【湘教版】九年级数学上期中试卷(带答案)

一、选择题
1．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝
47
，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
2．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）
A ．AE CF =
B ．EPF 为等腰直角三角形
C ．EP AP
=
D ．2ABC
AEPF S S
=四边形
3．如图，在ABC ∆中，30,8,5BAC AB AC ∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转30得到ADE ∆连接CD ，则CD 的长是（ ）
A ．7
B ．8
C ．12
D ．13
4．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把
△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）
A ．（-1，3）
B ．（3，-1）
C ．（31-，）
D ．（-2，1）
5．如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△EFC ，使点E 恰巧落在AB 上，连接BF ，则BF 的长度为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．2
6．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．抛物线()2
512y x =--+的顶点坐标为（ ） A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()1,2-
D ．()2,1
9．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ） A ．2x =
B ．2x =-
C ．4x =
D ．4x =-
10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ） A ．图象开口向上
B ．对称轴是直线2x =-
C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小
D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小
11．关于x 的一元二次方程()2
541
0a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）．
A ．5a ≠
B ．1a ≥且5a ≠
C ．1a ≥
D ．1a <且5a ≠
12．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A ．不存在实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个根是x
D ．有两个相等的实数根
13．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．(2)(2)0x x -+= B ．220x -= C ．2(1)0x -=
D ．2(1)20x ++=
14．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019
二、填空题
15．小明从如图所示的二次函数()2
0y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：
①3
2
a b =
；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．
信息的有_______________．（请填序号）
16．已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：
x
2- 1- 0 1 2
3 y
8
3
1-
3
则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______．17．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________． 18．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则
11
m n
+的值为_________． 19．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______． 20．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2
220y ax ax a a =++->与x 轴交
于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．
三、解答题
21．（1）问题发现：
如图1，ACB △和DCE 均为等边三角形，当DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．
①填空：AEB ∠的度数为______．
②线段AD 、BE 之间的数量关系是_______． （2）拓展研究：
如图2，ACB △和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==，点A 、D 、E 在同一直线上，若15AE =，7DE =，求AB 的长度． （3）探究发现：
图1中的ACB △和DCE ，在DCE 旋转过程中当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索AOE ∠的度数，直接写出结果，并说明理由．
22．如图，已知ABC 和A B C ''''''△及点O ．
（1）画出ABC 关于点O 对称的A B C '''；
（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．
23．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．
（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才
能获得最大利润？
24．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
3- 52- 2- 1- 0 1 2
52 3
y
3
54
1- 0 1- 0
54
3
请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________； （3）进一步探究函数图象发现：
①方程22||0x x -=的实数根为____________； ②方程22||2x x -=有____________个实数根．
③关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围____________． 25．用配方法解方程：22510x x -+= 26．计算题
（1）解方程：2
690x x ++= （2）解不等式组：315
2(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF 的长，再利用勾股定理求出AF 的长，从而求得
GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】
∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵DE＝BG，
∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，
∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，
解得x＝4
7
，
∴BF＝4
7，AF
7
，故②正确，③错误，
∴GF＝3+4
7＝
25
7
，
∴S△AEF＝S△AGF＝1
2AB×GF＝
50
7
，
故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．C
解析：C
【分析】
利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，AP⊥BC，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，
∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪
=⎨
⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△APE ≌△CPF （ASA ）， ∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ， ∴△EPF 是等腰直角三角形，
S 四边形AEPF =
1
2
S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确，
∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
3．A
解析：A 【分析】
过点D 作DF AC ⊥与F ，由旋转的性质可得AD=AB=8，30BAC DAB ∠=∠=︒，由直角三角形的性质可得AF=4，DF=3AF=43，由勾股定理可求解． 【详解】
解：过点D 作DF AC ⊥与F ，
将ABC ∆绕点A 顺时针旋转30得到ADE ∆，
830AD AB BAC DAB ∴==∠=∠=︒，， 60CAD ∴∠=︒，且DF AC ⊥，AD=8
4343AF DF AF ∴===，，
1CF ∴=，
224817CD DF CF ∴=+=+=
故选A ．
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、勾股定理，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．C
解析：C
【分析】
如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵AE⊥OB，
∴OE=EB=1，
∴2222
--
AO OE
2
13
==
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，
∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠A′OH=∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H=OE=1，3
∴A′（31），
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．A
解析：A
【解析】
试题分析：由题意可知：∠A=60°，AC=EC，所以△ACE是等边三角形，所以
∠CEA=∠ECA=60°，由旋转可知，∠CEF=∠A=60°，所以∠FEB=60°，因为
∠ECF=∠ACB=90°，所以∠BCF=∠ACE=60°，因为CB=CF，所以△CBF是等边三角形，所以∠CBF=60°，∠FBE=60°+30°=90°，△BEF是30度角直角三角形，因为AE=AC=1，
AB=2AC=2，所以BE=1，EF=2，21
-=A．
213
考点：1．旋转性质；2．直角三角形性质．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知： A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确； B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确； C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确； D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故选D.
考点：轴对称图形和中心对称图形识别
7．B
解析：B 【分析】
由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上， ∴a ＞0；
又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴， ∴c ＜0；
∴ac ＜0，即①正确； ②由图象知，对称轴x ＝2b
a
＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B ． 【点睛】
此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．
8．B
解析：B 【分析】
由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标． 【详解】
解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
9．A
解析：A 【分析】
利用抛物线对称轴公式求解即可． 【详解】
解：∵2288y x x =-+-，
∴对称轴为直线x=-8
22(2)
=⨯-， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
10．C
解析：C 【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】
解：∵2
(2)7y x =---，
∵a ＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大， ∴A 、B 、D 都不正确，C 正确， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
11．B
解析：B 【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】 解：由已知得：
()()()2
50
44510
a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
12．A
解析：A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．
【详解】
∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，
∴()()2
1410c -+⨯-+=， 解得：3c =，
∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，
故原方程中5c =，
则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．
13．D
解析：D
【分析】
分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】
A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；
B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；
C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；
D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，
此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．
14．A
解析：A
【分析】
把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成
()2222020m m -+，再整体代入求出即可．
【详解】
∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，
∴221m m -=，
∴()
222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 二、填空题
15．①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下∴a ＜0∴对称轴∴故①正确；∵抛物 解析：①③④⑤
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∴对称轴123b x a =-
=-， ∴32
a b =，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴24b ac -＞0，故②错误；
∵对称轴123b x a =-
=-，a ＜0， ∴32
a b =＜0， ∴ab ＞0，故③正确；
当1x =时，y ＞0，即，y ＜0，
∴a b c ++＜0，故④正确；
当1x =-时，y ＞0，即，
a b c -+＞0，
∴222a b c -+＞0， ∵32
a b =
， ∴322b b c -+＞0，
∴2b c +＞0，故⑤正确；
故答案是①③④⑤．
【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．
16．或【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可以得到对称轴函数图象的开口方向再根据表格中的数据即可得到y-3＞0成立的x 取值范围【详解】解：由表格可知该二次函数的对称轴是直线函数图象开口向上故y-3＞ 解析：1x <-或3x >
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y-3＞0成立的x 取值范围．
【详解】
解：由表格可知， 该二次函数的对称轴是直线1312
x -+=
=，函数图象开口向上， 故y-3＞0成立的x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3，
故答案为：x ＜-1或x ＞3．
【点睛】 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法 解析：3
【分析】
首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意，移项得223x x -=，
配方得：22131x x -+=+，即2
(1)4x -=，
∴1h =-，4k =
∴143h k +=-+=
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完
成求解．
18．；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解：∵方程x2+x ﹣2＝0的两个根分别为mn ∴m+n ＝﹣1mn ＝﹣2故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系牢 解析：12
； 【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入
11n m m n mn
++=中即可求出结论． 【详解】
解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ，
∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2， 111122
n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：
12 ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a
是解题的关键． 19．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 解析：4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，
∴()2
24440b ac k ∆=-=--=， 解得：4k =；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
20．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围
【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点
解析：1＜a≤2
【分析】
画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．
【详解】
解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点式为y＝a（x＋1）2−2，
∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为（−1，−2），
∴M和N两点关于x＝−1对称，
根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a−2，
∴−1＜a−2≤0，
当x＝1时，y＝4a−2＞0，
即：
120 420
a
a
--≤
-
⎧
⎨
⎩
＜
＞
，
解得1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．
三、解答题
21．（1）①60°；②AD BE
=；（2）AB的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知
∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．
【详解】
（1）①如图1，
∵ACB △和DCE 均为等边三角形，
∴CA CB =，CD CE =，60ACB BCE ∠=∠=，
∴ACD BCE ∠=∠，
在ACD △和BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
()?ACD BCE SAS ≌， ∴
ADC BEC ∠∠=， ∵DCE 为等边三角形，
∴60CDE CED ∠=∠=，
∵点A ，D ，E 在同一直线上，
∴120ADC ∠=，
∴120BEC ∠=，
∴60AEB BEC CED ∠=∠-∠=．
故答案为：60°．
②∵
≌ACD BCE ，
∴AD BE =，
故答案为：AD BE =．
（2）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA CB =，CD CE =，90ACB DCE ∠∠==，
∴ACD BCE ∠=∠，
在ACD △和BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACD BCE SAS △≌△，
∴8AD BE AE DE ==-=，ADC BEC ∠∠=，
∵DCE 为等腰直角三角形，
∴45CDE CED ∠=∠=，
∵点A ，D ，E 在同一直线上，
∴135ADC ∠=，
∴135BEC ∠=，
∴90AEB BEC CED ∠=∠-∠=， ∴2217AB AE BE =+=．
（3）如图3，由（1）知≌ACD BCE ，
∴CAD CBE ∠=∠，
∵60CAB CBA ∠=∠=，
∴120OAB OBA ∠+∠=，
∴18012060AOE ∠=-=，
如图4，同理求得60AOB ∠=，
∴120AOE ∠=，
∵AOE ∠的度数是60°或120°．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD ≌△BCE （SAS ）是解本题的关键．
22．（1）详见解析（2）详见解析
【分析】
（1）分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、，再顺次连接即可；
（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，连接两组对应点的连线的交点即为所求点.
【详解】
（1）如图，分别作A 、B 、C 三点关于点O 对称点A B C '''、、,连接A B B C A C ''''''、、，则所得A B C '''为所求三角形；
（2）如图，连接C C '''、A A '''相交于点O '、则点O '即为所求点.
【点睛】
本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，解题的关键是看图. 23．（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．
【分析】
（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；
（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．
【详解】
解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，
28
10600106804800W x x x x
210x 346760 当x 34=时，W 有最大值6760元
因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元． （2）由（1）可知210346760W x
∴函数图像开口向下，对称轴为34x =，
∵最高销售单价不得超过30元，
∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时210303467606600W
， 因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元． 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 24．（1）见解析；（2）①函数图象是轴对称图形，关于y 轴对称；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；（3）①12x =-，20x =，32x =；②2；③10a -<<
【分析】
（1）描点、连线即可得到函数的图象；
（2）根据函数图象得到函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
（3）①根据函数图象与x 轴的交点位置，即可得到结论；
②如图，根据y=x 2-2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；
③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是-1＜a ＜0．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）由函数图象知：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
故答案为：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （3）①由函数图象知：函数图象与x 轴的交点所对应的数为-2，0，2，所以方程x 2-2|x|=0的实数根为12x =-，20x =，32x =；
②如图，∵y=x 2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x 2-2|x|=2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x|=a 有4个不相等的实数根，
∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，
故答案为：12x =-，20x =，32x =；2；-1＜a ＜0．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了观察函数图象的能力． 25．151744x =
+，251744
x =- 【分析】
依据配方法的基本步骤解方程即可．
【详解】
解：22510x x -+=，
系数化为1得：251022x x -
+=， 配方得：2255251()024162
x x -+--+=， 即：2517()416
x -=，
两边同时开平方得：544x -
=±，
即1544x =+，2544
x =-． 【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．
26．（1）123x x ==-； （2）23x <<
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可．
（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．
【详解】
解：（1）2690x x ++=
因式分解得：()2
30x +=
解得：123x x ==-． （2）()3151227
2x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >
解不等式2得：3x <
∴不等式组的解集是23x <<．
【点睛】
本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．。