【全国百强校】河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺(一)数学(文)试题(解析版)

唐山一中2019届高三冲刺卷（一）
数学文科试卷
卷I（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．
【详解】∵，＝，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题．
2.已知，则在，，，中最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，
∴y＝和y＝均为减函数，
∴＞，＜，
又∵y＝在（0，+∞）为增函数，
∴＞，
即在，，，中最大值是，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．
3.已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
∵，∴解得，故选D．
4.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，对都小于的正实数，满足，面积为，
两个数能与构成钝角三角形的三边的数对，满足且，
面积为，
因为统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数为，
则，所以，故选B.
5.在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（）
A. 3或-1
B. 9或1
C. 3
D. 9
【答案】C
【解析】
设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵成等差数列，
∴a3=2a2+3a1，
化为，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．
则==q=3，
故选：C．
6.已知锐角满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.
【详解】因为锐角满足，所以也是锐角，
由三角函数的基本关系式可得，
则，故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三视图还原该几何体，然后求出其表面积即可。

【详解】由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图），三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，三棱锥的底面为，，可求出等腰三角形的面积为2，该几何体的表面积为=，
故答案为C.
【点睛】本题考查了空间几何体的三视图问题，属于中档题。

8.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，由等边三角形的性质分析可得圆心到直线l的距离d，则有，解可得k的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆即（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径r＝2，
设正的高为h，由题意知为正的中心，∴M到直线l的距离d h，
又, 即,∴由垂径定理可得：，可得，
∴
由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，
则直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k-1＝0，
则有，
解可得：k＝或0（舍）
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档
题．
9.在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则( )
A. ,
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用表示出．
【详解】解：如图，
∵，M是AB的中点，N是CM的中点；
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查推理能力与计算能力．
10.设函数满足,当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数满足，当时，，所以
，故选A．
考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应
用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
【此处有视频，请去附件查看】
11.已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率.
【详解】设是关于渐近线的对称点，则有；
解得；
因为∠OPF2＝∠POF2，所以，；
化简可得，故选B.
【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式.
12.若对于函数f（x）＝ln（x+1）+x2图象上任意一点处的切线l1，在函数g（x）a sin cos x图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，∀x1，∃x2使得等式成立，即（，0）⊆[﹣1|a|，
﹣1|a|]，解得a的范围即可．
【详解】解：函数f（x）＝1n（x+1）+x2，
∴f′（x）2x，（其中x＞﹣1），
函数g（x）＝）a sin cos x a sin x﹣x，
∴g′（x）a cos x﹣1；
要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1，
总存在过曲线g（x）＝上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
则（2x1）（a cos x2﹣1）＝﹣1，
a cos x2﹣1，
∵2x12（x1+1）﹣2≥2 2
∵∀x1，∃x2使得等式成立，
∴（，0）⊆[﹣1|a|，﹣1|a|]，
解得|a|，
即a的取值范围为a或a．
故选：A．
【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
卷Ⅱ(非选择题共90分)
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于；将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于________________.（具体数值）
【答案】
【解析】
【分析】
三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类比：可利用四面体的体积相等求
得棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和．
【详解】解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．
方法如下，如图，
在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．
四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为．
由体积相等得：．
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了类比推理，考查了学生的空间想象能力，训练了等积法求点到面的距离，是基础题．14.已知实数，满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】6
【解析】
解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点处取得最大值
.
15.已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
分析：有数量积公式计算出,再计算与的夹角
详解：，=
||=
设向量与的夹角为，
所以
点睛：本题主要考查向量的数量积，向量的夹角，属于基础题。

16.如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知：截面是的外接圆，而是边长为的等边三角形，
所以外接圆，则，所以.
考点：1.平面截圆的性质；2.三角形外接圆半径的求法.
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且, 若.
（1）求角B的大小；
（2）若, 且△ABC的面积为, 求sin A的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知，结合sin A≠0，sin B≠0，可求cos B，结合范围0＜B＜π，可得B的值；
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，由余弦定理得a+c＝4，联立解得a，c的值，由正弦定理即可解得sin A的值．
【详解】（1）在∆ABC中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知条件得：
sinA⋅tanB = 2sinB⋅sinA , 由于sinA ≠0 , sinB ≠0, 则有：cosB =, 又0<B<π ,
所以B =
（2）由题可知：S∆ABC = acsinB = ac⋅sin=, ∴ ac=3 ,
在∆ABC中由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac⋅cos, 即有：7= a2+c2- ac , 整理得：
(a+c)2 - 3ac = 7 , 代入得：(a+c)2 =16 ，∴ a + c = 4 ,
解方程组, 又a>c，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得：,
∴sinA = .
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图，四边形ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，且平面ACEF⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H 为FG的中点.
（1）证明：BD⊥CH；
（2）若AB=BD=2，AE=，CH=，求三棱锥F-BDC的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由菱形性质得BD⊥AC，由面面垂直的性质得BD⊥面ACFE，由此能证明BD⊥CH；
（2）由已知得∠GCF＝120°，GF＝3，由线面垂直得BD⊥GF，从而S△BDF＝3，由CH⊥BD，CH⊥GF，得CH⊥平面BDF，由V F﹣BDC＝V C﹣BDF，利用等积法能求出三棱锥F﹣BDC的体积．
【详解】（1）证明：四边形为菱形，
，
又面面，
平面，
面面，
面，
面，
．
（2）解：在中，，，，
，
，
面，面，
，
，
又，，，
，平面，
平面，
．
【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题，解题时要认真审题，注意线面、面面平行与垂直的性质的合理运用．
19. 某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．
（1）分别求出的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
【答案】（1）；（2）人，人，1人；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由统计表可求得第１组的人数，再由频率分布直方图可得到第１组人数点总体人数的频率（等于对应矩形方块的高度矩形方块的宽度），从而就可得到总体的人数n；进而就可求得其余各组的人数，再由统计表就可计算出a,b,x,y的值；（2）分层抽样方法就是各层按照相同的比例抽样：其抽取的比例为：结合（１）结果就可得到各组所抽取的人数；（３）将从（２）中抽取的6人按组别用不同的字母表示,然后用树图方式列出从中抽取2人的所有可能情况,数出全部情况总数,最后从中数出第2组至少有1人的情况的种数,从而就可求得所求的概率.
试题解析：（1）第1组人数，所以，
第2组人数，所以，
第3组人数，所以，
第4组人数，所以，
第5组人数，所以. 5分
（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人. 8
分
（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：
，，，，，，，，，，，，，
，. 12分
其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，，，，，，，
，.
故所求概率为. 14分
考点：1. 频率分布表和频率分布直方图;2.抽样方法;3.古典概率.
20.如图，已知直线分别与抛物线交于点，与轴的正半轴分别交于点，且
，直线方程为．
（Ⅰ）设直线，的斜率分别为，求证：；
（Ⅱ）求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）联立，解得且知，由题意可设，，利用斜率公式直接带入即可得证.
（Ⅱ）设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为由题意得，利用点到直线的距离代入
求的解析式，有反比例函数图象得范围.
【详解】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知，
易知，由题意可设，
∴（），,, 故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，
联立，得:，
同理，得设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为，
∴，
∴．
因为，所以的取值范围是．
【点睛】题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立，可得交点的坐标，利用了斜率计算公式、点到直线间的距离公式、函数的单调性，属于难题．
21.已知（m，n为常数），在处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；
（Ⅱ）若，使得对上恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若有两个不同的零点，求证：.
【答案】（Ⅰ），x∈（0，+∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；
（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）＝1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）＝g（x2）＝0，根据相加和相减得到，再利
用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．
【详解】解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，
由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，
∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，
故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立，
令，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，
而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为
（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，
∴g（x1）=g（x2）=0，
∴，，相加可得，相减可得，由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证
明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，
∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出
求得结果即可.
【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），
化为普通方程为：
所以曲线C的极坐标方程：
（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，
然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：
，
所以
故解得
【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.
23.已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分x﹣2，﹣2≤x≤2，x2三种情况求解；
（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可. 【详解】解：（Ⅰ）当时，,
,不等式的解集为.
（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可，只需
的两个分段点位于的两侧即可.,.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题．。