全国版2017版高考数学一轮复习平面向量数系的扩充与复数的引入42平面向量的基本定理及向量坐标运算课

反之,当A,B,C三点共线时,λ1+λ2=1.特别地,当λ1=
λ2= 时,C是A与B的中点.
OC1OA2OB，
1 2
P1
1 3P1
2
2.两个向量作为基底的条件 作为基底的两个向量必须是不共线的.
【小题快练】
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1.(必修4P101习题2.3A组T5改编)已知向量a=(2,3),
b=(x,6)共线,则实数x的值为 ( )
1
3
2 3
P P P1P
2 3
P1P2 ,
12
P1 23P12
BC3CD
感悟考题 试一试
3.(2014·广东高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2,0)
D.(4,3)
【解析】选B.b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
4.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点， ，则( )
1
3
【解析】
D FD EEF1b(1ba)1ba,
6
3
6
C DC FFD1b(1ba)a2b.
2
6
3
考向二 平面向量的坐标运算 【典例2】(1)(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1), b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 ________.
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =___________.
(x,y)
3.平面向量的坐标运算
向量的加法、减法 向量的数乘
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ____________,a-b=____________
(x1+x2,y1+y2) 设a=(x,y),λ∈R,则λa=__________
向量坐标的求法
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =_______ ______
22
22
又
C 故M tC 解P 得 t(A 故P t的 值A 是C ) t(1 A B A C ) tA B tA C .
答案：
33
2
t
,
3
t
3, 4
2
1. 2
2
3.
4
t，
3 4
AB,AC
【母题变式】1.在本例(2)中，试用向量
表示
【解析】因为
所以
即
所以
3CP2CACB,
2 C P 2 C A C B C P ,2 A P P B ,
【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基
底的是 ( )
A.e1与e1+e2
B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1-2e2与-e1+2e2
(2)(2016·福州模拟)在△ABC中，点P是AB上一点，
且
,Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M,
y
2,
AE1AC,BF1BC. 33
2.在本例题(2)中以a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴的正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角 坐标系.若a+m=b,试求m的坐标.
【解析】在本例(2)规范解答中所建的平面直角坐标系下 a=(-1,1),b=(6,2), 因为a+m=b, 所以m=b-a=(6,2)-(-1,1)=(7,1).
提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.
【变式训练】如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将 分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设
(1)用a和b表示向量
(2)若
求实数λ的值.
OAa,OBb.
OC， DC.
OEOA,
OD 2 OB 3
OB
【解析】(1)由题意知,A是BC的中点，且 所以
AC
BD
AD
【解析】设 =(x,y),因为
所以(1，3)=(2，4)+(xA,CyA)B，AD,
所以 即 所以 =(-1，-1)，
所以
=(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5).
答案：(-3，-5)
x 1,
A D
y
1,
1 2 x ,
3
4
y,
BDADAB
考向一 平面向量基本定理及其应用
D.(2,2)或(3,1)
【解析】选D.由题意得
或
=(3,-3).
设P(x,y),则 =(x-1,y-3),
当 时，(x-1,y-3)= (3,-3),
P P 所以1 x=2,y=2时，即P(2,2).
当 时，(x-1,y-3)= (3,-3),
1 所以x=3,y=1,即P(3,1). P1P 3P1P2
又
则实数t的值为______.
CMtCP,
1 ,
1
0
CP2CA1CB 33
【解题导引】(1)利用基底的概念来逐一判断. (2)首先利用条件确定P点的位置,再利用平面向量基本定理确定基底,从而联立方程得t.
【规范解答】(1)选D.选项A中,设e1+e2=λe1,则 无解; 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则 无解; 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则 无解; 选项D中,e1-2e2=-(-e1+2e2),所以两向量是共线向量.
1 11 2 42
【解析】因为a与b不共线,所以,对于①,显然a与-2b不 共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则存在实数λ,使 a+b=λ(a-b),则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛 盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对于 ③,a+b与a+2b也不共线;对于④, a- b= （a-
AP 1 AB, 3
CPAPAC1ABAC. 3
CMAB2AC
2
2
C P.
CP2CA1CB, 33
2.在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？
【解析】由(2)的解析
及λ=
知，
1
,
CB2CQ
2
因此点M是AQ的中点.
CM1(CBCA)2CA
2
2
CB(1)CA 2
CQ(1)CACQCA. 2
【规律方法】应用平面向量基本定理的关键点 (1)基底必须是两个不共线的向量. (2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来. (3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
全国版2017版高考数 学一轮复习平面向量 数系的扩充与复数的 引入4.2平面向量的基 本定理及向量坐标运
算课件理
AB
【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量, 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使a=__________. (2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底.
对于④,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不 一定满足此条件, 所以④是假命题.
2.若a与b不共线,已知下列各组向量 ①a与-2b; ②a+b与a-b; ③a+b与a+2b; ④a- b与 a- b. 其中可以作为基底的是________(只填序号即可).
A.3
B.-3
C.4
D.-4
【解析】选C.因为向量a=(2,3),b=(x,6)共线,
所以2×6-3x=0,即x=4.
2.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(1,3),P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点,则点P的坐标为
()
A.(2,2)
B.(3,-1)
C.(2,2)或(3,-1)
1,
1
，
1,
2
2
，
(2)因为
所以 即
3CP2CACB，
所以
即P为AB的2 一C 个P 三 等2 C 分A 点 (靠C 近B A 点C )，P ，
又因为A，M，Q三点共线，设
2 A PP B .
AMAQ.
CP2CA1CB， 33
C M A M A CA Q A C
所以
(1 A B 1 A C ) A C A B 2 A C ,
得
解得 故
5
(2 )abx (2 a b ).
3
2 2x,
1
5 x, 3
x
3, 5
4. 5
4. 1 52
【加固训练】1.(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;
b）,故a- b与 a- b共线.由基向量的定义知,
1
11
2
24
11 1 42 2
①②③都可以作为基底,④不可以. 答案:①②③
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD= BC,E，F分
别为线段AD与BC的中点.设
，试用a,b为基
BAa,BCb
底表示向量
EF,DF,CD.
EFEAABBF1ba1b1ba, 6 23
λ1e1+λ2e2
不共线
不共线
2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示 成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数 对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,其中a在x轴 上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.
ma+nb=(9,-8),所以
解得
所以m-n=-3.
答案:-3
m 2,
n
5.
(2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如图,
6 1， 2 3，
则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2), c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+ μ(6,2),即 解得λ=-2,μ=- ,所以 =4. 答案:4
，由平行四边形法则，得
OBOC2OA，
O C 2 O A O B 2 a b ,
D C O C O D (2 a b ) 2 b 2 a 5 b . 33
EC ∥ DC ，
(2)由题意知，
故设
ECxDC.
因为
所以
ECO CO E(2ab)a(2)ab,D C2a5b,
因为a与b不共线，由平面向3量基本定理，
【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误: 在其规范解答中所建的平面直角坐标系下,忽视向量的方向,误得a=(1,-1)从而导致解答出错.
【规律方法】平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则进行转化,通过列方程(组)来进行求解.
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.对于①, 因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c,即c=a-b, 故a=b+c成立,①正确; 对于②,因为b与c不共线, 由平面向量基本定理可知②正确; 对于③,以a的终点为圆心,以μ为半径作圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定满足,故③错误;
A .A D B .A D C .A D D .A D
1 AB 4 AC
3
3
1 AB 4 AC
3
3
4 AB 1 AC
3
3
4 AB 1 AC
3
3
ADACCDAC1BCAC1(AC 33
【解析】选A.由题知
AB
A B )1A B4A C .
3
3
5.(2015·成都模拟)在▱ABCD中，AC为一条对角线， =(2，4)， =(1，3)，则向量 的坐标为_____.
1
2
xy6,
2mn9,
x3y2,
m2n8.
【母题变式】1.在本例题(2)中,试用a,c表示b.
【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc,
则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),
即
解得
故b=-4a-2c.
x 4,
2mn9, m2n8.
【解题导引】(1)利用向量坐标的运算法则及向量坐标的唯一性列方程组求解. (2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.
【规范解答】(1)因为a=(2,1),b=(1,-2),所以ma+nb=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n).又因为
y2-y1)
(x1-x2,y1-y2) (λx,λy)
OA，OB (x2-x1,
4.向量共线的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔________=0.
x1y2-x2y1
【特别提醒】
1.三点共线与向量共线的关系
设
是平面内不共线的向量,若存在实数λ1,λ2
使
则当λ1+λ2=1时,A,B,C三点共线.