《精编》黑龙江省哈三中高三数学10月月考 理 新人教A版.doc

哈三中2021-2021学年度上学期高三学年10月份月考数学试题〔理工
类〕
考试说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考
试时间120分钟．
〔1〕答题前，考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚；
〔2〕选择题必须使用2B 铅笔填涂在机读卡上，请在各题目的答题区域内作答；
〔3〕只交机读卡和答题卡.
第I 卷 〔选择题，共60分〕
一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项
为哪一项符合题目要求的.〕 1．()cos 210-︒=
A ．
12 B ．12- C ． D ． 2．扇形的面积为316
π
，半径为1，那么该扇形的圆心角的弧度数是
A ． 163π
B ． 83π
C ．43π
D ． 2
3π
3．假设平面向量,a b 满足(2,1)a b +=-，(1,2)b =，那么向量a 与b 的夹角等于 A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒
D ．135︒
4．要得到函数sin 2y x =的图象，可由函数cos 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象 A ．向左平移6π个长度单位 B ．向左平移3π
个长度单位 C ．向右平移6
π个长度单位 D ．向右平移
3
π
个长度单位
5．命题2:
11
x
p x <-，命题:()(3)0q x a x +->，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是
A ．(]3,1--
B ．[]3,1--
C ．(],1-∞-
D ．(],3-∞-
6．函数()cos ,[,0]f x x x x π=∈-的单调递增区间是
A ．[,]3
π
π-- B ． 5[,]66ππ-
- C ． ]0,3
[π
- D ． ]0,6
[π
-
7．在ABC △中，D 是AB 边上一点，假设4AB DB =，1
()4
CD CA CB R λλ=
+∈，那么λ的值为
A ．23 B. 34 C. 23- D. 34
-
8．某函数图象如图，那么以下一定不能作为该函数解析式的是
A. 2sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B. 22sin 23y x π⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭ C. 2cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D. 52cos 26
y x π⎛⎫=-+
⎪⎝
⎭
9．数列1,3,6,10,15,…的递推公式是
A.111,n n a a a n n N ++
=⎧⎨
=+∈⎩ B.111
,,2n n a a a n n N n -+=⎧⎨=+∈≥⎩
C. 111(1),n
n a a a n n N -+=⎧⎨=++∈⎩ D. 1111
(1),,2n n a a a n n N n +-+=⎧⎨=++∈≥⎩
10． 函数[]3
(),0,1f x x ax x =-∈，假设关于x 的不等式()2f x >的解集为空集，那么满
足条件的实数a 的取值范围是
A. []1,0-
B. []1,3-
C. {}0
D. [)1,-+∞
11. 定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,1x ∈--时，()12f x x =-+，那么有
A ．()sin1f ()cos1f >
B ．()sin 2f ()cos2f >
C ．()cos1f ()sin 2f >
D ． ()sin 2f ()sin1f >
12．在平面直角坐标系中，假设两个不同的点(,)A a b ，(,)B a b --均在函数()y f x =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点〔[],A B 与[],B A 看作同一组〕，
函数22sin 4(0)
()log (1)(0)
x x g x x x ≤⎧=⎨
+>⎩关于原点的中心对称点的组数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第二卷 〔非选择题，共90分〕
二、填空题(此题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置) 13. 平面向量,a b 满足：()1,2a =-，b a ⊥，且25
b =，那么向量
b
的坐标为
______________.
14．数列{}n a 为等比数列，且3542a a a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，假设44b a =，那么7S = .
15. ()1
cos 153
α︒-=，那么()sin 3002α︒-= . 16. 如以下列图，两射线OA 与OB 交于O ，以下向量假设以O 为起点，终点落在阴影区域内〔含边界〕的是 .
①2OA OB - ②
3143OA OB + ③11
23
OA OB + ④
3145OA OB + ⑤31
45
OA OB - 三、解答题(此题共6小题，总分70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．〔本小题总分值12分〕ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，
12
cos 13
A =
． (Ⅰ)求AB AC ⋅； (Ⅱ)假设1c b -=，求a 的值．
18.〔本小题总分值12分〕函数()2cos() (0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正 周期为π，其图象的一条对称轴是直线8
π
=x ．
〔Ⅰ〕求ω，ϕ；
〔Ⅱ〕求函数)(x f y =的单调递减区间； 〔Ⅲ〕画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象．
19.〔本小题总分值12分〕向量)cos 3,sin 31(),sin ,(cos θθθθ-==n m ，),0(πθ∈，
22=+，求)6
2
cos(
π
θ
+
的值．
20.〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系中，1A (3,0)-，2A (3,0)，
P 〔,x y 〕，M 2(9,0)x -，O 为坐标原点，假设实数λ使向量1A P ，OM λ和
2A P 满足：
2212()OM A P A P λ=⋅，设点P 的轨迹为W ．
〔Ⅰ〕求W 的方程，并判断W 是怎样的曲线； 〔Ⅱ〕当3
λ=
时，过点1A 且斜率为1的直线与
W 相交的另一个交点为B
，能否在直线
9x =-上找到一点C ，恰使1A BC ∆为正三角形？请说明理由．
21.〔本小题总分值12分〕函数sin ()sin x f x e k x =-. 〔Ⅰ〕假设k e =，试确定函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)假设对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数k 的取值范围； 〔Ⅲ〕假设函数()g x ＝()()f x f x m +--在3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所答的第一题记分
22.〔本小题总分值10分〕曲线15:2x t
C y t =+⎧⎨
=⎩〔t 为参数〕，⎩⎨⎧==θ
θsin 3cos 32:2
y x C 〔θ为参数〕，点Q P ,分别在曲线1C 和2C 上，求线段PQ 长度的最小值．
23.〔本小题总分值10分〕函数2244212)(x x x x x f +-++-= ．
〔Ⅰ〕求)(x f 的值域；
〔Ⅱ〕关于x 的不等式m x f <)(有解，求实数m 的范围．
24．〔本小题总分值10分〕如图，在ABC ∆中，
90=∠ABC ，以BC 为直径的圆O 交AC 于点D ，连接OD ，并延长交BA 的延长线于点E ，圆O 的切线DF 交EB 于F 〔Ⅰ〕证明：BF AF =； 〔Ⅱ〕假设8=ED ，5
4
sin =E ，求OC 的长。

答案：
DBDCC ABCBB CC
B
13.()4,2或()4,2-- 14. 14 15.
7
9
16. ② 17.〔1〕由周期得2ω=，(0)(),4
4
f f ππ
ϕ=∴=-
………………………4分
〔2〕单调减区间为5,8
8k k π
πππ⎡⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈ ………………………6分 〔3〕略 ………………………12分 18. (Ⅰ) AB AC =cos bc A ⋅,
15
sin 30,sin ,212
ABC S bc A A ===156bc ∴= ……………4分
144AB AC ∴= ………………………6分
(Ⅱ) ()2
2
222212
cos 22135
b c bc a b c a A bc bc a -+-+-===∴= ………………………12分 19. 3
22sin()6
4
m n π
θ+=-=
…………… 4分 设,(,)662πππθαα-=∈， 那么2642θππα
+=-， …………… 6分 又
(0,)2
6
6
θ
π
π
+
∈
故cos()264
θπ+=== …………… 12分 20.〔1〕由得22222222
(9)9,(1)9(1)x x y x y λλλ-=-+--=-即 …………… 2分
①2
1,λ>焦点在x 轴上的双曲线 ②2
0λ=，圆心在原点，半径为3的圆 ③201,λ<<焦点在x 轴上的椭圆
④2
1λ=，直线
0y = ……………………… 6分
〔2〕22
196
x y λ=+=
设直线1A B 方程为3y x =+
22
215189096
3x y x x y x ⎧+
=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩
……………………………10分 1312(3,0),
(,)55A B ∴-- 15
A B =，
在直线9x =-
上，离1(3,0),A -最短距离为6，
1
5
AC ∴>无法形成正三角形 ……………………………12分
21. ⑴由e k =得sin ()e esin x f x x =-，那么()
sin ()e
e cos x
f x x '=-． ……………1分 又sin e
e 0x
-≤，故32,2,22x k k k Z ππππ⎛
⎫
∈++
∈ ⎪⎝
⎭时，cos 0x <，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间是32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
，注：闭区间也正确………3分 ⑵由()f x 是周期为2π的周期函数．
所以只需要考虑对任意[]0,2x π∈，()0f x >恒成立， 由sin ()(e )cos x f x k x '=-
①当[,)k e ∈+∞时，类似于第1问，min ()()02
f x f e k π
==-≤，不符合题意…4分
②当1
(,]k e
∈-∞-时，有min 31
()()02f x f k e π==+≤，不符合题意 ……………5分 ③11(,]k e e ∈-时，也有min
31
()()02f x f k e
π==+>，符合题意 ……………6分
④当1
(,)k e e
∈时，令sin ()(e )cos 0x f x k x '=-=得sin ln x k =或cos 0x =
那么1()(1ln ),,f x k k e k e k -=--+在1
(,)k e e
∈时均大于0,所以()0f x >恒成立
综上得，实数k 的取值范围是1
e k e
-
<<． ……………8分 ⑶sin sin ()x
x g x e e m -=+-,sin sin ()cos ()x x g x x e e -'=-
在3,44x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
上,sin sin sin 0,1x x x e e ->>>, 所以()g x 在,42x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦上为增函数,在3,24x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上为减函数,且3()()44g g ππ=…10分
所以当1[)m e
e e -∈++时函数()g x 在3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有两个零点……………12分
22. 0102:C 1=--y x ……………3分
Q 到直线1C 的距离5
10
sin 3cos 34--=
θθd ……………6分
≥PQ 5
10
sin 3cos 34--=
θθd =
5
10
)sin(57+-ϕθ ……………9分
≥
5
285
5105
57
10-=
- ……………10分
23． 221)(-+-=x x x f …………… 2分 〔1〕2≥x 时，153)(≥-=x x f
21<<x 时，x x f -=3)(，2)(1<<x f 1≤x 时，235)(≥-=x x f
综上，)(x f 的值域为),1[+∞ ……………6分 〔2〕假设使不等式m x f <)(有解，只需m 大于)(x f 的最小值，即1>m ……10分
24．〔1〕连接BD ，那么
90=∠BDC ，由DF 是切线，得FD FB =，
90=∠=∠EDF FDO , 90=∠+∠=∠+∠BCD FDA ADE FDA
90=∠+∠BCD BAD
∴BAD FDA ∠=∠
∴FD FA =
∴BF AF = ……………5分
(2)54sin =+=
ED OC OC E , 5
4
8=+OC OC ,32=OC . ……………10分。