2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知命题p：，，命题q：，，则
A. 命题是假命题
B. 命题是真命题
C. 命题￢是真命题
D. 命题￢是假命题
【答案】C
【解析】解：当时，成立，
故命题p为真命题；
当时，，
故命题q为假命题，
故命题是真命题，故A错误；
命题是假命题，故B错误；
命题￢是真命题，故C正确；
命题￢是真命题，故D错误；
故选：C．
举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．
2.在中，，，，则边c等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，，，
，
则，即得，
故选：D．
根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．
3.若实数x，y满足，则的最小值为
A. 2
B. 1
C. 0
D.
【答案】D
【解析】解：画出实数x，y满足表
示的平面区域，
如图所示；
平移目标函数知，
当目标函数过点A时，z取得最小值，
由，解得，
的最小值为．
故选：D．
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．
本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
【答案】B
【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，
则数列公比为2的等比数列，
，
解得．
故选：B．
设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最
小值为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】解：，，a，b的等差中项是，
又
当且仅当时，等号成立，
取得最小值5
故选：C．
先由等差中项求得，又，再构造基本不等式
求解．
本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．
6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，
，则异面直线PB与AC所成的角为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP
所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，
则0，，1，，0，，0，，
则1，，0，，
设，，夹角为，
则，
所以，
即异面直线PB与AC所成的角为，
故选：B．
由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，
0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即
，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．
本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．
7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为
A. 或
B. 或
C.
D.
【答案】C
【解析】解：不等式对一切实数x都成立，
则，
即，
解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：C．
根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．
8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，
若线段AB的长为8，则
A. B. 1 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，
与抛物线方程联立，得，
消去y可得：，
，
，
解得：．
故选：C．
写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，
由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．
本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．
9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，
E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积
取得最大值时，DE的最小值为
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：的面积．
当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，
设，则
，
当时，取得最小值，故DE的最小值为，
故选：B．
易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，
设，则，，故DE的最小值为，
本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
10.已知不等式的解集为，则______．
【答案】3
【解析】解：不等式的解集为，
和b为的解，
将代入方程得：，即，
方程化为，将代入方程得：，
解得：不合题意，舍去或，
则．
故答案为：3
由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a 与b的值，即可求出的值．
此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b 是解本题的关键．
11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45
【解析】解：，
，
所以，
则．
故答案为：45
由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列
的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．
此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．
12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，
在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是
海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．
【答案】5
【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知
海里，海里，，
由正弦定理可得：，
即，解得，
，
海里．
故答案为：5．
利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．
本题考查了解三角形的应用，属于基础题．
13.如图，双曲线C：上有一点
A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦
点，且满足，，则双曲线的
离心率e的值为______．
【答案】
【解析】解：，可得，
在中，，
，
在直角三角形ABF中，，可得，
，取左焦点，连接，，可
得四边形为矩形，
，
．
故答案为：
运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连
接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．
Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；
Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：Ⅰ当时，由得得，
由得，
若为真命题时，则p，q同时为真命题
即，得，即实数x的取值范围是
Ⅱ由，得，
若p是q的必要不充分条件，
则，
则，即，即实数m的取值范围是．
【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，
q同时为真命题进行求解即可
Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可
本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．
15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
Ⅰ若的面积为，求a，b的值；
Ⅱ若，求的面积．
【答案】本题满分为12分
解：Ⅰ，，
由余弦定理，可得：，
的面积为，
解得：，
由可得：，分
Ⅱ，
，
又由余弦定理，可得：，
解得：，，
，分
【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，
联立即可得解a，b的值．
Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.设是公比为正数的等比数列，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，求证：数列的前n项和．
【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，
，，可得，
解得，则，；
Ⅱ证明：，
则，
可得前n项和
，
由，可得．
【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；
Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．
本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为
万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元
全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．
Ⅰ求实数a的值；
Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．
【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，
Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，
当时，，，
则
，
当且仅当，解得时，取等号．
当时，则
，此时．
，
最大收益为17万元，
答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．
【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可
本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．
18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为
矩形，四边形ADEF为梯形，、，
，．
Ⅰ求证：平面ABF；
Ⅱ求二面角的正弦值．
【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边
形ABCD为矩形，
，平面ADEF，，
四边形ADEF为梯形，、，
，
平面ABF．
解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分
别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．
平面ABF的法向量1，，
，
，
0，，0，，，
0，，，
设平面BDF的法向量y，，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则，，
二面角的正弦值．
【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重
合，且椭圆的离心率为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．
【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，
则，
又，
，
，
故椭圆的方程为；
易知直线l的斜率k存在，设其方程为．
设，
则由消去y得：，
由，得．
则，．
则
又原点到直线l的距离为，且，
所以
设，则，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以面积取得最大值．
【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程
Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．
本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。