江西省南昌二中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

南昌二中2016—2017学年度下学期期中考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．复数z ＝
1
1＋i 3
(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )． 11.i 22A - 11
B.i 22
+ C.1i - D.1i + 2.给出下列命题，其中正确的命题为 （ ）
A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有的直线都不垂直
C.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有的直线都不平行
D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直 3.已知直线,a b ，平面,αβ，则//a α的一个充分条件是（ ）
.,A a b b α⊥⊥ .//,//B a ββα .,//C b a a b ⊂ .//,//,D a b b a αα⊄
4.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）
.22A .10B .3C .4D
5.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点，()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 的关系是（ ）
A.垂直
B.不垂直
C.平行
D.以上都有可能
6.若{}
,,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
{}.,,A a a b a b +- {}B.,,b a b a b +- {}C.,,c a b a b +- {}D.,,2a b a b a b +-+
7.已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面
ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，
则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A.
6
π
B.
4π C. 3π D. 512
π 8.一个几何体的三视图如右图所示，正视图与侧视图为全等的矩形， 俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ） A.4
B.8
C.9
D.12
9.已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形， SD ABCD SD AB ⊥=平面，且，则四棱
锥S ABCD -的外接球的表面积为（ ）
.9A π B.43π C.12π D.10π
10. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝PA ．若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角A -PD -Q 的余弦值（ ） A.3
3 B. 306 C.66 D.26
11、如图在Rt△ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是( ) A ．(0， 3 D ．(2，4hslx3y3h
12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系
中移
动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则点1C 到原点O 的最远距离为 （ ） A ．22 B ．23 C ．5 D ．4 二、填空题（每小题5分，满分20分）
13.在复平面内，复数
21i
i
-对应的点坐标为______ 14．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==,G 为PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使
截面平行于直线PB 和AC ，则该截面的周长为______
在
15.如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设'
A ''B
B C
C ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ。

若'''A B C ∆是以角
为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值 ．
16 .已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长6AB =，侧棱长
127AA =，它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上任意一点，有以下判断： ①PE 的长的最大值是9；
②存在过点E 的平面，截球O 的截面面积是9π；
③三棱锥1P AEC -的体积的最大值是20；
④过点E 的平面截球O 所得截面面积最大时，1B C 垂直该截面. 其中判断正确的序号是______
三、解答题
17. （本小题满分10分）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点，设,,AB a AC b AD c ===,
,,a b c 为空间向量的一组基底，计算：
（I ）EF BA ; (II)EG .
18.（本小题满分12分）正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为1，,,M P Q 为棱,,AA CD BC '的中点，求：
（I ）求三棱锥D DBP '-的表面积； （II ）求三棱锥M B PQ '-的体积M B PQ V '-．
19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯 形，//AB CD ，223AB DC ==AC BD F =.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点， G 为PAD ∆重心.
（I ）求证：//GF 平面PDC ；
(II)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值；
20、（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2，AD =4，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. (Ⅰ)求证: CD ⊥BE ;
(Ⅱ)求点B 到平面CDE 的距离；
(Ⅲ)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.
F
C
A
B
D
E
H
A E
F C D
B
21．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=， 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面
FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤，试求cos θ的
取值范围.
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b
+=>>的左，
第21题
右焦点分别为1(30)F -，，2(30)F ，.点00()P x y ，是椭圆C 在x 轴上方的动点，且△12PF F 的周长为16.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点Q 到△12PF F 三边的距离均相等. ①当03x =时，求点Q 的坐标； ②求证：点Q 在定椭圆上.
南昌二中2016—2017学年度下学期期中考试
高二数学（理）试卷参考答案
1.A
2. D
3.D
4.D
5.A
6.C
7.B
8.B
9.C 10.A 11.C 12.D 13.(1,1)- 14.8
15. 2
解法一：如图建系，设()0,,B b m ，(),0,C c n ，则 ()()222210,,,,11cos 600b m c n b m c o n m n ⎧+=+=⎪⎪
=⋅⋅⎨⎪<≤⎪
⎩
因为12mn =
且0m n <≤，故2
m ≤ 又因为221c n +=，故1n <，又12mn =
，故1
2
m > 又因为2tan 1b m ϕ==-，122m <≤，故2
tan ϕ≥
解法二：注意到tan cos ''sin 'BA B BA z ϕ=∠=∠
考虑'BA z ∠为直线'BA 与 平面'ACC 所成的角，显然其上界（无法取得）为60，此时3sin 'BA z ∠=；其最小值当''BB CC =时取得，为45，因此最小值为2. 16.①③④
17.解（I ） ,,AB a AC b AD c ===，则0
1,,,,60a b c a b b c c a ======，
()
1
112
24EF BA c a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
（II ）1112
,2222
EG EB BC CG a b c EG =++=-
++∴= 18.解（I ）126
2D DBP S '-=
++ (II)如图，取AD 的四等分点N ，则1//MN B Q ，故11MQB NQB S S ∆∆=，
111111111131115111322222422448
M B PQ P MB Q P NB Q B PNQ
V V V V ----===⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅-⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
19.【解析】（Ⅰ）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .
由梯形ABCD ，CD AB //且2AB DC =，知2
1
AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴
21AG GH =，在AFC ∆中，2
1
AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又
HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .
方法二：过G 作AD GN //交PD 于N ,过F 作AD FM //交CD 于M ,连接MN ,
G 为PAD ∆的重心，
3
2
==PE PG ED GN ,33232=
=∴ED GN , 又ABCD 为梯形，CD AB //,21=AB CD
,2
1
=∴AF CF 3
1
=∴
AD MF ,332=∴MF ∴FM GN = 又由所作AD GN //，AD FM //得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.
PCD MN PCD GF MN GF 面，面⊆⊄,// ,∴//GF 面PDC
(II) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =
，连FQ ,则2
23
FQ BC ==, 1013,33EF GF =
=,1316
,33
EQ GQ == ,在GFQ 中 222339
cos 252
GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠==
，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为339 20.解：（1）由于⊥BH 平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ， ∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.
法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：
⎩⎨⎧-++=+=⇒⎩⎨⎧++=+=+=2
2222222222222)
2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得⎩⎨⎧==12
k h ，∴线段BH 的长度为2.即点B 到平面CDE 的距离为2.
（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的3
1
，∴点
A 到平面EFCD 的距离为3
2，而13=AF ，直线AF 与平面
EFCD 所成角的正弦值为
39
13
2. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、ES 为
x 、y 、
z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>z y z y B ，由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，
∴⎩⎨⎧=+-+=+9
)2(4,52
222z y z y 解得⎩⎨⎧==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. 即点B 到平面CDE 的距离为2. （3）从而)2,1,2(--=FB ，故)32,31,32(1--==
FB EA ，)3
2
,37,38(--=+=EA FE FA ， 设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=n ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，
则39
13
2sin =
⋅⋅=
n
FA n FA θ. 21.（I ）证明：在梯形ABCD 中， ∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，
∠ABC ＝60，∴ 2AB =，∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC
∴ 222BC AC AB +=∴ BC ⊥AC ，∵ 平面ACFE ⊥平
面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面
ABCD ，∴ BC ⊥平面ACFE
（II ）解法一：由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为
轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令
)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B
∴ ()
()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨
⎧=⋅=⋅0
011BM n AB n 得⎩⎨
⎧=+-=+-0
3z y x y x λ取
1=x ，则()
λ-=3,3,11n ， ∵ ()0,0,12=n 是平
面FCB 的一个法向量 ∴(
)
()
122
2
12||cos ||||
1331
34
n n n n θλ
λ⋅=
=
=⋅++
-⨯-+ ∵ 03λ≤≤ ∴ 当0
λ=时，θcos 7，当3λ=时，θcos 有最大值1
2。

∴ 71cos 2θ⎤∈⎥⎦
22. 解：（1）依题意，3c =，2216a c +=，所以5a =，从而22216b a c =-=， 故椭圆方程为
2
212516y x +=，（2）①当03x =时，01605
y =>， 则直线1PF 的方程为：815240x y -+=，直线2PF 的方程为：3x =，
所以81524x y y -+=，且3y x =-，其中815240x y -+>，解得2
95x =，65y =，所以点Q 的
坐标为()
9655
，；
②设()(0)Q x y y >，，则点Q 到△12PF F 三边的距离均为y ，由121212PF F QF F QPF QPF S S S S ∆∆∆∆=++， 得()
0121111662222y y y PF y PF ⨯⨯=⨯⨯+⋅+⋅，其中1210PF PF +=，所以083y y =，则直线1
PF 的方程为：00(3)3y y x x =++，即000(3)30y x x y y -++=，
所以038y =
，且22
0012516x y +=， 且00003(3)308y x y x y -++>， 化简得，0000
03(3)3388y x y x y y -++=，解得053x x =，
将053x x =，083
y y =代入
220012516x y +=，得224199y x +=， 所以点Q 在定椭圆上.。