动量守恒定律 子弹 弹簧模型

一、子弹大木块
1、如图所示，质量为M的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为m的子弹以初速度v0水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为d，木块给子弹的平均阻力恒为f.若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？
2、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。

—颗质量为的子弹
从木块的左端打进。

设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题
二、板块
3、如图1所示，一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量
v从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动为m的物块（可视为质点），以水平初速度
摩擦因数为 ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。

图1
4、如图所示，—质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参照系给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板．以地面为参照系，
(1)若已知A和B的初速度大小为，求它们最后的速度的大小和方向．
(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．
三、 弹簧
5．(8分)如图2所示，质量M ＝4 kg 的滑板B 静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C 到滑板左端的距离L ＝0.5 m ，这段滑板与木块A (可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C 到弹簧固定端D 所对应的滑板上表面光滑．小木块
A 以速度v 0＝10 m/s 由滑板
B 左端开始沿滑板B 表面向右运动．已知木块A 的质量m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.求：
(1)弹簧被压缩到最短时木块A 的速度 ； 2 m/s (2)木块A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能． 39 J
6、（09·山东·38）（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A 、B 、C ，质量分别为m B =m c =2m ,m A =m ，A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。

开始时A 、B 以共同速度v 0运动，C 静止。

某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。

求B 与C 碰撞前B 的速度。

0v
7. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球，如图1所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

图1
（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。

（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

8. 用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以s m v /6 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物体C 静止在前方，如图3所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。

求：在以后的运动中，
图3
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A 的速度有可能向左吗？为什么？
四、 曲面与摆球
(1)(a)图中B 是半径为R 的1
4圆弧轨道，A 、B 最初均处于静止状态，现让A 自由下滑，
求A 滑离B 时A 和B 的速度大小之比.
(2)(b)图中B 也是半径为R 的1
4
圆弧轨道，初态时B 静止不动，滑块A 以速度v 0沿轨道
上滑，若滑块已滑出轨道B ，求滑出时B 的速度大小.
(3)(c)图中B 为一半径为R 的半圆形轨道，开始时B 静止不动，滑块A 以一初速度v 0
使其沿轨道下滑，若A 能从轨道的另一端滑出，求滑出时B 的速度为多大？
(4)(d)图中小球来回摆动，求小球摆至最低点时A 、B 速度大小之比.
【答案】(1)v A ∶v B ＝M ∶m (2)v B ＝mv 0
M ＋m (3)v B ＝0 (4)v A ∶v B ＝M ∶m
9、如图所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M 的木块，一质量为
m 的子弹，以水平速度v 0击中木块，已知M ＝9m ，不计空气阻力.问：
(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O 低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g )
(2)如果子弹以水平速度v 0击中木块，在极短时间内又以水平速度v 0
4
穿出木块，
则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少？
10、光滑的水平面上有A 、B 两辆小车，m B ＝1 kg ，原来静止.小车A 连同支架的质量为m A ＝1 kg ，现将小球C 用长为L ＝0.2 m 的细线悬于支架顶端，m C ＝0.5 kg.开始时A 车与C 球以v 0＝4 m/s 的共同速度冲向B 车，如图所示.若A 、B 发生正碰后粘在一起，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2.试求细线所受的最大拉力.
11、（2012新课标）（2）（9分）如图，小球a 、b 用等长细线悬挂于同一固定点O 。

让球a 静止下垂，将球b 向右拉起，使细线水平。

从静止释放球b ，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。

忽略空气阻力，求 （i ）两球a 、b 的质量之比；
（ii ）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b 在碰前的最大动能之比。

12、如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为，乙车内用细绳吊一质量为
的小球，当乙车静止时，甲车以速度
与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，
甲车和小球的速度各为多大？涉及摆的临界问题
13、. 如图所示，光滑水平面上质量为m 1=2kg 的物块以v 0=2m/s 的初速冲向质量为m 2=6kg 静 止的光滑圆弧面斜劈体。

求：
（1）物块m 1滑到最高点位置时，二者的速度； （2）物块m 1从圆弧面滑下后，二者速度；
（3）若m 1= m 2物块m 1从圆弧面滑下后，二者速度; (1) 0.5m/s ； （2）-1m/s; 1m/s; (3) 0; 2m/s;
a
b
O
v 0
m 2 m 1
答案：
1、【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v ，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即
mv 0＝(m ＋M )v 对系统应用动能定理得
fd ＝12mv 20－12(M ＋m )v 2
由上面两式消去v 可得 fd ＝12mv 20－12(m ＋M )(mv 0m ＋M )2
整理得12mv 20＝m ＋M M fd
即12mv 20＝(1＋m M
)fd 据上式可知，E 0＝12mv 20
就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰
能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f 和木块的厚度d (或者说与f ·d )有关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能E 0
必须大于(1＋m
M )f ·d .
2、分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。

由动量守恒定律得：
①
要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：
②
根据功能关系得：③
解以上三式得：
3、解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。

对物块，滑动摩擦力f F 做负功，由动能定理得：
2022
121)(mv mv s d F t f -=
+- 即f F 对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力f F 对木块做正功，由动能定理得22
1
Mv s F f =，即f F 对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：
><=-+=--1)(2
1
21212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t
本题中mg F f μ=，物块与木块相对静止时，v v t =，则上式可简化为：
><+-=2)(2
121
2
20t v M m mv mgd μ
又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：
><+=3)(0t
v M m mv
联立式<2>、<3>得：
)
(220
m M g Mv d +=μ
故系统机械能转化为内能的量为：
)
(2)(220
20m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=+⋅==μμ
4、【分析与解】(1)A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同
的速度.设此速度为V ，根据m ＜M ，可知 ，判断出V 的方向应与B 板初速度同
向，即向右．A 和B 的初速度的大小为
，则由动量守恒可得：
解得：
方向向右
(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法，在此基础上形成正确的物理图景．注意以下说理分析：A 在B 板的右端时初速度向左，而到达B 板左端时的末速度向右，若以地面为参考，可见A 在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动，直到相对地面速度为零的阶段，而后经历因B 板速度方向向右，A 相对B 板向左，故A 所摩擦力方向向右，A 向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为
的阶段，如下图所示．在前一阶段，摩
擦力阻碍A 向左运动，在后一阶段，摩擦力为动力，使A 向右加速．设 为A 开始运动到
速度变为零过程中向左运动的过程，
为A 从速度为零增加到速度
过程中向右运动的路
程，L 为A 从开始运动到刚到达B 的最左端的过程中B 运动的路程．设A 与B 之间的滑动
摩擦力为
，则由功能关系可知：
对于B:
对于A:
由几何关系
由以上四式解得
6、解析：（2）设共同速度为v ，球A 和B 分开后，B 的速度为B v ,由动量守恒定律有
0()A B A B B m m v m v m v +=+,()B B B C m v m m v =+,联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为
09
5
B v v =。

7、解析：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v 1，由动量守恒得10)(v m m mv +=当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒得2132mv mv =，由以上两式求得A 的速度023
1
v v =。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E P ，由能量守恒，有
P E mv mv +⋅=⋅222132
1221撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有2
3)2(2
1v m E P ⋅=
以后弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v 4，由动量守恒得4332mv mv =
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E P '，由能量守恒，有
'3212212423P E mv mv +⋅=⋅解以上各式得2036
1'mv E P =。

8、解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，有
A C
B A B A v )m m m (v )m m (++=+
解得：s m v A /3=
（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为'v ，则
s m v v m m v m C B B /2'')(=+=，
设物块A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E P ，根据能量守恒
J v m m m v m v m m E A C B A A C B P 12)(2
121')(21222=++-++=
（3）由系统动量守恒得
B C B A A B A v m m v m v m v m )(++=+
设A 的速度方向向左，0<A v ，则s m v B /4> 则作用后A 、B 、C 动能之和
J v m m v m E B C B A A k 48)(2
12122>++=
实际上系统的机械能
J v m m m E E A C B A P 48)(2
1'2
=+++=
根据能量守恒定律，'E E k >是不可能的。

故A 不可能向左运动。

9、【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v 1，则mv 0＝(m ＋M )v 1
因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h ，则1
2(m ＋
M )v 21＝(m ＋M )gh
h ＝v 20
200g
(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块速度为v 2，
则mv 0＝m (v 0
4)＋Mv 2，在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为
ΔE ＝12mv 20－12m (v 04)2－12Mv 22＝716
mv 2
10、【正解】小车A 与小车B 相碰的瞬间，C 的速度保持v 0不变，A 、B 组成的系统动量守恒：
m A v 0＝(m A ＋m B )v AB
解得v AB ＝m A v 0m A ＋m B ＝1×4
1＋1 m/s ＝2 m/s
方向与v 0相同.
A 、
B 结合成整体的瞬间，
C 的速度仍为v 0，所以C 相对于A 、B 整体的相对速度为v
相＝v 0－v AB ＝2 m/s
A 、
B 碰后，
C 相对于悬点做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律可得F －m C g ＝m C v 2相L ，即 F ＝m C g ＋m C v 2相L ＝(0.5×10) N ＋0.5×220.2
N ＝15 N 11、解：（i ）设球b 的质量为m 2，细线长为L ，球b 下落至最低点，但未与球a 相碰时的速度为v ，由机械能守恒定律得22212
m gL m v = ① 式中g 是重力加速度的大小。

设球a 的质量为m 1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正。

有动量守恒定律得 212()m v m m v '=+②
设两球共同向左运动到最高处，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得212121()()(1cos )2
m m v m m gL θ'+=+-③ 联立①②③式得12111cos m m θ
=-- 代入数据得12
21m m =- （ii ）两球在碰撞过程中的机械能损失是 212()(1c o s )Q m g L
m m g L θ=-+- 联立①⑥式，Q 与碰前球b 的最大动能E k （E k =2212
m v ）之比为 122
1(1cos )k m m Q E m θ+=--⑦ 联立⑤⑦式，并代入题给数据得212
k Q E =- ⑧ 12、分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量守恒定律得：①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。

当小球和车的速度相同时，小球到达最高点。

对两车和小球应用动量守恒定律得：②
解以上①②两式得：。