1.2.1.2 等差数列的性质及应用
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������+������ 或 2
2A=a+b,即等差中项仅有一个.
-3-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
【做一做 1】 已知等差数列{an}中,a2=1,a6=-1,则 a4 等于( A.-1 B.1 C.0 D.解析:∵a2+a6=2a4,∴a4=0,故选 C. 答案:C 【做一做 2】 已知 a= A. 3 解析:∵a+b= B. 2
题型二
等差数列性质的应用
【例 2】 (1)已知{an}是等差数列,且 a1-a4+a8-a12+a15=2,求 a3+a13 的值; (2)已知在等差数列{an}中,若 a49=80,a59=100,求 a79. 分析:本题(1)考查等差数列的性质若“m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”的应 用,(2)考查性质“am=an+(m-n)· d”. 解:(1)∵{an}是等差数列, ∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8. 又∵a1-a4+a8-a12+a15=2, ∴a8=2,∴a3+a13=2a8=2×2=4. (2)∵{an}是等差数列,∴可设公差为 d. 由 a59=a49+10d,知 10d=100-80,解得 d=2. ∵a79=a59+20d, ∴a79=100+20×2=140. 反思在等差数列中,若 m+n=p+q=2k,则 am+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k 都是 正整数)是一条重要性质,利用该性质可大大简化运算.
5
-11-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
1 在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( ). A.5 B.6 C.8 D.10 解析:依题意,得 a1+a9=2a5=10,则 a5=5,选 A. 答案:A
-12-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
(3)an=am+(n-m)d(m,n∈N+). (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+an=ap+aq. ������+������ (5)若 =k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N+). (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相 等,且等于首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N+). (7)数列{λan+b}(λ,b 是常数)是公差为 λd 的等差数列. (8)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差 为 md 的等差数列. (9)若数列{bn}也为等差数列,则{kan+mbn+b}(k,m,b 为常数)也是等差数 列.
证法二:因为 , , 成等差数列,
反思证明三个数成等差数列,一般可根据定义或等差中项将问题转化为 证明等式成立.根据等差数列各项乘以(或除以)同一个常数(非零整数)或加 (或减)同一个常数所得数列仍是等差数列,再结合问题条件亦可证明.
-7-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三-16-来自第二课时等差数列的性质及应用
-1-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.体会等差数列与一次函数的关系,能够应用一次函数的性质解决等 差数列问题. 2.掌握等差中项的定义,能够应用定义解决有关问题. 3.掌握等差数列性质的应用及实际应用.
-2-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
等差中项
=
-6-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
1 1 1 ������ ������ ������ ������+������+������ ������+������+������ ������+������+������ 所以 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 即 +1, +1, +1 成等差数列. ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
5
2 在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( ). A.40 B.42 C.43 D.45 解析:设等差数列{an}的公差为 d,则由 a2+a3=13,得 2a1+3d=13.∵a1=2, ∴d=3,∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42,故选 B. 答案:B
分析:解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明.
1 1 1 1 1 2 ������+������ ������+������ , , 成等差数列,则 + = ,要证结论成立,只要证明 + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2(������+������) 即可. ������ 1 1 1 证法一:因为 , , 成等差数列, ������ ������ ������ 2 1 1 所以 = + ,即 2ac=b(a+c). ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������(������+������)+������(������+������) ������2 +������2 +������(������+������) ������2 +������2 +2������������ 因为 + = = = ������ ������ ������������ ������������ ������������ 2 2(������+������) 2(������+������) = = , ������(������+������) ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
-8-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 已知等差数列{an}, (1)若 a2+a3+a25+a26=48,求 a14; (2)若 a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差 d. 解:(1)∵a2+a26=a3+a25=2a14, ∴a2+a3+a25+a26=4a14=48,解得 a14=12. (2)∵a2+a5=a3+a4, ∴a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34. 即 a2+a5=17. 又已知 a2a5=52, 联立解得 a2=4,a5=13 或 a2=13,a5=4. 当 a2=4,a5=13 时,d= 当 a2=13,a5=4 时,d=
-5-
2
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型一
1 1 1 ������ ������ ������
等差中项的应用
������+������ ������+������ ������+������ , , 也成等差数列. ������ ������ ������
【例 1】 已知 , , 成等差数列,求证:
������5 -������2 =3; 5-2 ������5 -������2 5-2
=-3.
∴公差 d 为 3 或-3.
-9-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型三
实际应用问题
【例 3】 梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还有 10 级,各 级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的 公差.又梯子的级数是 12,因此,问题相当于已知等差数列的首项、末项及项 数求公差. 解:设梯子的第 n 级的宽为 an cm,其中最高一级为 a1 cm,则数列{an}是 等差数列. 由题意,得 a1=33,a12=110,n=12, 则 a12=a1+11d,所以 110=33+11d,解得 d=7. 所以 a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 反思解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已 知等差数列的首项、末项及项数,求各项.
1 + 3+ 2 1 2
).
1 1 ,b= ,则 a,b 的等差中项为( 3+ 2 3- 2 3 2 C. D. 3 2 1 = 3 − 2 + 3 + 2 =2 3 , 3- 2
).
∴a,b 的等差中项为 3.
答案:A 【做一做 3】 已知 m,n 的等差中项为 20,则 m+n= 解析:m+n=2×20=40. 答案:40 .
-10-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 假设某市 2015 年新建住房 400 万平方米,预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增加 50 万平方米.那么从 哪一年年底开始,该市每年新建住房的面积开始大于 820 万平方米? 解:设从 2015 年年底开始,n 年后该市每年新建的住房面积为 an 万平方 米. 由题意,得{an}是等差数列,首项 a1=400,公差 d=50,所以 an=a1+(n-1)d=350+50n. 47 令 350+50n>820,解得 n> . 因为 n∈N+,所以 n≥10. 故从 2025 年年底开始,该市每年新建住房的面积开始大于 820 万平方 米.
如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项. 等差中项的性质: (1)A 是 a 与 b 的等差中项,则 A= (2)当 2A=a+b 时,A 是 a 与 b 的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为 a-d,a,a+d,这样可以 在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是等差 数列.
-4-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
等差数列具有的性质
剖析:若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 (1)d=0 时,数列为常数列;d>0 时,数列为递增数列;d<0 时,数列为递减 数列. (2)d=
������������ -������1 ������-1
=
������������ -������������ (m,n,k∈N+). ������-������
������+4������+2 ,解得 2
a=0,
-15-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5 夏季高山上的温度从山脚起,每升高 100 m,降低 0.7 ℃,已知山顶处的 温度是 14.8 ℃,山脚处的温度为 26 ℃,问此山相对于山脚处的高度是多少 米? 解:∵每升高 100 m 温度降低 0.7 ℃, ∴该处温度的变化是等差数列问题. 设山脚温度为首项 a1=26 ℃,山顶温度为末项 an=14.8 ℃,则 26+(n-1)×(-0.7)=14.8, 解得 n=17. 故此山相对于山脚处的高度为 (17-1)×100=1 600(m). 答:此山相对于山脚处的高度为 1 600 m.
-13-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
3 若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a= 解析:设公差为 d,则 c-a=2d=2× 答案:
7 2 9-2 7 =2× 4 5-1
. = .
7 2
-14-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
4 若等差数列{an}的前三项依次为 a,2a+1,4a+2,则它的第五项 为 . 解析:由题意,知 2a+1 是 a 与 4a+2 的等差中项,即 2a+1= 故数列{an}的前三项依次为 0,1,2,则 a5=0+4×1=4. 答案:4
2A=a+b,即等差中项仅有一个.
-3-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
【做一做 1】 已知等差数列{an}中,a2=1,a6=-1,则 a4 等于( A.-1 B.1 C.0 D.解析:∵a2+a6=2a4,∴a4=0,故选 C. 答案:C 【做一做 2】 已知 a= A. 3 解析:∵a+b= B. 2
题型二
等差数列性质的应用
【例 2】 (1)已知{an}是等差数列,且 a1-a4+a8-a12+a15=2,求 a3+a13 的值; (2)已知在等差数列{an}中,若 a49=80,a59=100,求 a79. 分析:本题(1)考查等差数列的性质若“m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”的应 用,(2)考查性质“am=an+(m-n)· d”. 解:(1)∵{an}是等差数列, ∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8. 又∵a1-a4+a8-a12+a15=2, ∴a8=2,∴a3+a13=2a8=2×2=4. (2)∵{an}是等差数列,∴可设公差为 d. 由 a59=a49+10d,知 10d=100-80,解得 d=2. ∵a79=a59+20d, ∴a79=100+20×2=140. 反思在等差数列中,若 m+n=p+q=2k,则 am+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k 都是 正整数)是一条重要性质,利用该性质可大大简化运算.
5
-11-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
1 在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( ). A.5 B.6 C.8 D.10 解析:依题意,得 a1+a9=2a5=10,则 a5=5,选 A. 答案:A
-12-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
(3)an=am+(n-m)d(m,n∈N+). (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+an=ap+aq. ������+������ (5)若 =k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N+). (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相 等,且等于首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N+). (7)数列{λan+b}(λ,b 是常数)是公差为 λd 的等差数列. (8)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差 为 md 的等差数列. (9)若数列{bn}也为等差数列,则{kan+mbn+b}(k,m,b 为常数)也是等差数 列.
证法二:因为 , , 成等差数列,
反思证明三个数成等差数列,一般可根据定义或等差中项将问题转化为 证明等式成立.根据等差数列各项乘以(或除以)同一个常数(非零整数)或加 (或减)同一个常数所得数列仍是等差数列,再结合问题条件亦可证明.
-7-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三-16-来自第二课时等差数列的性质及应用
-1-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.体会等差数列与一次函数的关系,能够应用一次函数的性质解决等 差数列问题. 2.掌握等差中项的定义,能够应用定义解决有关问题. 3.掌握等差数列性质的应用及实际应用.
-2-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
等差中项
=
-6-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
1 1 1 ������ ������ ������ ������+������+������ ������+������+������ ������+������+������ 所以 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 即 +1, +1, +1 成等差数列. ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
5
2 在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( ). A.40 B.42 C.43 D.45 解析:设等差数列{an}的公差为 d,则由 a2+a3=13,得 2a1+3d=13.∵a1=2, ∴d=3,∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42,故选 B. 答案:B
分析:解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明.
1 1 1 1 1 2 ������+������ ������+������ , , 成等差数列,则 + = ,要证结论成立,只要证明 + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2(������+������) 即可. ������ 1 1 1 证法一:因为 , , 成等差数列, ������ ������ ������ 2 1 1 所以 = + ,即 2ac=b(a+c). ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������(������+������)+������(������+������) ������2 +������2 +������(������+������) ������2 +������2 +2������������ 因为 + = = = ������ ������ ������������ ������������ ������������ 2 2(������+������) 2(������+������) = = , ������(������+������) ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
-8-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 已知等差数列{an}, (1)若 a2+a3+a25+a26=48,求 a14; (2)若 a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差 d. 解:(1)∵a2+a26=a3+a25=2a14, ∴a2+a3+a25+a26=4a14=48,解得 a14=12. (2)∵a2+a5=a3+a4, ∴a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34. 即 a2+a5=17. 又已知 a2a5=52, 联立解得 a2=4,a5=13 或 a2=13,a5=4. 当 a2=4,a5=13 时,d= 当 a2=13,a5=4 时,d=
-5-
2
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型一
1 1 1 ������ ������ ������
等差中项的应用
������+������ ������+������ ������+������ , , 也成等差数列. ������ ������ ������
【例 1】 已知 , , 成等差数列,求证:
������5 -������2 =3; 5-2 ������5 -������2 5-2
=-3.
∴公差 d 为 3 或-3.
-9-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型三
实际应用问题
【例 3】 梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还有 10 级,各 级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的 公差.又梯子的级数是 12,因此,问题相当于已知等差数列的首项、末项及项 数求公差. 解:设梯子的第 n 级的宽为 an cm,其中最高一级为 a1 cm,则数列{an}是 等差数列. 由题意,得 a1=33,a12=110,n=12, 则 a12=a1+11d,所以 110=33+11d,解得 d=7. 所以 a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 反思解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已 知等差数列的首项、末项及项数,求各项.
1 + 3+ 2 1 2
).
1 1 ,b= ,则 a,b 的等差中项为( 3+ 2 3- 2 3 2 C. D. 3 2 1 = 3 − 2 + 3 + 2 =2 3 , 3- 2
).
∴a,b 的等差中项为 3.
答案:A 【做一做 3】 已知 m,n 的等差中项为 20,则 m+n= 解析:m+n=2×20=40. 答案:40 .
-10-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 假设某市 2015 年新建住房 400 万平方米,预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增加 50 万平方米.那么从 哪一年年底开始,该市每年新建住房的面积开始大于 820 万平方米? 解:设从 2015 年年底开始,n 年后该市每年新建的住房面积为 an 万平方 米. 由题意,得{an}是等差数列,首项 a1=400,公差 d=50,所以 an=a1+(n-1)d=350+50n. 47 令 350+50n>820,解得 n> . 因为 n∈N+,所以 n≥10. 故从 2025 年年底开始,该市每年新建住房的面积开始大于 820 万平方 米.
如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项. 等差中项的性质: (1)A 是 a 与 b 的等差中项,则 A= (2)当 2A=a+b 时,A 是 a 与 b 的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为 a-d,a,a+d,这样可以 在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是等差 数列.
-4-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
等差数列具有的性质
剖析:若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 (1)d=0 时,数列为常数列;d>0 时,数列为递增数列;d<0 时,数列为递减 数列. (2)d=
������������ -������1 ������-1
=
������������ -������������ (m,n,k∈N+). ������-������
������+4������+2 ,解得 2
a=0,
-15-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5 夏季高山上的温度从山脚起,每升高 100 m,降低 0.7 ℃,已知山顶处的 温度是 14.8 ℃,山脚处的温度为 26 ℃,问此山相对于山脚处的高度是多少 米? 解:∵每升高 100 m 温度降低 0.7 ℃, ∴该处温度的变化是等差数列问题. 设山脚温度为首项 a1=26 ℃,山顶温度为末项 an=14.8 ℃,则 26+(n-1)×(-0.7)=14.8, 解得 n=17. 故此山相对于山脚处的高度为 (17-1)×100=1 600(m). 答:此山相对于山脚处的高度为 1 600 m.
-13-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
3 若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a= 解析:设公差为 d,则 c-a=2d=2× 答案:
7 2 9-2 7 =2× 4 5-1
. = .
7 2
-14-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1
2
3
4
5
4 若等差数列{an}的前三项依次为 a,2a+1,4a+2,则它的第五项 为 . 解析:由题意,知 2a+1 是 a 与 4a+2 的等差中项,即 2a+1= 故数列{an}的前三项依次为 0,1,2,则 a5=0+4×1=4. 答案:4