河南省汤阴一中2013届高三数学实验班练习(2) 理 新人教A版

河南省汤阴县第一中学
高三实验班数学练习（2）2012.09.30
教师寄语：爱因斯坦说“有了想象，数学就成了诗。

”愿这诗情画意处处伴随你。

第I 卷（选择题共60分） 一．选择题(/
/
12560⨯=) 1.设i 是虚数单位，则复数1i
i -+的虚部是： （ ）
A ．
12
i B ．12i - C ．12 D ．12
-
2.如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有：
A. 11种
B. 20种
C. 21种
D. 12种
3.已知命题p ：函数1
2+-=x a y 恒过（1,2）点；命题q ：若函数)1(-x f 为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是： A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ∧⌝ 4.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中 标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是：
A ．4 cm 3
B ．5 cm 3
C ．6 cm 3
D ．7 cm 3
5.已知定点12(2,0),(2,0)F F -，N 是圆2
2
:1O x y +=上任意一 点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线 F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是： A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
6.已知函数tan y x ϖ=在(,)22
ππ
-
内是减函数，则： A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1 7. 若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是：
A ．()2
ln x f x x x =-
B ．()ln x
f x x x =- C ．()2
ln x f x x x =+ D ．()ln x f x x x
=+
8.若 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且
3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为：
A ．
65 B ．15 C ．65- D ． 15
- 9.点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥面ABC ，
26AD AB ==,则该球的体积为：
A ．323π
B ．48π
C ．643π
D ．163π
10.已知函数3()13
x
x
f x =+（x R ∈），正项等比数列{}n a 满足501a =，则
1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a ++
+=
A ．101
B ．99
C ．1012
D ．99
2
11.设函数()sin ()f x x x x R =∈在0x x =处取得极值，则2
00(1)(1cos 2)x x ++的值
为： A ． 2 B ．12 C ．1
4
D ．4
12.已知直线()1y k x =+(其中0k >)与抛物线2
:4C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛
物线C 的焦点，若2FA FB =,则k = A ．
223 B ．23 C ．13 D ．2
3
第II 卷（非选择题共90分）
二．填空题(/
/
4520⨯=) 13.
()2
2x
x e dx -=⎰ .
14.已知实数,x y 满足0,
,260
x y x x y >⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则2y x +的最小值等于 ．
15.某同学为研究函数)10()1(11)(2
2
≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如上图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，
点P 是边BC 上的一个动点，设CP x ，则()AP PF f x . 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 . 16.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且
3,2PA PB ==，
3PC =.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积若
1
()(,,)2
f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a 的最小值
为 .
三．解答题(///////
12121212121070+++++=)
17.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为2
,,,sin sin cos 2.a b c a A B b A a += （1）求
;b
a
（2）求A 的取值范围。

E
F
A
B
C D P
18.某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．
（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（Ⅱ）求互换后A 校教师派往甲地人数ξ的分布列和数学期望．
19.如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060. (Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；
(Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；
（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.
20.已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为
3
2
，且过双曲线2221x y -=的顶点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）命题：“设M 、N 是双曲线22
21x y -=上关于它的中心对称的任意 两点，P 为该双曲线上的动点，若直线PM 、PN 均存在斜率，则它们的斜率
之积为定值，且定值是1
2
”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆E 的类似的正确命题，
并加以证明；
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程2
2
1mx ny +=（0mn ≠，,m n
不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.
21.已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的零点个数；
（Ⅲ）设数列{}n a ，{}n b 均为正项数列，且满足112212n n a b a b a b b b ++
+≤++
n b +，求证：12121n b b b n a a a ⋅⋅
⋅≤．
选做题（从22、23两题中选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22.选修4—1：几何证明选讲
如图ABC ∆内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD ∥,MN
AC BD 与相交于点E ．
(1)求证：AD AE =; (2)若6,4,AB BC AE ==求．
23.选修4－5：不等式选讲
已知0,0,a b >>且2
9
2
2
=
+b a ，若m b a ≤+恒成立， （Ⅰ）求m 的最小值；
（Ⅱ）若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.
练习（2）参考答案
一.选择题:
DCBAB BADAD AA
二.填空题:
13.2
5e - 14.2 15. 1
2
x
16.1 三．解答题:
A
B
C
D
E
M
N
18.解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E ，有以下两种情况：
①互换的是A 校的教师，记此事件为1E ，则1133111563
()10
C C P E C C =⋅=……2分
②互换的是B 校的教师，记此事件为2E ，则11
32211561
()5
C C P E C C =⋅=．……4分
则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为：
12311
()()()1052
P E P E P E =+=+=．………….6分
（Ⅱ）ξ的可能取值为2,3,4．
113311563
(2)10C C P C C ξ==⋅=；
11113332111156561
(3)2C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=；
11
3211561
(4)5
C C P C C ξ==⋅=．
故ξ的分布列为：
ξ
2 3 4 P
310 12 15
……10分 数学期望31129
234102510
E ξ=⨯+⨯+⨯= …………..12分
19.(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，
所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥， 又,BD DE 相交
从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分
(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，以D 为原点，射线DA 、DC 、DE 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系xyz D -.
因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=， (5)
分
所以
3
=
DB
ED
.由3=AD 可
知DE =，AF
=. 则(3,0,0)A
，F ，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，
所以(0,BF =-，(3,0,
EF =-，
设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n
，即30
30
y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，
令z ==n (4,2,. ………7分
因为
AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-， 所以cos ,32CA CA CA
⋅〈〉=
=
=n n n 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为13
13
. …8分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .
则(3,,0)AM t t =-， 因为//AM 平面BEF ，
所以AM ⋅n 0=， ……10分 即4(3)20t t -+=，解得2=t . ………11分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，1
3
BM BD =
，符合题意. (12)
分
20. 本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．
解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，半焦距为c ，
则1,c a a ==22214
c b a c ∴==-=， ∴椭圆E 的方程为2241x y +=． …………4分
（Ⅱ）关于椭圆E 的正确命题是：设M 、N 是椭圆22
41x y +=上关于它 的中心对称的任意两点，P 为该椭圆上的动点，若直线PM 、PN 均存在斜率， 则它们的斜率之积为定值，且定值是1
4
-
． ……5分 证明如下：
设点(,)P x y ，00(,)M x y ，00(,)N x y --， …………6分 直线PM 、PN 的斜率分别为,PM PN k k ，
则22
0002
2
000
PM PN y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， ……7分 点(,)P x y ，00(,)M x y 在椭圆上，
∴2241x y +=，且220041x y +=，
∴2
2
2
2
00440x x y y -+-=， 即22022
01
4
y y x x -=--，…………8分 所以，1
4PM PN k k ⋅=-（定值）． ……9分
（Ⅲ）关于方程22
1mx ny +=（0mn ≠，,m n 不同时为负数）的曲线的统一的一般性
命题是：
设M 、N 是方程2
2
1mx ny +=（0mn ≠，,m n 不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，P 为该曲线上的动点，若直线PM 、PN 均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是m
n
-
.………12分
21. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想以及有限与无限思想．
解：（Ⅰ）当1a =时，1
()1f x x
'=
-（0x >）
， 当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， ()f x ∴在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，
∴当1x =时，()f x 取得极大值1-，无极小值．…………2分
（Ⅱ）方法一，由()0f x =，得ln x
a x
=（*），
令ln ()x g x x =，则2
1ln ()x
g x x -'=， …………3分
当0x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<， ()g x ∴在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，
max 1
()()g x g e e
∴==， ……………4分
又当0x →时，()g x →-∞；当x e >时，ln ()0x
g x x
=>，……6分
∴当0a ≤或1a e =时，方程（*）有唯一解，当1
0a e
<<时，方程（*）有两个不同解，
当1
a e
>时，方程（*）无解，
综上所述，当0a ≤或1
a e
=时，()y f x =有1个零点；
当10a e <<时，()y f x =有2个零点；当1
a e
>时，()y f x =无零点． …8分
方法二，由()0f x =，得ln x ax =，
()y f x ∴=的零点个数为ln y x =和y ax =的图象交点的个数． …5分 由ln y x =和y ax =的图象可知：
当0a ≤时，()y f x =有且仅有一个零点； ………6分
当0a >时，若直线y ax =与ln y x =相切，设切点为00(,)P x y ，
因为1
(ln )y x x
''==，
000ln 1x k x x ∴=切＝，得0x e =，1k e ∴切＝， 故当1
a e =时，()y f x =有且仅有一个零点； ……6分
当10a e <<时，()y f x =有两个零点；当1
a e
>时，()y f x =无零点，
综上所述，当0a ≤或1
a e =时，()y f x =有1个零点；
当1
0a e <<时，()y f x =有2个零点；
当1
a e
>时，()y f x =无零点． ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，ln 1x x ≤-．
0,0n n a b >>，ln 1n n a a ∴≤-，从而有ln n n n n n b a b a b ≤-，
即ln n
b n
n n n a b a b ≤-（*n ∈N ）， ………………10分
1
1
1
ln i
n
n
n
b i i i i i i i a b a b ===∴≤-∑∑∑，
112212n n n a b a b a b b b b +++≤++
+，即1
1
0n n
i i i i i b a b ==-≤∑∑，
1
ln 0i n
b i i a =∴≤∑，即1212ln()0n b b b n a a a ⋅⋅
⋅≤，
12121n b b b n a a a ∴⋅⋅⋅≤． ………………12分
22.(1)证明：
BD ∥MN ,AED ACN ∴∠=∠.
又MN 为圆的切线 ACN ABC ∴∠=∠,则AED ABC ∴∠=∠. DCN CAD ∴=∠∠
AB AC =,ABC ACB ∴∠=∠ ACB AED ∴∠=∠.
又=.ADB ACB AED ADB ∠∠∴∠=∠AD AE =∴ 5分
(2) =,ACD ABD CAD CAB ∠∠∠=∠且AE AD =， ABE ∴∆≌ACD , 4.BE CD BC ∴=== 设AE x =，易证2
,3
ABE DEC DE x =△∽△， 又AE EC BE ED =，所以10
3x =
10分
23.解：（Ⅰ）
法一：利用柯西不等式：
22222()(11)()3a b a b a b ++≥+∴+≤
又m b a ≤+恒成立，3m ≥，故m 的最小值为3……….5分 法二：可利用基本不等式。

222a b ab +≥ 2229
()2()232
a b a b ∴+≤+≤⨯
= 3a b ∴+≤当且仅当3
2
a b ==
取等号。

又m b a ≤+恒成立，3m ≥，故m 的最小值为3。

法三:可设,((0,)222
a b πθθθ=
=∈,则3sin()34a b πθ+=+≤ 当且仅当4πθ=即3
2
a b ==取等号。

又m b a ≤+恒成立，3m ≥，故m 的最小值为3。

你不能左右天气，但你可以改变心情；
你不能改变容貌，但你可以展现笑容；
你不能控制他人，但你可以掌握自己；
你不能预知明天，但你可以利用今天；
你不能题题顺利，但你可以考试尽力。