高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》专项训练及解析答案

高中数学《矩阵与变换》知识点归纳
一、15
1．设()3322k k
x k x f x k x
-=
+⋅（x ∈R ，k 为正整数）
（1）分别求出当1k =，2k =时方程()
0f x =的解.
（2）设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++的值及数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】（1）1k =时,方程()0f x =的解为2x =，3x =;2k =时， ()0f x =的解为
6x =，4x =（2）123415a a a a +++=;前2n 项和为2133
2222
n n n ++-+
【解析】 【分析】
（1）根据定义化简函数()f x 的解析式，然后根据一元二次方程求出当1k =，2k =时方程()0f x =的解即可；
（2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -建立关系式，然后取
1k =，2k =可求出1234a a a a +++的值，最后根据
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L 进行求
解即可； 【详解】
解：（1）()(
)()()2
32
3232k
k
k
f x x k x k x k x =-++⋅=--，
当1k =时()()()32f x x x =--，所以方程()0f x =的解为2x =，3x =； 当2k =时()()()64f x x x =--，所以方程()0f x =的解为6x =，4x =； （2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -.
∴2122123232
k k k k
k k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴1k =时，1
123125a a +=⋅+=，2k =时，2
3432210a a +=⋅+=. ∴123451015a a a a +++=+=
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L ()()()()()12231232232312222n n n n =⋅++⋅+++⋅+=+++++++L L L
()()2121213332221222
n
n n n n n +-+=⋅+=+-+-.
【点睛】
本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题.
2．计算：12131201221122120-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】91559124-⎛⎫
⎪--⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】
121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
3．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解的情况.
【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
；当1a =时，无解.
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：2
111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
22
1111
1(1)1a a D a a ==--，2
11
11
(1)(2)12x D a a a a a ==---，
2
1111
1112y D a a a ==-+，111101112
z D a ==，
（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
所以无解.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．
4．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛
⎫=
⎪⎝⎭
，列向量12x X x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
（1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy =的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；
（3）已知数列1
2
n n a =
，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1
）⎛
⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22
122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；
（2
）由题意，得旋转变换矩阵cos sin
4
4sin cos 4
42
2A ππππ⎛
⎫- ⎪ ⎪
==
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，设xy =1上的任意点(
)
,P x y '
''
在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；
（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而
可求得所求算式的结果. 【详解】
（1）(
)cos sin
114
42233sin cos 4
42
2A X ππϕππ⎛
⎛⎫
--
⎪⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；
（2
）由题意，得旋转变换矩阵cos sin
4
422sin cos 4
42
2A ππππ⎛⎛⎫--
⎪ ⎪
==
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 设xy =1上的任意点(
)
,P x y '
''
在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，
则222
2x x y y ⎛-
⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪''⎝
⎭
，2
2
22
x x y y x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=+'''⎩
'⎪，
则2
2
22
222222y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫''''''-=+--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，所得曲线的方程为22
122
y x -=；
（3）当n =1时，()111
cos sin
2
211sin cos 22n n n n
A a ⎛
⎫- ⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
； 当n =2时，()()2
2122
21111cos sin cos sin 2
2221111sin cos sin cos 2
222A a A a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
2222222211111111cos cos sin sin cos sin cos sin 22222222
11111111sin cos sin cos cos cos sin sin 2222
2222⎛
⎫
--- ⎪
=
⎪ ⎪+- ⎪
⎝⎭
22221111cos()sin()22221111sin()cos()2222⎛
⎫+-+ ⎪= ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭
，
当n =3时，
()()()2
23
31232
23
3111
11
1cos sin cos sin
cos sin
2
22222111111sin cos sin cos sin cos 222
22
2A a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪=
⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23232323111111cos()sin()222222111111sin()cos()222222⎛⎫++-++ ⎪= ⎪ ⎪++++ ⎪⎝⎭
，
由此猜想：当n =k 时，
()()()2
2122
2111
111
cos sin cos sin
cos sin
222222111111sin cos sin cos sin cos 222222k k k k
k
A a A a A a ⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪=
⎪⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 222211111111cos()sin()cos(1)sin(1)2222222211111111sin()cos()sin(1)cos(1)22222222k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++-+++--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L L L ， 当k →+∞时，1
112
k -
→， 所以()()()12cos1sin1sin1cos1n A a A a A a -⎛⎫
⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.
5．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组237
3411
x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；
(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组1
2mx y m x my m
+=+⎧⎨
+=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1
211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，
当1m =时，0x y
D D D ===，方程组有无穷多组解，2
2x y x y +=⎧⎨+=⎩
，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x t
t R y t =⎧∈⎨
=-⎩
.
【解析】 【分析】
(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解. (2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可． 【详解】
(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,
23D =
34
--891=-+=,
711x D = 34--=28335-+=,
23y D =
711
=22211-= ,
5x
D x D ∴=
= ,1y D y D
== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩
的解为5
1x y =⎧⎨=⎩ . (2)1
m D =
1m
=21m - =()()11m m +- , 12x m D m
+=
1m
=2m m - =()1m m - ,
1y m D =
12m m
+ =()()2
21211m m m m --=+- ,
当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1
211m x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，
当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，2
2x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，令()x t t R =∈ ,原
方程组的解为()2x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的
解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.
6．已知P :
矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪
+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114
2031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.
【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】
因为矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以5
21x x +≥+，解得
13x -≤≤；
因为行列式1
1
4
2
031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以23
2321
1
m
m x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.
【点睛】
本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.
7．定义()111111n n n n x x n N y y +*
+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v
；
（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v
的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()3
6,4OP =-u u u v ；（2）()252
16,0.
【分析】
（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u u r .
（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*
n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r
、2017OP u u u u u u r
的坐标.
【详解】
（1）因为()12,3P ，故123OP
⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()3
6,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n n n x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,
()911616,0OP OP ==u u u r u u u r
所以()252252
201711616
,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】
本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.
8．已知,,x y z 是关于的方程组0
00ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
的解.
（1）求证：()111
a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b c
c a b
b c a
=0，即
1
1
1
a b
c a
b c
=0，将行列式展开化简即可得出
a＝b＝c；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c a b a b c
c a b c a a b c
b c a b c a b c
++
=++=
++
（a+b+c）•
1
1
1
a b
c a
b c
．
（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b c
c a b
b c a
=0，由（1）可知（a+b+c）•
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，
∴
1
1
1
a b
c a
b c
=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；
若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，
∴a b c
c a b
b c a
=（a+b+c）•
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
∴a+b+c＝0或
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．
∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．
故答案为④．
【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
9．证明：（1）
1
112
2212
a b a a a b b b =； （2）
12
121
1
2
222
a ka
b kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112
a a
a b a b b b =-，即可求解；
（2）根据行列式的运算，分别化简得
1212
122122a ka b kb a b a b a b ++=-，1
1
12212
2
a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】
（1）根据行列式的运算，可得
1112122
2a b a b b a a b =-，12122112
a a
a b a b b b =-， 所以
1
112
2212
a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得
1212
12212222
()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，
又由
1
112212
2a b a b a b a b =-，所以
12
121
1
2222
a ka
b kb a b a b a b ++=. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知关于,x y 的方程组42
1mx y x y +=⎧⎨+=⎩
.
（1）求,,x y D D D ；
（2）当实数m 为何值时方程组无解；
（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=-
（2）4m =
（3）4m ≠方程组有唯一解24
24x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4
011
m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】
（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 4D m =-，2x D =-，2y D m =-
（2）由411m A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，当||0A =，
即
4
4011
m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解
（3）当
4
011
m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩
①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-，
∴方程的解集为：24
24x m m y m -⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
．
【点睛】
本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．
11．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】 设1
A
-u r
a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r
，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r
的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫
⎪-⎝⎭
； 同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．已知矩阵2101M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
r
，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出
方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r
可得333
12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即
可. 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为2
1
()0
1
f λλλ--=
-(2)(1)λλ=--，
令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0
000x y x y --=⎧⎨
+=⎩
.
得0x y +=，令1x =，则1y =-，
所以特征值1λ=对应的特征向量为111
α⎡-⎤=⎢⎥⎣
⎦
；
当2λ=时，由二元一次方程00
00x y x y -=⎧⎨
+=⎩
. 得0y =，令1x =，
所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
；
（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u u
r u u r r
Q ，
333
12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
13．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定
义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式
2
01x a x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得1
2
tan α=-.
【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14．已知圆C 经矩阵332a
M ⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
变换后得到圆22
:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y
y x y =+⎧⎨=-''⎩
，代入计算得到答案.
【详解】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y
=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22
(3)(32)13ax y x y ++-=，即(
)
2
22
92(36)1313a x a xy y ++-+=，
由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】
本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.
15．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=
，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．
解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=
由于B=
=2
+
=2α1+α2
故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =
+
=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
16．已知矩阵111A a -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.
【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】
根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】 由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
， 则矩阵A 的特征多项式为221
1
()(1)4234
1
f x -=
=--=---λλλλλ，
令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．
17．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2）2
92y x x =-
【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
18．已知矩阵12A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（c ，d 为实数）.若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分
别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵1A -.
【答案】1
2133116
6A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据特征值的定义可知A αλα=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A ，即可求出逆矩阵1A -． 【详解】
解：由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以223c d c d +=⎧⎨+=⎩，解得1
4c d =-⎧⎨
=⎩
. 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
，所以1
2
133116
6A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．
19．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】 【分析】
根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】
设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､()
,P x y '
'
'
，
则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩
， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.
20．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v
分别是基本单位向量.
（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j
BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u u v u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足12
41
2
6101
x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v
，λ，μ是否存在自然数
解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.
【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，
0μ=
【解析】 【分析】
(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.
(2)利用12
41
2
6101
x
y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r
求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.
【详解】
(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j
BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,
故()()()()
0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r
,
即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4
(2)由12
412
6101
x
y
-=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.
又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ
λμ=+⎧⎨
=-⎩
. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】
本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.。