中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.
（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；
（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设，
则a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12；
∴2b=8，b2=16
∵a=6，2b=8，c=12，b2=16
∴2bc=96，ab2=6×16=96
∴2bc=ab2
a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=6ab，
∴x2=6×4×6，
∴x=12．
【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；
（2）求证：FQ=BQ
【答案】（1）解：∵≌，
∴，
∵均为半圆切线，
∴ .
连接 ,
则，
∴四边形为菱形，
∴DQ∥，
∵均为半圆切线，
∴∥，
∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，
∴ = ，
∴ .
∵是半圆的切线，
∴ .
过点作于点，
则 .
在中，，
∴，
解得：，
∴
∴
【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

3．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．
（1）求证：D是弧EC的中点；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK＋DO；
（3）如图3，在(2)的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝，KG＝2，求QH的长
【答案】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵AC是⊙O的切线，
∴OC⊥AC，
∴∠ACO=90°，
∴∠A+∠AOC=90°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵EF⊥BC，
∴∠OGB=90°，
∴∠B+∠BOG=90°，
∴∠BOG=∠AOC，
∵∠BOG=∠DOE，
∴∠DOC=∠DOE，
∴点D是的中点
（2）证明：如图2中，连接OC．
∵EF⊥HC，
∴CG=GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC=FH，
∵∠CFK= ∠COE，
∵∠COD=∠DOE，
∴∠CFK=∠COD，
∵∠CHK= ∠COD，
∴∠CHK= ∠CFK，
∴点K在以F为圆心FC为半径的圆上，
∴FC=FK=FH，
∵DO=OF，
∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，
即CF=OK+DO；
（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF= ﹣（2﹣x），
∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，
∴（ +x）2﹣[ -（2﹣x）]2=（）2﹣（2﹣x）2，
解得x= ，
∴CF=5，FG=4，CG=3，OG= ，
∵∠CFE=∠BOG，
∴CF∥OB，
∴ = = ，
可得OB= ，BG= ，BH= ，
由△BHM∽△BOG，可得 = = ，
∴BM= ，HM= ，MQ=OQ﹣OB﹣BM=
在Rt△HMQ中，
QH= = =
【解析】【分析】（1）如图1中，连接OC．根据切线的性质得出OC⊥AC，根据垂直的定义得出∠ACO=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AOC=90°，根据等边对等角得出∠A=∠B，根据垂直的定义得出∠OGB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠BOG=90°，根据等角的余角相等得出∠BOG=∠AOC，根据对顶角相等及等量代换得出∠DOC=∠DOE，根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；
（2）如图2中，连接OC．根据垂径定理得出CG=GH，进而得出EF垂直平分HC，根据线段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH，根据圆周角定理及等量代
换得出∠CFK=∠COD，∠CHK=∠CFK，从而得出点K在以F为圆心FC为半径的圆上，根据同圆的半径相等得出FC=FK=FH，DO=OF，根据线段的和差及等量代换得出CF=OK+DO；
（3）如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF=
﹣（2﹣x），根据勾股定理由CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，列出关于x的方程，求解得出x
的值，从而得出CF=5，FG=4，CG=3，OG= 根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两直线平行得出CF∥OB，根据平行线分线段成比例定理得出C F ∶O B = C G∶ G B = F G ∶G O ，进而可得OB,BG,BH的长，由△BHM∽△BOG，可得 B H ∶O B = B M ∶B G = H M ∶O G，再得出BM,HM,MQ的长，在Rt△HMQ中，根据勾股定理得出QH的长。

4．如图（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）如图（2），当AC过点E时，求t的值；
（2）如图（3），当AB与DE重合时，AC与EF、EG分别交于点M、N，求CN的长；（3）在整个运动过程中，设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y，请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．
【答案】（1）解：如图（2），当AC过点E时，
在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，
∴BC所对锐角∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
依题意可知∠ABC=∠EDC=90°，
∵∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，即，
∴CD= ，
∴t=CD= ；
（2）解：如图（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6，
∴DG= =3 ，
在Rt△EDG中，sin∠EGD= ，
∴∠EGD=30°，
∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，
∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°，
∴∠CNG=∠EGD，
∴NC=CG=DG﹣BC=3 ﹣3；
（3）解：由（1）可知，当x＞时，△ABC与△EFG有重叠部分．
分两种情况：①当＜t≤3时，如图（4），
△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN，设AC与EF、EG分别交于点M、N，过点N作直线NP⊥EF于P，交DG于Q，
则∠EPN=∠CQN=90°，
∵NC=CG，
∴NC=DG﹣DC=3 ﹣t，
在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3 ﹣t）= ，
∴PN=PQ﹣NQ=3﹣ = ，
∵∠PMN=∠NCQ=60°，
∴sin∠PMN= ，MN= =t﹣，
在矩形DEFG中，EF∥DG，
∴∠MEN=∠CGN，
∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN，
∴∠EMN=∠MNE，
∴EM=MN，
∴EM=MN=t﹣，
∴y=S△EMN= EM•PN= × ；
②当3＜t≤3 时，如图（5），
△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB与EF、EG分别交于点P、Q，AC与EF、EG分别交于点M、N，则∠EPQ=90°，
∵CG=3 ﹣t，
∴S△EMN= ，
∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，
∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）= ，
∴S△EPQ= EP•PQ= （t﹣3）× = ，
∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（）﹣（）= +（﹣，
综上所述，y与t的函数关系式：y= ．
【解析】【分析】（1）证△ABC∽△EDC，由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求t；
（2）利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可∠EGD=30°，进而可证得∠CNG=∠EGD，则NC=CG=DG﹣BC，可求出答案；
（3）根据重叠部分可确定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式.
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，
∴，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE~△CAD，
∴∠CDE=∠CAD，
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴CD=CB.
（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，
由（1）知CD=CB，
∴弧CD=弧CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴，
∵PB＝OB，
∴PB=OB=OA=r，PO=2r，
∴=2，
∵CD=2，
∴PC=4，PD=PC+CD=6，
又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，
∴∠PCB=∠PAD，
∵∠CPB=∠APD，
∴△PCB~△PAD，
∴，
即，
解得：r=4.
即⊙O的半径为4.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得
∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.
（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；
（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关
于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∴DE= ，
∵sinB= ，
∴，
t= ；
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
cosB= ，
∴，
∴t= ；
答：当△BDE是直角三角形时，t的值为或
（2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t，
如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，
∴DH∥AC，
∴，
∴，
∴DH= ，
∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× = t2− t+ ；∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t，
当3＜t＜8时，S= t2− t+ ；
②存在，如图5，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE，
BH= ，BE=t，EH= ，
∴BH=BE+EH，
∴ =t+ ，
∴t= ，
即当t= 时，▱CDEF为菱形．
【解析】【分析】（1）因为△BDE 是直角三角形有两种情况：
①当∠BED=90°时，可得DE∥AC，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DE
用含t的代数式表示，再根据sinB=可得关于t的方程，解方程即可求解；
② 当∠EDB=90°时，同理可求解；
（2）①当0＜t≤3时，S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，过D作DH⊥BC，垂足为H，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，同上；
②存在，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，根据BH=BE+EH可得关于t的方程，解方程即可求解。

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时.
①求证：△KGD∽△KEG；
②若，AK= ，求BF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，
又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，
又∠DKG=∠CKE，
∴△KGD∽△KGE.
②连接OG，如图所示.∵，AK= ，
设，∴，，则
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k.
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即，，，，则，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，
由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，，∴
在Rt△OGF中，，∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG. ，
设，，，则，在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，
；在Rt△OGF中，，，
8．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵PD平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP与⊙O相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴，
∴PA•BD=PB•AE
（2）解：如图，过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，
∵PD平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0的两个实数根，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知：，
∴cos∠APC= ，
∴cos∠BDF=cos∠APC= ，
∴，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AD=DF，
∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，
∵cos∠BAC=cos∠APC= ，
∴sin∠BAC= ，
∴，
∴DG= ，
∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2× = .
【解析】【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案.（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得
AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点 .在线段上有一动点（不与重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作于点 .
（1）求直线的函数解析式；
（2）求证：；并求出当为何值时，和的相似比为 .
【答案】（1）解：令：，则，解得：，
（舍）∴
令，得，∴
设直线：，把，分别代入上式得：
解之得：
∴
（2）证明：∵
又∵
∴
∵，，，
∴，，
∵∴
∴，（舍）
【解析】【分析】(1) 设直线：，求出A、B点坐标，代入求出k,b即可.(2)
利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出AN、PN的长，再根据相似比列式计算即可.
10．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P 点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
【答案】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP
2
②若PA=3，PC=4，则PB= ．
2
（2）解：如图，
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．
【解析】【解答】（1）②解：∵△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2 ；
【分析】(1)由已知可知∠APB=∠BPC=，利用三角形内角和可知，∠BAP+∠ABP=，又因为∠ABP+∠CBP=，所以可知∠BAP=∠CBP，所以△ABP∽△BCP；
（2）①由等边三角形可知AD=AC，AB=AE，∠EAC=∠BAD=∠BAC+，所以△EAC≌△BAD，由全等可知∠CPD=；
②利用△ADF∽△CFP，可得对应边成比例，由对应边成比例夹角相等，得到△AFP∽△CDF，所以∠APC=，即点P为△ABC的费马点.
11．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE 为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；【答案】（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形
（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．
∴ =（）2．
∵AD=4，AB=3，
∴BD=5，
S△CFE=（）2•S△DAB
= ××3×4
= ．
∴S矩形ABCD=2S△CFE
= ．
∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，
如图2③所示．
S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．
∴4×3=5×CF″′．
∴CF″′= ．
∴≤CF≤4．
∵S矩形ABCD= ，
∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．
∴≤S矩形ABCD≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠CFE=∠CGE=90°，根据垂直的定义可证得∠FEG=90°，再根据四个角是直角的四边形是矩形，即可得证。

（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根
据相似三角形的性质，可得出S矩形ABCD=2S△CFE= ，分情况讨论：Ⅰ．当点E在点A （E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处）；Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD；Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′；求出CF的范围，就可求出S矩形EFCG的范围。

12．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO 的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形
（2）解：连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM，
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2 ，
∴BM= ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴，
∴PB= ；
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM= ，
∴，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出▱OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出
结论；
（2）连接AP、OB，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM，根据等量代换得
出∠APB=∠OBM，从而判断出△APB∽△OBM，根据相似三角形对应边成比例得出;（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，
根据相似三角形对应边成比例得出,易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质得出BD=MO，OD=BM，故MO=2PO=BD，进而得出BM,OE,DE的长，易证△ADB∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD•AE，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF 的长，易证：△PEO∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB的长；当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，设PM=x，BD=2x，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A，从而判断出△ABD∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM，根据比例式得出x的值，进而得出BD，AB，BP的长。