2022-2023学年河南省高一上学期选调考试(二)数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省高一上学期选调考试（二）数学试题
一、单选题
1．命题“()0,x ∃∈+∞
，13<”的否定形式是（ ） A ．()0,x ∀∈+∞
1<
3 B ．()0,x ∃∈+∞
1
3> C ．()0,x ∃∉+∞
1
3≥ D ．()0,x ∀∈+∞
1≤
3>
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.
【详解】“()0,x ∃∈+∞
，13<≤”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞
1≤
3>”， 故选：D.
2．已知集合{}6A x x =≤，{}3,N B x x n n ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,3 B ．{}3,6 C ．{}0,3,6 D ．{}0,1,2,3,4,5,6
【答案】C
【分析】根据集合表示的含义求交集.
【详解】由题意知，B 表示的是自然数中，由3的倍数组成的集合. ∴{}0,3,6A B = 故选：C.
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”()1,,
0,,x D x x ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩
Q Q R “狄利克雷函数”在现代
数学的发展过程中有着重要意义.已知a ，b ∈R ，则“()()D a D b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题为充分必要条件的判断，()()D a D b =时，a ，b 不一定相等，反过来成立.
【详解】若a b =，则()()D a D b =，但当()()D a D b =时，a ，b 不一定相等，如(2)(3)D D =，但23≠所以“()()D a D b =”是“a b =”的必要不充分条件. 故选：B
4．()3a π=-，27b =-，()0
5c =-，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．c b a <<
【答案】A
【分析】首先构造三次函数，利用函数的单调性比较大小，而c 是正数，即可判断.
【详解】3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<. 故选：A
5．下列函数中，与函数()2f x x =-为同一函数的是（ ）
A ．()2g x =
B ．()g x =
C ．()2g x x =+
D ．()24
2
x g x x -=+
【答案】B
【分析】两函数相等，则定义域和解析式都相同，根据该定义，逐个选项进行判断即可求解.
【详解】对于A ，()2,0,22,0,x x g x x x -≥⎧==⎨--<⎩不符合题意；
对于B ，()2g x x =
-，符合题意；
对于C ，解析式不一样，不符合题意； 对于D ，定义域为{}2x x ≠-，不符合题意 故选：B
6．已知b ∈Z ，且关于x 的不等式()22
330ax b x a +-+-<的解集为()2,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭，其中0m >，
则b 的最大值为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A
【分析】根据不等式的解集，确定a<0，以及对应方程的两个实数根分别是m ，2
m
，利用根与系数的关系，求,a b ，表示为2
3b m m
-=+
，再根据基本不等式求b 的取值范围. 【详解】由()22
330ax b x a +-+-<的解集为()2,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭，可得a<0，且m ，2m 是方程
()22330ax b x a +-+-=的两根，
由根与系数的关系知2
2323b m m a
a m m a -⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=
⎪⎩，解得1a =-，23b m m -=+，
所以2
3b m m
-=+
≥
，即3b ≤-因为b ∈Z ，所以b 的最大值为0. 故选：A
7．已知函数()2f x 的定义域为{}01x x ≤≤，则函数()
224
f x x --的定义域为（ ）
A ．[)0,2
B ．(]2,4
C ．(]2,3
D ．[)(]0,22,4
【答案】B
【分析】根据复合函数求定义域的规则计算即可.
【详解】因为()2f x 的定义域为{}01x x ≤≤，所以022x ≤≤，即()f x 的定义域为[]0,2，
所以
()224f x x --中的x 需满足202240x x ≤-≤⎧⎨-≠⎩
，即24x ≤≤，2x ≠，()2
24f x x --的定义域为(]2,4； 故选：B. 8．已知函数()()2
1x f x x
+=
，若a ，b ∈R ，11a b +=，则()()56f a f b -+-=（ ）
A ．7-
B ．2
C ．11
2
D ．4
【答案】D
【分析】根据函数表达式得()()4f x f x +-=即可求解.
【详解】因为()
()2
11
2x f x x x
x
+=
=++，所以()()4f x f x +-=，
因为11a b +=，所以()()560a b -+-=，因此()()564f a f b -+-= 故选：D.
二、多选题
9．若集合{}{}2
|0|0x ax x a x x b ++==-=，则b 的值可能为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．12
D ．1
【答案】ABD
【分析】由题意知，20ax x a ++=只有一个实数根，分类讨论0a =和0a ≠两种情况，即可求解. 【详解】根据题意，20ax x a ++=只有一个实数根， 当0a =时，20ax x a ++=化为0x =，所以0b =. 当0a ≠时，2140a ∆=-=，则1
2
a =±.
若1
2
a =
，则20ax x a ++=的解集为{}1-，所以1b ；
若1
2
a =-，则20ax x a ++=的解集为{}1，所以1
b =.
故选：ABD.
10．下列命题为真命题的是（ ） A ．x ∃，y ∈R ，224250x y x y +-++= B ．当0ac b >>时，x ∀∈R ，20ax bx c ++> C ．“55x y >”的充要条件是“x y >” D ．“a b >”是“1a b >+”的必要不充分条件 【答案】ACD
【分析】对于A ，利用配方法整理等式，解方程，可得答案； 对于B ，利用一元二次方程根的判别式，可得答案；
对于C ，利用幂函数的单调性，结合充要条件的定义，可得答案；
对于D ，根据必要不充分条件的定义，利用特殊值法以及作差法，可得答案.
【详解】对于A ，因为()()2
2
2242521x y x y x y +-++=-++，所以当2x =，1y =-时，等式成立，故A 正确；
对于B ，当0ac >时，方程的判别式24b ac ∆=-无法判断正负，故B 错误； 对于C ，因为5y x =单调递增，所以“55x y >”的充要条件是“x y >”，故C 正确； 对于D ，当1,0.5a b ==时，1a b <+；由1a b >+，10a b ->>，则a b >，故D 正确. 故选：ACD.
11．已知函数()21,1,1,1,x x f x x x +<-⎧=⎨-≥-⎩则（ ）
A ．()f x 在[)1,-+∞上单调递增
B ．()f x 的值域为R
C ．()1f x >-的解集为()2,-+∞
D ．若关于x 的方程()f x m =恰有3个不同的解，则()1,0m ∈- 【答案】BD
【分析】对于选项A ，分析()f x 在[)1,-+∞上单调性即可.
对于选项B ，分别求出()f x 在(),1-∞-及[)1,-+∞值域，再求出两值域的并集. 对于选项C ，分别在x ∈(),1-∞-与x ∈[)1,-+∞前提下解不等式()1f x >-即可. 对于选项D ，由题意画出()f x 图像即可得答案.
【详解】对于选项A ，当x ∈[)1,-+∞时，()2
1f x x =-在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.
故A 错误.
对于选项B ，当x ∈(),1-∞-时，()f x ()0,∈-∞；当x ∈[)1,-+∞时，
()f x )1,∞⎡∈-+⎣.故()f x 值域是())1,01,∞⎡
-⋃-+⎣=R.故B 正确. 对于选项C ，当x ∈(),1-∞-时，()111>-⇒+>-f x x ，解得()2,1x ∈--.
当x ∈[)1,-+∞时，()2
111>-⇒->-f x x ，解得)()1,00,x ∞⎡∈-⋃+⎣.
综上，()1f x >-的解集为()()200,,∈-+∞∪x ，故C 错误.
对于选项D ，由题意画出()f x 图像如下，方程()f x m =恰有3个不同的解 等价于直线y m =与()f x 图像只有三个交点，由图可得()1,0m ∈-，故D 正确. 故选：BD
12．设{}min ,p q 表示p ，q 两者中较小的一个，{}max ,p q 表示p ，q 两者中较大的一个.若函数
(){}{}
2max min 3,3,3f x x x x x =-+-+-在()0,m 上有最大值，则（ ）
A ．()f x 在()0,m 上的最大值为2
B ．()f x 在()0,m 上的最大值为9
4
C ．m 的取值范围为(]1,5
D ．m 的取值范围为[)1,5
【答案】AC
【分析】根据分段函数，画图分析即可判断.
【详解】解：如下图实线是函数{}2
min 3,3y x x x =-+-+的图象，方程233x x x -+=-+的根为
121,3x x ==，该函数的最大值为max 132y =-+=
所以可得函数(){}{}
2
max min 3,3,3f x x x x x =-+-+-的图象如图所示实线部分，
故当()2f x =，有1x =，或()32f x x =-=时，5x =
由图可知()f x 在()0,m 上有最大值2，且m 的取值范围为(]1,5. 故选：AC.
三、填空题 13．已知()1
2f x x
-=，则()1f -=______. 【答案】1
3
【分析】使21x -=-计算即可.
【详解】令21x -=-，则3x =，所以()113
f -=. 故答案为：1
3
14．给出下列三个论断：①a b c >>；②ab bc >；③0b >且0c <.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______. 【答案】若a b c >>，0b >且0c <，则ab bc >.
【分析】分情况讨论，利用不等式性质直接比较式子的大小关系.
【详解】若选择①③作为条件，②作为结论：若a b c >>，0b >且0c <，则ab bc > ；
若选择①②作为条件，③作为结论：若a b c >>，ab bc >，则()0a c b ->，故0b >，但c 也可能大小0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；
若选择②③作为条件，①作为结论：若ab bc >，0b >且0c <，则()0a c b ->，故a c >，但a 与b 大小关系不确定，故 选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确. 故答案为：若a b c >>，0b >且0c <，则ab bc >.
15．已知(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221
2
x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是
______.
【答案】1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】不等式222
12
x y m m +>-恒成立等价于222min 1()2x y m m +>-，由基本不等式计算出22x y
+的最小值，代入求解关于m 的不等式即可. 【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，
所以()2
2
2
2
1
2121222x y x y xy xy x y +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭
+，
当且仅当1
2
x y ==
时，等号成立， 又不等式222
12
x y m m +>-恒成立，
所以
211
22
m m >-，即2210m m --<， 解得1
12m -<<.
故答案为：1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
16．设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有()()2f x f x x -=+成立，若()y f x =在
(],0-∞上单调递减，且()()112f a f a ++≥+，则a 的取值范围是______.
【答案】3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【分析】构造()()g x f x x =-，可证()g x 在R 上为偶函数，且可以得到()g x 在(],0-∞上单调递减，将不等式()()112f a f a ++≥+转化为()()12g a g a +≥+，利用()g x 的奇偶性与单调性可得
12a a +≥+，解得a 的取值范围.
【详解】由()()2f x f x x -=+，可得()()()f x x f x x -=---， 令()()g x f x x =-，则()()g x g x =-，故()g x 在R 上为偶函数. 由()y f x =在(],0-∞上单调递减，所以()g x 在(],0-∞上也单调递减， 由()()112f a f a ++≥+，可得()()11122g a a g a a ++++≥+++， 即()()12g a g a +≥+，所以12a a +≥+，解得3
2a ≤-.
故答案为：3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
四、解答题
17．已知命题p ：x ∃∈R ，240x ax -+<，且p 为假命题时，a 的取值集合为A . (1)求A ；
(2)请写出一个非空集合B ，使得“a A ∈”是“a B ∈”的必要不充分条件. 【答案】(1)[]4,4A =- (2)[]0,4B =（答案不唯一）
【分析】（1）转化为x ∀∈R ，240x ax -+≥，用二次不等式恒成立求解； （2）只需满足集合B 是集合A 的真子集即可.
【详解】（1）因为p ：x ∃∈R ，240x ax -+<为假命题， 所以p ⌝：x ∀∈R ，240x ax -+≥为真命题， 所以对应方程240x ax -+=的2160a ∆=-≤， 解得44a -≤≤，即[]4,4A =-
（2）因为“a A ∈”是“a B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 则[]0,4B =符合题意（答案不唯一）.
18．记函数()f x =
A ，集合{}1
B x x =≤.
(1)当2a =时，求R A B ⋂； (2)若B A ⊆，求a 的取值范围. 【答案】(1){}12x x <≤ (2)[)1,+∞
【分析】（1）分别求两个集合，再求集合的混合运算； （2）根据B A ⊆，比较集合的端点值，即可求a 的取值范围.
【详解】（1）当2a =时，()f x =()()210-+≥x x ，则12x -≤≤，即
{}12A x x =-≤≤
{}{}111B x x x x =≤=-≤≤，则R {1B x x =<-或1}x >
故{}R 12A B x x ⋂=<≤
（2）()(){}()(){}1010A x a x x x x a x =-+≥=-+≤，{}11B x x =-≤≤ 由B A ⊆，得1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞
19．据环保部门测定，某处的污染指数S 与附近污染源的强度a 成正比，与到污染源的距离b 成反比，比例常数为()0k k >，其关系式为ak
S b
=
.现已知相距20km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为5，2，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
km AC x =，()0,20x ∈.若C 为AB 的中点时，C 处的污染指数为1.4.
(1)试将y 表示为x 的函数； (2)求y 的最小值. 【答案】(1)10420y x x
=+-，()0,20x ∈
【分析】（1）首先设km AC x =，()0,20x ∈，根据污染强度，得到C 处的污染指数5220k k
y x x
=
+-，()0,20x ∈，根据C 为线段中点时的污染指数，求k ，即可看球的函数；
（2）根据2020x x +-=，利用“1”的变形，结合基本不等式，即可求函数的最小值. 【详解】（1）由题设知km AC x =，()0,20x ∈，点C 受到A 处的污染指数为5k
x
，受到B 处的污染指数为
220k
x
-，所以C 处的污染指数5220k k y x x =+-，()0,20x ∈ 当10x =时，
52 1.41010k k
+=，解得2k =，所以10420y x x
=+-，()0,20x ∈ （2）()(
)(10
42010201041412014142020202020
x x x x x x y x x x x ⎛⎫++- ⎪-⎛⎫-⎝⎭=+==++≥
+ ⎪--⎝⎭
=
，当且仅当()1020420x x x x -=-
时，x =. 20．已知()()1
2
2
51m f x m m x
+=++为幂函数，且在()0,∞+上单调递增.
(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；
(2)若对任意的()0,x ∈+∞，()ax a f x +>恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)m 的值为0，()1
2f x x = (2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程，利用单调性检验，可得答案； （2）整理不等式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）因为()()()1
2
2
51m f x m m x
m +=++∈Z 为幂函数，
所以2511m m ++=，解得0m =或5m =-，
当5m =-时，()2
f x x -=在()0,∞+上单调递减，不符合题意；
当0m =时，()1
2f x x =在()0,∞+上单调递增，符合题意.
综上所述，m 的值为0，()f x 的解析式为()12f x x =.
（2）()0,x ∈+∞，()ax a f x +>
，则a >，
1112=≤，当且仅当1x =
所以12a >，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 21．定义在{}0x x ≠上的函数()f x ，对任意x ，y ，都有()()()3f xy f x f y =+-，且当01x <<时，()3f x >.
(1)证明：()f x 在()0,∞+上单调递减.
(2)求不等式()()353f x f -<-的解.
【答案】(1)证明见解析 (2)2|3x x ⎧<⎨⎩或83x ⎫>⎬⎭
【分析】（1）对变量进行合理的赋值，令1xy x =，2x x =，可证得()f x 的单调性；
（2）先证明()f x 偶函数，利用单调性与奇偶性解抽象不等式.
【详解】（1）证明：令1xy x =，2x x =，设120x x <<，则12
x y x =，且01y <<， 所以()()11223x f x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即()()11223x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 又当01x <<时，()3f x >，所以123x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
所以()()12f x f x >，所以()y f x =在()0,∞+上单调递减.
（2）令1x y ==，则()13f =，
令1x y ==-，则()13f -=.
令1y =-，则()()()()13f x f x f f x -=+--=，所以()f x 为偶函数.
又()f x 在()0,∞+上单调递减，
由()()353f x f -<-，可得353x -<-或353x ->， 则23
x <或83x >， 所以不等式()()353f x f -<-的解集为2|3x x ⎧<⎨⎩或83x ⎫>⎬⎭. 22．已知函数()()2
1f x x a x =++.
(1)若()()g x f x ax =+是偶函数，求a 的值；
(2)已知0a ≤，()f x 在[)1,-+∞上的最小值大于3-，求a 的取值范围.
【答案】(1)2a =-
(2)(]3,0-
【分析】（1）利用偶函数的定义，()()f x f x -=，即可求a 的值；
（2）首先得分段函数()f x ，再分2a <-，20a -≤≤两种情况讨论函数的单调性，以及最值，即可求a 的取值范围.
【详解】（1）因为()()21g x x a x ax =+++是偶函数，所以()()g x g x -=, 即()()22
11x a x ax x a x ax -++-=+++，解得()()22a x a x -+=+, 所以20a +=，即2a =-
（2）()()[)()()2221,0,21,,0x a x x f x x a x x ∞∞⎧+++∈+⎪=⎨+-+∈-⎪⎩
当2a <-时，202a +-
>，222a --<-，所以()f x 在20,2a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在()1,0-，2,2a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()23213
a f f ⎧+⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪->-⎩，解得32a -<<- 当20a -≤≤时，202
a +-≤，2212a --≤-≤-，则()f x 在[)1,-+∞上单调递增， 所以()13f ->-，解得3a >-，即20a -≤≤
综上，a 的取值范围为(]3,0-。