 ＋a
的最大值为 2.求 a 的值及 f(x)的最小正周期．
第30讲 │ 要点探究
3 π 1 f(x)＝4cosx· sinx＋ 6 ＋a＝4cosx· ＋a sin x ＋ cos x 2 2
第30讲 │ 要点探究
(1)[2010· 陕西卷] 函数 f(x)＝2sinxcosx 是( A．最小正周期为 2π 的奇函数 B．最小正周期为 2π 的偶函数 C．最小正周期为 π 的奇函数 D．最小正周期为 π 的偶函数 (2)[2010· 成都二诊] 函数 是( ) π π A．x＝ B．x＝ 12 6 5π C．x＝ 12 π D．x＝ 3
第30讲 │ 要点探究
► 探究点5 三角函数性质的综合应用
π π π 例 6 已知函数 f(x)＝2cos（x＋ ）[sin（x＋ ）－ 3cos（x＋ ）]. 3 3 3 (1)求 f(x)的值域和最小正周期； (2)若对任意 的取值范围．
π x∈0，3，m[f(x)＋
3]＋2＝0 恒成立，求实数 m
(k∈Z)
无对称轴
(k∈Z)
第30讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1
例1 (1)y＝ (2)y＝
三角函数的定义域
求下列函数的定义域： 1 ＋ 2cosx－1； tanx tanx－ 3 ； 3
(3)y＝lg(2cosx－ 3)＋ 25－x2.
第30讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵tanx≠0 且 2cosx－1≥0，由三角函数线知： π π 2kπ － ≤x<2kπ 或 2kπ<x≤2kπ ＋ . ∴ 定 义 域 是 3 3 π π x2kπ－ ≤x<2kπ或2kπ<x≤2kπ＋ ，k∈Z. 3 3 3 (2)由题意得 tanx－ ≥0，根据三角函数图象或三角函数 3 π π 线 知 ： kπ ＋ ≤x<kπ ＋ ， k ∈ Z ， ∴ 定 义 域 是 6 2 π π xkπ＋ . ≤ x < k π ＋ ， k ∈ Z 6 2 π 2 (3)由题意得 2cosx－ 3>0 且 25－x ≥0，∴2kπ－ <x<2kπ 6 π π π π π ＋ 且－5≤x≤5，∴－ <x< .∴定义域是 x － 6<x<6 . 6 6 6
第30讲 │ 要点探究
π [解答] (1)由条件得 f(x)＝ 2sin2x＋ ， 将函数 y＝f(x)的图 4 π 象向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数 f(x)＝ 2sin2x＋a＋4 π π ＝ 2sin2x＋2a＋4 的图象，∵函数 y＝ 2sin2x＋2a＋4 关于点 π π π 3π kπ ，0对称，∴ 2× ＋ 2a＋ ＝kπ(k∈ Z)， a＝－ ＋ (k∈Z)．∵ 4 4 8 2 4 3 π a>0，∴k> ，当 k＝1 时，amin＝ . 4 8
第30讲 │ 要点探究
π b 3b (2)∵y＝ 2sin2x＋4在4π， 8 π(b∈N*)上为减函数， π π 5π 又 y＝ 2sin2x＋4的递减区间为kπ＋8，kπ＋ 8 ，k∈Z，
π b 3b 5π ∴kπ＋ ≤ π≤ π≤kπ＋ ， 8 4 8 8 1 5 8 ∴ ＋4k≤b≤ ＋ k. 2 3 3 1 5 8 7 由 ＋4k≤ ＋ k，得 k≤ . 2 3 3 8 1 5 ∵k∈Z，且 b∈N*，∴k＝0，∴ ≤b≤ . 2 3 又 b∈N*，∴b＝1.
第30讲 │ 要点探究
[解答]
2π 2π (1)依题意 y＝f(x)经过点－ 3 ，0， 则 cos－ 3 ＋
k· cos(－π)＝0， 1 求得 k＝－ . 2 1 π (2)f(x)＝cosx－ cosx－ 3 2 π π 1 sin ＝cosx－ cosxcos3＋sinx· 3 2 π π 3 3 π ＝－ sinxcos3－cosxsin3 ＝－ sinx－ 3 . 2 2 π π 3π 当 2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ 时，y＝f(x)递增． 2 3 2 5π 11π 即 y＝f(x)的单调递增区间为2kπ＋ 6 ，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
第30讲 │ 三角函数的性质
第30讲
三角函数的性质
第30讲 │ 编读互动 编读互动
三角函数的性质一直是高考的热点，特别是它的周期性、 奇偶性、单调性和对称性等问题更是重中之重．在本讲中，通 过复习，让学生理解三角函数的定义域、值域和奇偶性、单调 性与周期性．学会判断简单的三角函数的奇偶性，会求简单的 三角函数的定义域、值域、单调区间及其周期．熟悉三角函数 的对称性，并能应用它们解决一些问题．
π f(x)＝sin2x－ 3 的图象的一条对称轴方程
)
第30讲 │ 要点探究
(1)C (2)C [ 解 析 ] (1) 逆 用 倍 角 公 式 化 简 f(x) ＝ 2sinxcosx＝sin2x，故 f(x)是周期为 π 的奇函数． π π kπ 5π (2)由 2x－ ＝kπ＋ ， k∈Z， 得 x＝ ＋ ， k∈Z， 即 f(x) 3 2 2 12 kπ 5π 的图象的对称轴是直线 x＝ ＋ ，k∈Z.结合各选项知，f(x) 2 12 5π 的图象的一条对称轴方程是 x＝ ，选 C. 12
第30讲 │ 要点探究
π [解答] (1)∵x＝ 是函数 y＝f (x)的图象的对称轴，则当 8 π x＝ 时，y 取最值． 8 π π π ∴sin 2×8＋φ ＝± 1，∴ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z. 4 2 3π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ . 4 (2)由 y＝f (x)为偶函数，则当 x＝0 时，y 取最值， π ∴sin(2×0＋φ)＝± 1，∴φ＝kπ＋ ，k∈Z. 2 π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ . 2 (3)由 y＝f (x)为奇函数，则当 x ＝0 时，y＝0， ∴sin(2×0＋φ)＝0，∴φ＝kπ，k∈Z.
第30讲 │ 要点探究
π π π 2 [解答] (1)f(x)＝2sinx＋ 3 cosx＋ 3 －2 3cos x＋ 3 2π 2π ＝sin2x＋ 3 － 3cos2x＋ 3 ＋1 2π 2π ＝sin2x＋ 3 － 3cos2x＋ 3 － 3 π ＝2sin2x＋ 3 － 3. π 因为－1≤sin2x＋ 3 ≤1， π 2π 所以－2－ 3≤2sin2x＋ 3 － 3≤2－ 3.T＝ ＝π， 2
[解答]
＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1＋1＋a ＝ 3sin2x＋cos2x＋1＋a π ＝2sin2x＋ 6 ＋1＋a. π ∴当 sin2x＋ 6 ＝1 时，f(x)取得最大值 2＋1＋a＝3＋a，又 f(x)的最大值为 2，∴3＋a＝2，即 a＝－1.f(x)的最小正周期为 T 2π ＝ ＝π. 2
第30讲 │ 要点探究
已知函数 f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x. (1)若将函数 y＝f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到
π 的图象恰好关于点4，0对称，求实数
a 的最小值；
(2)若函数 数 b 的值．
b 3b y＝f(x)在4π， 8 π(b∈N*)上为减函数，试求实
第30讲 │ 要点探究
► 探究点3 三角函数的奇偶性和对称性
例 3 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xsin(π＋x)； 1＋sinx－cos2x (2)f(x)＝ . 1＋sinx
第30讲 │ 要点探究
[解答] (1)函数的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx， ∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． (2)要使函数有意义，应满足 1＋sinx≠0，∴函数的定义域 3π 为 x x∈R，且x≠2kπ＋ 2 ，k∈Z . ∴函数的定义域不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也 不是偶函数．
第30讲 │ 要点探究
► 探究点4 三角函数的单调性
例 5 [2010· 武汉调研] 已知函数
π f(x)＝cosx＋k· cos x－ 3 (k
为常
2π 数)，将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位所得的函数图象经过坐 3 标原点 O. (1)求 k 的值； (2)求 y＝f(x)的单调增区间．
cotx≥0， tanx－1≠0， [解答] x≠kπ， x≠kπ＋π 2
π kπ<x≤kπ＋2， x≠kπ＋π， 4 ⇒ x≠kπ， x≠kπ＋π， 2
(k∈Z)
π π π 所以定义域为kπ，kπ＋4 ∪kπ＋4，kπ＋2，k∈Z.
第30讲 │ 知识梳理
函数 对称中 对称 性 对称轴 心
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
(kπ，0) ________
(k∈Z)
π ＋kπ，0 2 ________
(kπ，0) ________
(k∈Z)
x＝kπ ________
(k∈Z)
π x＝kπ＋ ________ 2
第30讲 │ 知识梳理
知识梳理
三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
第30讲 │ 知识梳理
函数 定义域 值域
y＝sinx R
y＝cosx R
y＝tanx
π ________ xx∈R ，x≠kπ＋ 2
[－1,1] ________
第30讲 │就是解三角不等式(组)．① 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．② 列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方 数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1，又 要考虑三角函数本身的定义域．
第30讲 │ 要点探究
[－1,1] ________ 偶 函数 ________
2π
R ________ 奇 ________ 函数
π
奇 奇偶性 ________ 函数
周期性 2π
第30讲 │ 知识梳理
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
在每一个闭区间 在每一个开区间 π π － ＋2kπ， ＋2kπ [－π＋2kπ，2kπ] 2 2 在每一个开区间 单调 (k∈Z)上是增函数；(k∈Z)上是增函数； －π π ＋ k π ， ＋ k π 2 2 性 在每一个闭区间 在每一个闭区间 π (k∈Z)上是增函数 3π ＋2kπ， ＋2kπ [2kπ，π＋2kπ] 2 2 (k∈Z)上是减函数 (k∈Z)上是减函数
第30讲 │ 要点探究
函数 A．奇函数
3x 3π f(x)＝sin 4 ＋ 2 的奇偶性为(
B
)
B．偶函数 D．以上都不对
C．非奇非偶函数
第30讲 │ 要点探究
例4
设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)．
π (1)y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ (－π＜φ＜0)，求 8 φ； (2)y＝f(x)为偶函数(－π＜φ＜0)，求 φ； (3)y＝f(x)为奇函数，求 φ.
第30讲 │ 要点探究
[ 点评 ] 考查三角变换的基本方法和基本技巧及周期的求 法，必须熟练掌握．求三角函数的最小正周期必须将所给三角 函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 与 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 2π π 用公式 T＝ ； 或化为 y＝Atan(ωx＋φ)＋B 形式， 用公式 T＝ . |ω| |ω| 三角变换是工具，f(x)＝Asin(ωx＋φ)是目标．
第30讲 │ 要点探究
► 探究点2 三角函数的周期性
例 2 [2010· 茂名二模] 已知函数
π f(x)＝4cosx· sinx＋ 6 ＋a
的最大值为 2.求 a 的值及 f(x)的最小正周期．
第30讲 │ 要点探究
3 π 1 f(x)＝4cosx· sinx＋ 6 ＋a＝4cosx· ＋a sin x ＋ cos x 2 2
第30讲 │ 要点探究
(1)[2010· 陕西卷] 函数 f(x)＝2sinxcosx 是( A．最小正周期为 2π 的奇函数 B．最小正周期为 2π 的偶函数 C．最小正周期为 π 的奇函数 D．最小正周期为 π 的偶函数 (2)[2010· 成都二诊] 函数 是( ) π π A．x＝ B．x＝ 12 6 5π C．x＝ 12 π D．x＝ 3
第30讲 │ 要点探究
► 探究点5 三角函数性质的综合应用
π π π 例 6 已知函数 f(x)＝2cos（x＋ ）[sin（x＋ ）－ 3cos（x＋ ）]. 3 3 3 (1)求 f(x)的值域和最小正周期； (2)若对任意 的取值范围．
π x∈0，3，m[f(x)＋
3]＋2＝0 恒成立，求实数 m
(k∈Z)
无对称轴
(k∈Z)
第30讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1
例1 (1)y＝ (2)y＝
三角函数的定义域
求下列函数的定义域： 1 ＋ 2cosx－1； tanx tanx－ 3 ； 3
(3)y＝lg(2cosx－ 3)＋ 25－x2.
第30讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵tanx≠0 且 2cosx－1≥0，由三角函数线知： π π 2kπ － ≤x<2kπ 或 2kπ<x≤2kπ ＋ . ∴ 定 义 域 是 3 3 π π x2kπ－ ≤x<2kπ或2kπ<x≤2kπ＋ ，k∈Z. 3 3 3 (2)由题意得 tanx－ ≥0，根据三角函数图象或三角函数 3 π π 线 知 ： kπ ＋ ≤x<kπ ＋ ， k ∈ Z ， ∴ 定 义 域 是 6 2 π π xkπ＋ . ≤ x < k π ＋ ， k ∈ Z 6 2 π 2 (3)由题意得 2cosx－ 3>0 且 25－x ≥0，∴2kπ－ <x<2kπ 6 π π π π π ＋ 且－5≤x≤5，∴－ <x< .∴定义域是 x － 6<x<6 . 6 6 6
第30讲 │ 要点探究
π [解答] (1)由条件得 f(x)＝ 2sin2x＋ ， 将函数 y＝f(x)的图 4 π 象向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数 f(x)＝ 2sin2x＋a＋4 π π ＝ 2sin2x＋2a＋4 的图象，∵函数 y＝ 2sin2x＋2a＋4 关于点 π π π 3π kπ ，0对称，∴ 2× ＋ 2a＋ ＝kπ(k∈ Z)， a＝－ ＋ (k∈Z)．∵ 4 4 8 2 4 3 π a>0，∴k> ，当 k＝1 时，amin＝ . 4 8
第30讲 │ 要点探究
π b 3b (2)∵y＝ 2sin2x＋4在4π， 8 π(b∈N*)上为减函数， π π 5π 又 y＝ 2sin2x＋4的递减区间为kπ＋8，kπ＋ 8 ，k∈Z，
π b 3b 5π ∴kπ＋ ≤ π≤ π≤kπ＋ ， 8 4 8 8 1 5 8 ∴ ＋4k≤b≤ ＋ k. 2 3 3 1 5 8 7 由 ＋4k≤ ＋ k，得 k≤ . 2 3 3 8 1 5 ∵k∈Z，且 b∈N*，∴k＝0，∴ ≤b≤ . 2 3 又 b∈N*，∴b＝1.
第30讲 │ 要点探究
[解答]
2π 2π (1)依题意 y＝f(x)经过点－ 3 ，0， 则 cos－ 3 ＋
k· cos(－π)＝0， 1 求得 k＝－ . 2 1 π (2)f(x)＝cosx－ cosx－ 3 2 π π 1 sin ＝cosx－ cosxcos3＋sinx· 3 2 π π 3 3 π ＝－ sinxcos3－cosxsin3 ＝－ sinx－ 3 . 2 2 π π 3π 当 2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ 时，y＝f(x)递增． 2 3 2 5π 11π 即 y＝f(x)的单调递增区间为2kπ＋ 6 ，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
第30讲 │ 三角函数的性质
第30讲
三角函数的性质
第30讲 │ 编读互动 编读互动
三角函数的性质一直是高考的热点，特别是它的周期性、 奇偶性、单调性和对称性等问题更是重中之重．在本讲中，通 过复习，让学生理解三角函数的定义域、值域和奇偶性、单调 性与周期性．学会判断简单的三角函数的奇偶性，会求简单的 三角函数的定义域、值域、单调区间及其周期．熟悉三角函数 的对称性，并能应用它们解决一些问题．
π f(x)＝sin2x－ 3 的图象的一条对称轴方程
)
第30讲 │ 要点探究
(1)C (2)C [ 解 析 ] (1) 逆 用 倍 角 公 式 化 简 f(x) ＝ 2sinxcosx＝sin2x，故 f(x)是周期为 π 的奇函数． π π kπ 5π (2)由 2x－ ＝kπ＋ ， k∈Z， 得 x＝ ＋ ， k∈Z， 即 f(x) 3 2 2 12 kπ 5π 的图象的对称轴是直线 x＝ ＋ ，k∈Z.结合各选项知，f(x) 2 12 5π 的图象的一条对称轴方程是 x＝ ，选 C. 12
第30讲 │ 要点探究
π [解答] (1)∵x＝ 是函数 y＝f (x)的图象的对称轴，则当 8 π x＝ 时，y 取最值． 8 π π π ∴sin 2×8＋φ ＝± 1，∴ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z. 4 2 3π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ . 4 (2)由 y＝f (x)为偶函数，则当 x＝0 时，y 取最值， π ∴sin(2×0＋φ)＝± 1，∴φ＝kπ＋ ，k∈Z. 2 π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ . 2 (3)由 y＝f (x)为奇函数，则当 x ＝0 时，y＝0， ∴sin(2×0＋φ)＝0，∴φ＝kπ，k∈Z.
第30讲 │ 要点探究
π π π 2 [解答] (1)f(x)＝2sinx＋ 3 cosx＋ 3 －2 3cos x＋ 3 2π 2π ＝sin2x＋ 3 － 3cos2x＋ 3 ＋1 2π 2π ＝sin2x＋ 3 － 3cos2x＋ 3 － 3 π ＝2sin2x＋ 3 － 3. π 因为－1≤sin2x＋ 3 ≤1， π 2π 所以－2－ 3≤2sin2x＋ 3 － 3≤2－ 3.T＝ ＝π， 2
[解答]
＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1＋1＋a ＝ 3sin2x＋cos2x＋1＋a π ＝2sin2x＋ 6 ＋1＋a. π ∴当 sin2x＋ 6 ＝1 时，f(x)取得最大值 2＋1＋a＝3＋a，又 f(x)的最大值为 2，∴3＋a＝2，即 a＝－1.f(x)的最小正周期为 T 2π ＝ ＝π. 2
第30讲 │ 要点探究
已知函数 f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x. (1)若将函数 y＝f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到
π 的图象恰好关于点4，0对称，求实数
a 的最小值；
(2)若函数 数 b 的值．
b 3b y＝f(x)在4π， 8 π(b∈N*)上为减函数，试求实
第30讲 │ 要点探究
► 探究点3 三角函数的奇偶性和对称性
例 3 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xsin(π＋x)； 1＋sinx－cos2x (2)f(x)＝ . 1＋sinx
第30讲 │ 要点探究
[解答] (1)函数的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx， ∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． (2)要使函数有意义，应满足 1＋sinx≠0，∴函数的定义域 3π 为 x x∈R，且x≠2kπ＋ 2 ，k∈Z . ∴函数的定义域不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也 不是偶函数．
第30讲 │ 要点探究
► 探究点4 三角函数的单调性
例 5 [2010· 武汉调研] 已知函数
π f(x)＝cosx＋k· cos x－ 3 (k
为常
2π 数)，将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位所得的函数图象经过坐 3 标原点 O. (1)求 k 的值； (2)求 y＝f(x)的单调增区间．