【三维设计】高中数学 第一部分 第一章 小专题 大智慧 阶段质量检测 苏教版必修5

【三维设计】高中数学 第一部分 第一章 小专题 大智慧 阶段
质量检测 苏教版必修5
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b
sin B ，
sin A ＝
a sin B
b ＝2sin60°3
＝2
2，又a <b , ∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°
2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2
＋bc ， 则A ＝________. 解析：a 2
－c 2
＝b 2
＋bc ， ∴b 2
＋c 2
－a 2＝－bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－1
2
，
∴A ＝120°. 答案：120°
3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则
A ，C 两点之间的距离是________千米．
解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝AB sin ∠ACB ， 即得AC ＝AB sin ∠CBA
sin ∠ACB ＝2×
3
22
2
＝ 6.
答案： 6
4．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则
a ＋
b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________.
解析：∵三角形ABC 的面积为3，即1
2bc sin A ＝ 3.
∴1
2×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝
1＋16－2×1×4×1
2
＝13，
a ＋
b ＋
c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝239
3
.
答案：2393
5．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米． 解析：作出示意图，如图
由题意得
∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米，
BC ＝3千米，AC ＝3千米，
由余弦定理得
(3)2
＝x 2
＋32
－2×3×x cos30°， 即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 3
6．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为3
2
，则这个三角形的面积为________． 解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.
设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝
3
2
，∴α＝120°. 由余弦定理得
(a ＋2)2
＝(a －2)2
＋a 2
＋a (a －2)， 即a 2
＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.
∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.
答案：1534
7．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝
2
2
. ∴A ＝45°，B ＝90°. 故△ABC 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角
8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝3
5，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________.
解析：由余弦定理推论知
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
.
∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 2
2a
＝2，
∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.
∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝4
5
或cos C ＝－4
5
.
∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－8
5.
答案：85或－8
5
9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， 即tan A ＝3，∴A ＝π3
.
又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π
2.
∴B ＝π6.
答案：π6
10．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝
____.
解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2
A ＝1，联立
解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，代入数据解得a ＝210.
答案：25
5
210
11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．
解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°， 又∠SBD ＝15°，
∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.
由正弦定理可知BS sin15°＝1 000
sin30°
，
∴BS ＝2 000sin15°，
∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝ 1 000sin30°＝500， 且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米 答案：1 000
12．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2
－27x ＋32＝0的两个实根，那么
BC 边的长为________．
解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ， 则b ＋c ＝9，b ·c ＝32
3
.
因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边， 所以BC 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos60°
＝b 2
＋c 2
－bc ＝(b ＋c )2
－3bc ＝81－32＝49， 即BC ＝7. 答案：7
13．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.
解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2
sin60°，解得x ＝6，所以AB ＝
12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2
，所以C ＝π2.
答案：π2
14．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________． 解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，
∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，
AB ⊥平面BCO ，
令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ， 在△BCO 中，由余弦定理得
(3x )2
＝x 2
＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)， 整理得x 2－5x －50＝0，
解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米． 答案：10米
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝13
14，求c 及最大角的余弦值．
解：由余弦定理得
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314
＝9.
∴c ＝3.
∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大．
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
＝72
＋32
－82
2×7×3＝－17
. 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B
＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角， 且B ＝60°，cos A ＝4
5.
∴C ＝120°－A ，sin A ＝3
5.
∴sin C ＝sin(120°－A ) ＝
32cos A ＋12sin A ＝3＋4310
. (2)由(1)知sin A ＝35，
sin C ＝3＋4310.
又∵B ＝60°，b ＝ 3. ∴由正弦定理，得a ＝
b sin A sin B ＝6
5
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋93
50
.
17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .
(1)求b a
；
(2)若c 2
＝b 2
＋3a 2
，求B .
解：(1)由正弦定理得，sin 2
A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝2sin A ，即sin
B (sin 2
A ＋cos 2
A )＝2
sin A .
故sin B ＝2sinA ，所以b
a
＝ 2.
(2)由余弦定理和c 2
＝b 2
＋3a 2
，得cos B ＝＋3a
2c
.
由(1)知b 2
＝2a 2
，故c 2
＝(2＋3)a 2
可得cos 2
B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22
，所以B ＝45°.
18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
解：如图所示，设∠ACD ＝α，
∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得
cos β＝BD 2＋CD 2－CB 2
2BD ·CD
＝202
＋212
－312
2×20×21＝－17，
∴sin β＝437
而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝
437·12＋32·17＝53
14
. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α，
∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．
所以这人再走15千米就可到城A .
19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x
2
－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状。

解析：(1)由 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C 得(b ＋c )2－a 2
＝
185bc ，即b 2＋c 2－a 2＝85
bc . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35
.
(2)∵b 和c 是方程x 2
－9x ＋25cos A ＝0的两根，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋
c ＝9，
bc ＝25cos A ＝20，
解之，得⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝5，
c ＝4.
∴a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ＝25＋16－2×20×45＝9.
∴a ＝3. (3)由(2)易知
b 2＝a 2＋
c 2
∴△ABC 为直角三角形．
20．(本小题满分16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C ) (1)求角A 的大小．
(2)若a ＝2，c ＝23，且b >c ，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )， 由正弦定理得，
2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )， 即2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B . ∴cos A ＝
32
. ∴A ＝π6
.
(2)由余弦定理得，
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，
∴4＝b 2＋(23)2
－2b ×23cos π6.
∴b 2
－6b ＋8＝0，
解得b ＝4或b ＝2. ∵b >c ， ∴b ＝4.
∴S ＝12bc sin A ＝12×4×23×1
2
＝2 3.。