重庆市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(答案解析)

一、选择题
1．过点
)
引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当
AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D 2．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2
224x y -+= B ．()2
224x y ++= C ．()()2
2
448x y -+-=
D ．()()2
2
448x y ++-=
3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得
||2||PB PA =，则a 的值为（ ）
A ．6-
B ．2-或6
C ．2或6-
D ．2-
4．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()2
2
234x y +++=作一条切线切于点
T ，则MT 的最小值为（ ）
A B ．4
C ．
D ．
5．若直线1y kx =-与曲线y =有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．4(0,]3
B ．14
[,]33
C ．1[0,]2
D ．[0,1]
6．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴
反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-=
C ．3240x y -+=
D ．230x y --=
7．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此
时a 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．
13
D ．－
13
8．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且
11
,33
OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上三种情况都有
可能
9．已知圆C 经过()4,2P -，()1,3Q -两点，且在y 轴上截得的线段的长为于5.若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则直线l 的方程为（ ）
A ．40x y ++=或30x y +-=
B ．40x y +-=或30x y ++=
C ．40x y ++=或30x y ++=
D ．40x y +-=或30x y +-= 10．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是
（ ）
A ．50,12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．
53,124
D ．5,12⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12．曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k
的取值范围是（ ）
A ．50,
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．13,
34⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．5,12⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D ．
53
,124
二、填空题
13．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.
14．已知P 为||||x y m +=上的点，过点P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为M 、N ，若使得90MPN ∠=︒的点P 有8个，则m 的取值范围是_________.
15．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 16．已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足
PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.
17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个
18．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．
19．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线
136
x y
+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.
20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆
2
2
20x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN
+的最小值为_____．
参考答案
三、解答题
21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切
点分别为A ，B ．
（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．
22．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线m ：y x n =+圆C 截得的弦与圆心构成CDE △，若CDE △的面积有最大值，求出直线m ：y x n =+的方程；若CDE △的面积没有最大值，请说明理由. 23．已知圆C 的圆心在直线2x -y -3=0上，且圆C 过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C 的标准方程；
（2）过点P (3，2)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |=6时，求直线l 的方程. 24．已知直线:3470l x y +-=．
（1）若直线m 与直线l 平行，且直线m 过点(2,5)P -，求直线m 的方程；
（2）若点C 坐标为10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
，过点C 的直线与直线l 垂直，垂足为M ，求点M 的坐标. 25．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 26．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12
. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.
（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程.
（3）若与直线1:l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由y =2
2
1x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，
10k -<<，设直线l 为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =
以及圆心O 到直线l 的距离
d =
1
2
AOB
S
d AB =
，进而化简求解即可
【详解】
由y =2
2
1x y +=()0y ≥，
∴
曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），
由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，
则10k -<<，∴直线l
的方程为：0(y k x -=-
，即0kx y --= 则圆心O 到直线l
的距离d =
=
直线l 被半圆所截得的弦长为
||AB ===
12AOB
S
d AB ==
=
=令
2
1
1t
k
=+ 则AOB
S
=，
当3
t 4=，即2
1314k =+时，AOB S 有最大值为
12
此时，
2131
4
k =+ k ∴=又
10k -
<<，
3
k ∴=-
综上所述，直线l 的斜率是故答案为：A 【点睛】
关键点睛：通过圆的弦长公式||AB =和圆心O 到直线l 的距离d =
得出
12AOB
S
d AB ==211t k =+，可得
AOB
S
=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题
2．A
解析：A 【分析】
设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】
设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==
整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，
所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2
2
24x y -+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．B
解析：B 【分析】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2
214x a y -++=，则本题等价于直线1
x =与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2
2
22344x a y x a y --+=-+，
整理可得()2
214x a y -++=，
则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆
()
2
214x a y -++=相切，
2=，解得2a =-或6.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
4．D
解析：D 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算
可得答案． 【详解】
根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，
过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，
而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4
min MC ==，
则||MT = 故选：D 【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.
5．D
解析：D 【分析】
1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部
分，画出两函数图像，找出两图像有公共点时k 的范围即可. 【详解】
解：根据题意可得：1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出函数图像，如图所示： 当直线与曲线相切时：0k =，
当()1,0在直线上时，代入可得1k =，所以两函数图像有公共点的k 的范围是[]0,1. 故选：D.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题. 方法点睛：（1）画出函数图像；
（2）根据图像找到有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得到结果.
6．A
解析：A 【分析】
根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于
x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求
方程即可. 【详解】
解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：43
6413
y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.
【点睛】
本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.
7．C
解析：C 【分析】
先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】
直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .
圆2
2
:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41
332PC k -=
=-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313
PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.
故选：C . 【点睛】
方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；
（2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0
,0
f x y
g x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 求解.
8．C
解析：C 【分析】
根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为1
3
，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系. 【详解】
因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆2
2
1x y +=上，
根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ， 因为11
,33OA OC OB OC ⋅=
⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13
，如图所示：
所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为1
13
<， 所以直线AB 与圆2
2
1x y +=的位置关系是相交， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意： （1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系； （2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.
9．B
解析：B 【分析】
先求出圆C 的方程，设出直线l 的方程为y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -，与圆的方程联立消去y 可得12x x +、12x x 用m 表示，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，
()21212121220OA OB x x y y x x m x x m ⋅=+=-++=将12x x +、12x x ，代入即可求出m
的值，进而可得直线l 的方程. 【详解】
因为()4,2P -，()1,3Q -，所以()
32114
PQ k --=
=---，
所以直线PQ 的方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=， 设圆心(),C a b ，半径为r ， 直线PQ 的垂直平分线为：13
22
y x -=-，即10x y --=， 所以10a b --=①，
由于在y
轴上截得的线段的长为
(2
22r a =+②，
又因为()()2
2
213r a b =++-③，
由①②③
可得：10a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
或5
4a b r ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩（舍），
所以圆C 的方程为：()2
2113x y -+=，
设直线l 的方程为：y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -， 若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，
由()22
113
y x m x y =-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得：()22
221120x m x m -++-=， 所以121x x m +=+，212122
m x x -=，
所以()()()2
121212122OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++
()221210m m m m =--++=，
即2120m m --=，解得：4m =或3m =-， 所以直线l 的方程为4y x =-+或3y x =--， 即直线l 的方程为40x y +-=或30x y ++=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用待定系数法求出圆的方程，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，得出OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，将直线l 的方程与圆的方程联立，即可得
12x x +、12x x 用m 表示，代入
()()()21212121220OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++=，即可求出m 的值，
进而求解.
10．C
解析：C 【分析】
由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】
因为圆2
2
+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，
所以直线0x ay b +-=的斜率1
0a -<，y 轴上的截距为0b a
>，
所以直线不过第三象限. 故选：C
11．C
解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通
过图形可得结论．
【详解】 曲线21
4y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点
(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，
PD
2=，解得5
12k =
，即512
PD k =， (2,1)A -，413
2(2)4
PA k -=
=--，
∴53,124k ⎛⎤
∈
⎥⎝
⎦． 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．
12．D
解析：D 【分析】 易知曲线21
4y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24
y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线21
4y x 变形为2
22
1
41
41y x x y y 表示以()0,1 为圆心，
以2为半径的半圆，
直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，
在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：
当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
2
3221k
k -=+，解得5
12k =，即5
12
AC k ，又413
224
AB k ， 由图知：当曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：
AC
AB k k
k ，即
53124
k <≤. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A 到直线的距离即为直线上点到点A 距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛
解析：4
5
【分析】
利用点到直线距离公式，可求得点A 到直线的距离，即为直线上点到点A 距离的最小值. 【详解】
根据点到直线的距离公式可得，结合图像
点()3,0A 到直线3450x y +-=的距离为22
33054
5
34⨯+-==
+d ，即直线3450x y +-=上一动点P 到()3,0A 的距离的最小值为45
， 故答案为：45
． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P 到点A 的距离的最小值转化为点A 到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.
14．【分析】先根据条件得到点的轨迹方程为由条件可得曲线与圆有8个公共点作出的图象根据数形结合可得答案【详解】如图根据切线的性质可得与全等由则为等腰直角三角形则所以满足条件的点的轨迹方程为：P 为与圆的交点 解析：22m <<
【分析】
先根据条件得到点P 的轨迹方程为22
2x y +=,由条件可得曲线||||x y m +=与圆
222x y +=有8个公共点,作出||||x y m +=的图象，根据数形结合可得答案.
【详解】
如图，根据切线的性质可得OPM 与OPN 全等， 由90MPN ∠=︒，则OPM 为等腰直角三角形，则2OP =
所以满足条件的点P 的轨迹方程为：2
2
2x y +=
P 为||||x y m +=与圆222x y +=的交点,
由条件可得曲线||||x y m +=与圆22
2x y +=有8个公共点.
对于||||x y m +=,当0,0x y ≥≥时，x y m += 当0,0x y ≤≤时，x y m --= 当0,0x y ≥≤时，x y m -= 当0,0x y ≤≥时，x y m -+= 如图，当2m =
时，曲线||||x y m +=与圆22
2x y +=有4个交点.
当2m =时，曲线||||x y m +=与圆22
2x y +=相切，有4个公共点.
根据图象可得，当22m <<时，曲线||||x y m +=与圆22
2x y +=有8个公共点
故答案为：22m <<
【点睛】
关键点睛：本题考查轨迹问题和根据图象的交点个数求参数，解答本题的关键是先求出点
P 的轨迹方程为：222x y +=，然后转化为曲线||||x y m +=与圆22
2x y +=有8个公
共点.根据图象先求出临界情况的参数值，再数形结合解出答案，属于中档题.
15．或【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论可求得结果【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时直线的方程为；当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时设直线的方程为又直线过点则解得所以直线的方程为；所以
解析：1
2
y x =-或1y x =--. 【分析】
按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】
当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-
； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x y
a a
+=，
又直线l 过点(2,1)A -，则21
1a a
-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--； 所以直线l 的方程为1
2
y x =-或1y x =--. 故答案为：1
2
y x =-或1y x =--. 【点睛】
易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式
1x y
a b
+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
16．【分析】由可知点在以为直径的圆上可求出该圆的方程又点在直线上只需圆与直线有公共点即可即可列出关系式求出的取值范围【详解】因为所以点在以为直径的圆上该圆的圆心为半径为2圆的方程为又因为点在直线上所以点 解析：[]10,10-
【分析】
由PM PN ⊥，可知点P 在以MN 为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可，即可列出关系式，求出m 的取值范围. 【详解】
因为PM PN ⊥，所以点P 在以MN 为直径的圆上， 该圆的圆心为()0,0O ，半径为2，圆的方程为2
2
4x y +=，
又因为点P 在直线l 上，所以点P 在直线l 和圆22
4x y +=的交点处， 若点P
2≤，即10m ≤，解得1010m -≤≤.
故答案为：[]10,10-. 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据PM PN ⊥，得出点P 在以MN 为直径的圆上，结合点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点
解析：7 【分析】
根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】
解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，22
2:(2)1O x y -+=是相离的，
所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：
与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即2
2
9x y +=；
与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b ，则22(02)423b b
-+=⇒=±，
∴22(23)9x y +±=，
同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：
与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；
分别为22315()()92x y ++±=和22
315()()92x y -+±=，
共7个， 故答案为：7． 【点睛】
由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.
18．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的
解析：72,243⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
化简式子可得()()2
2191+-=≥x y y ，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k ，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】
由题可知：219y x =+-，所以()()2
2191+-=≥x y y 如图
又直线()35y k x =-+，即350kx y k 过定点()A 3,5
21357324
1
--+=⇒=
+k k k
当直线过点()3,1B -时，()512
333
-==--k
所以72,243⎛⎤
∈
⎥⎝
⎦k 故答案为：72,243⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
19．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是
【分析】
为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】
为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP
应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136
x y
+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线
136x y +=,即260x y +-=
的距离d ==
设OP 与AB 交于点,Q 则2
~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,
∴
max ||OQ =
=
故答案为：53
. 【点睛】
本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.
20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所 解析：2
【分析】
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，
再利用基本不等式，即可求出11PM QN
+的最小值. 【详解】
圆2
2
20x y x +-=可化为2
2
(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，
抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
由214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2
1
14y x =，22
24y x =，所以22
2
121212()14416
y y y y x x =⋅==，
因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==， 所以
111122PM QN PM QN
+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11
PM QN
+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为
()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；
（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】
解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-， 即260kx y k --+=2
6221k k -=+，解得4
3
k =
，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意．
综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，
设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．
由于以PO 为直径的圆的方程为2222
442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
即()22
80x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为22
4x y +=②．
①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=，
则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．
22．（1）22(3)(2)25x y +++=；（2）存在4n =-或6n =，最大值为25
2
，直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【分析】
（1）设圆的一般式方程，代入A 、B 两点坐标，再圆心在直线上，列方程组得解. （2）设圆心到直线的距离为()0h h >，将三角形CDE △的面积表示为h 的函数，用基本不等式求最值及取最值时h 的取值，进一步可得对应的直线方程. 【详解】
（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为点()1,1A 和()2,2B -在圆上，圆心C 在直线l ：10x y -+=上，
所以110442201022D E F D E F D E ⎧
⎪++++=⎪⎪
++-+=⎨⎪⎛⎫⎪---+= ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得6D =，4E =，12F =-，
所以圆的方程为2264120x y x y +++-=，即22
(3)(2)25x y +++=． （2）设圆心C 到直线m 的距离为()0h h >，H 为DE 的中点，连接CH . 在CDE △中，
∵DE ==
∴CDE △
的面积为11
22
CDE
S
DE CH h h =
⋅=⋅=
∴
222525
22
CDE
h h S
+-=≤=
， 当且仅当2225h h =-
，即h =
此时CDE △的面积取得最大值.
∵|1|22CH n h =
=-==
， ∴|1|5n -=，∴4n =-或6n =，故存在4n =-或6n =，使得CDE △的面积最大，最
大值为
25
2
，此时直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【点睛】
此题为直线与圆的综合题，属于能力题.
方法点睛：直线与圆相交的弦、弦心距、圆的半径三者构成的直角三角形是此类问题中的特征三角形，边长满足勾股定理是解决此类问题关键.
23．（1）22(4)(5)10x y -+-=；（2）3x =或4360x y --=. 【分析】
（1）先利用已知点求中垂线，联立直线方程得到圆心坐标，再利用点到圆心的距离计算半径，即得圆的标准方程；
（2）先讨论斜率是否存在写出方程，根据弦长、半径与圆心到直线的距离构建关系求出参数，即得结果. 【详解】
解：（1）过点(1，6)，(5，2)的直线的斜率是
26
151
-=--，两点的中点是()3,4，故其中垂线的斜率是1，中垂线是43y x -=-，即1y x =+，圆心在直线2x -y -3=0和1y x =+上，联立方程得圆心()4,5C ，()()2
2
2415610r =-+-=，
故圆C 的标准方程为22
(4)(5)10x y -+-=；
（2）若直线l 斜率不存在，则直线l ：3x =，此时圆心到直线的距离为1
，故
1
32
AB ===，|AB |=6，满足题意； 若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l ：2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=，要使弦长
|AB |=6，132AB
=
，则圆心到直线的距离为1d ==
，即1=，解得4
3k =
，故直线方程是42(3)3
y x -=-，即4360x y --=. 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=.
【点睛】
求直线被圆截得的弦长的常用方法： （1）几何法：直线被圆截得的半弦长
2
l
、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且 2
222l r d ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
；
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，由根和系数的关
系，利用弦长公式计算弦长
12AB x =-=
24．（1）34140x y +-=；（2）(1,1)M . 【分析】
（1）通过平行设出直线方程，代入(2,5)P -即可；
（2）过点C 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
的直线与直线l 垂直，可得004310x y --=，加上M 在直线上，联立求交点即可. 【详解】
（1）因为直线m 与直线l 平行，设直线m ：340(7)x y a a ++=≠-， 将点(2,5)P -代入得：14a =-，所以直线m ：34140x y +-=. （2）设()
0,0M x y ，则
001433
CM
y k x ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭=
=，即004310x y --=①， 又M 在直线l 上，所以003470x y +-=②，
①②联立得：001
1
x y =⎧⎨=⎩，所以(1,1)M .
【点睛】
本题主要考查直线的一般式的平行关系与垂直关系，正确写出解析式是处理此题的关键. 25．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34
y x =-. 【分析】
（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222
222
(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+
=⎩
，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=
（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】
（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，
222222
(2)(12)(0)(32)a a r a a r
⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩
解得1,
a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，
由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：
1d ==
解得3
4k =-
，所以直线l 的方程为34
y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或3
4
y x =- 【点睛】
易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
26．（1）224x y +=；（2）2340x y +-=；（3）(2,0)(0,2)-
【分析】
（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1
||2
EA EB =，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）连接OG ，OM ，求出以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程，再跟圆C 求公共弦，即切点弦方程；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用根与系数的关系可得
P ，Q 两点横坐标的和与积，结合POQ ∠为钝角，得0OP OQ <，即12120x x y y +<，
从而可得直线l 的纵截距的取值范围． 【详解】
解：（1）设点E 点坐标为(),x y ，则
||1
||2
EA EB = 得2222
(1)1
(4)4
x y x y -+=-+ 整理得：2
2
33120x y +-= 曲线C 的方程是2
2
4x y +=.
（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，
连接OG ，OM ，由题意知22||2313OG =+=，22||3GM OG OM =-=，
∴以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程为22(2)(3)9x y -+-=①，
又圆C 的方程为2
2
4x y +=②，
由①-②得直线MN 的方程是2340x y +-=；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立22
4x y +=
得：222240x bx b -+-=，
设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y 由(
)
2
2
(2)840b b ∆=--->，得28b <，
12x x b +=.2124
2
b x x -⋅=
因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<， 即12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线， 又11y x b =-+，22y x b =-+，
所以()2
1212121220x x y y x x b x x b +=-++<
12x x b +=，21242
b x x -= 222121240x x y y b b b +=--+<
得24b <，即22b -<<，
当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，对于过圆222()()x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()2
00x a x a y b y b r --+--=．。