北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线.docx

北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点)0,22(Q 及抛物线2
4x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是
A ．
1
2
B ．1
C ． 2
D ． 3 2、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线2
2
2x y -=的一条渐近线的方程是 （A ）2y x =
（B ） 2
2
y x =
（C ）y x =- （D ） 2y x =-
3、（东城区2016届高三上学期期末）过抛物线2
20)y px
p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23
BFO π
∠=
，那么AF 的值为 ()A 1 ()
B 3
2
()C 3 （D ） 6 4、（丰台区2016届高三上学期期末）若F （c ,0）为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，
椭圆C 与直线1x y
a b
+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为
（A ）
32 （B ）12
（C ）22 （D ）33
5、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为
A. 1
(0,)2
- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-
6、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线)0(22
>=p px y 上只有一个点到其焦点的距离为1，则
p 的值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
参考答案
1、C
2、C
3、A
4、B
5、B
6、C
二、填空题
1、（昌平区2016届高三上学期期末）双曲线22
:1916
x y C -=的渐近线方程为__________________；某
抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.
2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线过点(1,2),则
___,b =其离心率为__.
3、（西城区2016届高三上学期期末）双曲线C ：22
1164
x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双
曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.
参考答案 1、24
;203
y x y x =±
= 2、2 ;5 3、1
2
y x =±
三、解答题
1、（昌平区2016届高三上学期期末） 已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2,点1(3,)
2
在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．
2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 2
2
1x y +=的切线l 与椭圆:C 2
2
34x y +=相交于
A ，
B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.
3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆:G 22
221(0)x y a b a b +=>>上的点(2,2)M 到两焦点
的距离之和等于42. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m (不经过点M )与椭圆交于,A B 两点，与直线l ：4x =相交于C 点，记直线,,MA MB MC 的斜率分别为123,,k k k .求证：12
3
k k k +为定值.
4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且
122F F =，离心率为1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g
的取值范围．
5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线
段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x
轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.
6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆22
22:1(0)x y W a b a b
+=>>的离心率为32，其左顶
点A 在圆22
:16O x y +=上.
y
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O
的另一个交点为Q . 是否存在点P ，使得
||
3||
PQ AP =? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆:C 22
221x y a b
+=(0)a b >>的焦距为4，其短轴
的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，
Q .证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．(其中O 为坐标原点)
8、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23，点3(1,)
2A 在椭圆C 上.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
1、解：（I ）由题意得222223,2311,4.c e a a
b a b
c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得22
4,1a b ==.
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y += …………………………..5分
（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．
法一：
（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.
11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
222122
8(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+ 故1224241
M x x km
x k +=
=-+， 241
M M m y kx m k =+=
+．于是直线OM 的斜率1
4M OM
M y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此24(1)
41
M k k x k -=
+．
OM 的方程为1
4y x k
=-
．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,
4
y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22
21641P k x k =+，即2441P k x k ±=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是
2441
k k ±+24(1)
241
k k k -=⨯
+．由0
k ≠，得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = . ………………………….13分
法二：
（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
(,)M M M x y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
222122
8(8)4(41)(44)0,.41
km
km k m x x k -=-+->+=
+ 故1224241
M x x km
x k +=
=-+， 241
M M m
y kx m k =+=+.
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,
2.P M P M
x x y y =⎧⎨=⎩．
则
2
2
22()()8211
4441km m k k -
++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.
则
22
22
(164)(1))1(41k k k +-+=， 则2
(41)(83)0k k +-= .
则35
,.88
k m =
= 满足0.> 所以直线l 的方程为35
88
y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．
综上所述：直线l 的方程为35
88
y x =+或1x = . …………………………..13分
2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以222
83
c a b =-=．
所以63c e a =
=．所以椭圆C 的离心率为6
3
． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．
在223144
x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意
211
m k =+，即221k m +=．
由22
34
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得222
(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631
km
x x k +=-+，2122
3431m x x k -=+． 所以22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22
1212(1)()k x x km x x m =++++
22
222346(1)3131
m km
k km m k k -=+-+++
222222
2(1)(34)6(31)31
k m k m k m k +--++=+
22244431
m k k --=+
222
4(1)44031
k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．
综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分
（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．
则1OAB S ∆=.
当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
2
2
1212(1)[()4]AB k x x x x =++-22
222634
1()43131
km m k k k -=+⋅-⋅++
22222
2
219(34)(31)31
k k m m k k +=⋅--++ 22222222
21211234123(1)43131k k k m k k k k ++=⋅-+=⋅-++++ 222
219131
k k k +=⋅++． 所以22422
2
224242
4(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961
k k k k k AB k k k k k ++++===++++++
242
2216416
4164419613396k k k k k
=+⋅=+≤+=++++（当且仅当33k =±时，等号成立）．所以433AB ≤
．此时, max 23
(S )3
OAB ∆=. 综上所述，当且仅当33k =±
时，OAB ∆面积的最大值为233
．…………………14分 3、（Ⅰ）由椭圆定义知：242=a ，所以22=a ……1分
所以，椭圆22
2:18x y G b
+=，将点)2 ,2(M 的坐标代入得42=b 。

……3分
所以，椭圆G 的方程为1482
2=+y x ……4分
（Ⅱ）右焦点)0,2(F
由题意，直线m 有斜率，设方程为)2(-=x k y ……1分 令4=x ，得点)2,4(k C ，所以2
2
3-
==k k k MC ； ……3分 又由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y 消元得：0888)21(2222=-+-+k x k x k ，
显然0>∆， 设),( ),,(2211y x B y x A ，则 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+22
212
2
212188218k k x x k k x x ……5分 所以，)2
1
21(2222222212211221121-+---+-=--+--=
+x x x y x y x y x y k k )
2)(2(4
222121---+⨯-=x x x x k
4
)(24
22212121++--+⨯
-=x x x x x x k ……7分
2
2222841688)
21(4822k
k k k k k ++--+-⨯-= 224
4
22-=--⨯
-=k k ……9分 所以，3212k k k =+，即
23
2
1=+k k k 为定值。

……10分 l C A
F
x
y
B M
方法二：2)
22(2)22(22222211221121-+-+-+-=--+--=
+x k kx x k kx x y x y k k )
2)(2()
22(4))(24(2212121--++++-=
x x k x x k x kx
4
)(2)
22(4))(24(221212121++-++++-=
x x x x k x x k x kx ……7分
222222841688)
21)(22(48)24()88(2k k k k k k k k k ++--+++⨯+--=
4
)
2482816(2832161623233-++++---=k k k k k k k
224
2
48-=-+-=
k k ……9分
所以，1212k k k =+，即
23
2
1=+k k k 为定值。

……10分 4、解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意知2221
222
a b c c a c ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎩，
，解得2,3a b ==．
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3
(1,)2A ，3(1,)2
B -，
则229
||||4
AF F B =g
，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．
由22(1),1,4
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= （*）．
设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，
所以2222834k x x k +=+，2122
41234k x x k
-=+． 所以2222111||(1)11AF x y k x =
-+=+-，
所以2222222||(1)11F B x y k x =
-+=+-
所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x =+-++g
22
2
22
4128(1)13434k k k k k
-=+-+++ 22
9
(1)
34k k
=++ 22
2
9(1)
3491(1).434k k k =++=++
当2
0k =时，22||||AF F B g
取最大值为3， 所以 22||||AF F B g
的取值范围9
,34
⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B g
取值为94
． 所以22||||AF F B g
的取值范围9
,34
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. …………13分 5、（Ⅰ）有题意可知：RN RM =，即点R 到直线1x =-和点M 的距离相等. 根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点. 设R 的轨迹方程为：2
2y px =，
12
p
=，2p =
所以R 的轨迹方程为：2
4y x =. …………………………5分
（Ⅱ）由条件可知(,0)b C k -，则(,0)b Q k
. 联立2
4y kx b
y x
=+⎧⎨
=⎩,消去y 得222(24)0k x bk x b +-+=，
222(24)416(1)0bk b k bk ∆=--=->.
设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -
122
42bk x x k -+=
，
12
42412bk bk
x k ---=
，
22
42412bk bk
x k -+-=
.
y
x
O
Q
P
C
B
A
因为 1212
122
()28112AP y y k x x b k k x x bk bk
k +++-=
==----， 11110()2(11)22[(1)1]12AQ y k kx b bk k
k b kx b bk bk bk x k k
-+--=
===
------- 所以 A P A Q
k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分
6、解：
（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22
:16O x y +=上，
令0y =，得4x =±，所以4a =.
…………………………….1分
又离心率为
32，所以3e 2
c a ==，所以23c =,…………………………….2分 所以2224b a c =-=,…………………………….3分
所以W 的方程为22
1164
x y +=.
…………………………….4分
（Ⅱ）
法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的方程为(4)y k x =+，…………………………….5分
与椭圆方程联立得22
(4)1164
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩, 化简得到2222
(14)3264160k x k x k +++-=,
…………………………….6分
因为4-为上面方程的一个根，所以
2
12
32(4)14k x k -+-=
+，所以
212
416
14k x k -=
+.…………………………….7分 所以2
281||14k AP k
+=+. …………………………….8分
因为圆心到直线AP 的距离为2|4|1
k d k =
+，…………………………….9分
所以2
22168
||2162
11AQ d k k
=-==++,…………………………….10分
因为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，…………………………….11分 代入得到
222222
22
8
||14331113||1118114PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++.…………………………….13分 显然2
3
331k
-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分 法二：
设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的方程为4x my =-，…………………………….5分
与椭圆方程联立得22
4
1164
x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 化简得到22
(4)80m y my +-=,由2640m ∆=>得0m ≠. …………………………….6分
显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即1284
m
y m =+.…………………………….7分 由221281||||1|0|4
m m AP m y m +=+-=
+，…………………………….8分 因为圆心到直线AP 的距离为2
|4|1d m =
+，…………………………….9分
所以22
22168||
||216211m m AQ d m m
=-==++.…………………………….10分 因为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，…………………………….11分 代入得到222
2
228||
||43111||1181||4
m PQ m m AP m m m m m ++=-=-=++++,…………………………….13分 若
2
3
31m =+，则0m =，与0m ≠矛盾，矛盾， 所以不存在直线AP ，使得
||
3||
PQ AP =. …………………………….14分
法三：假设存在点P ，使得
||
3||PQ AP =，则||4||AQ AP =，得||4||
Q P y y =. …………………………….5分 显然直线AP 的斜率不为零，设直线AP 的方程为4x my =-，…………………………….6分
由224
1164
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)80m y my +-=,
由2640m ∆=>得0m ≠，…………………………….7分
所以284
P m
y m =
+.…………………………….9分
同理可得281
Q m
y m =+，…………………………….11分
所以由||
4||Q P y y =得22441
m m +=+，…………………………….13分 则0m =，与0m ≠矛盾， 所以不存在直线AP ，使得
||
3||
PQ AP =. …………………………….14分 7、（Ⅰ）解：由已知可得2222
2224
a b b c a b ⎧+=⎪
⎨=-=⎪⎩， ………………2分
解得2
6a =，2
2b =，
所以椭圆C 的标准方程是
22
162
x y +=. ………………4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，F 的坐标是()2,0-，设M 点的坐标为()3,m -， 则直线MF 的斜率0
3(2)
MF m k m -=
=----. ………………5分
当0m ≠时，直线PQ 的斜率1
PQ k m
=
.直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，
将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，22
162
2x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去x ，得(
)
2
2
3420m y my +--=， ………………8分 其判别式(
)
2
2
16830m m ∆=++>. 所以12243m y y m +=
+，122
2
3
y y m -=+， ()12124x x m y y +=+-2
12
3
m -=
+. ………………10分 设N 为PQ 的中点，则N 点的坐标为22
62,33m m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
. ………………12分 所以直线ON 的斜率3ON m k =-
，又直线OM 的斜率3
OM m k =-， 所以点N 在直线OM 上，即OM 经过线段PQ 的中点N . ………………14分 8、（Ⅰ）解：由题意，得3
2
c a =
，222a b c =+， ………………2分 又因为点3
(1,)2
A 在椭圆C 上，
所以221314a
b
+=， ………………3分
解得2a =，1b =，3c =，
所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x . ………………5分
（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：
假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分
由方程组22
,1,4
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，
所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分
由方程组222,,
y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222
(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分
则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221
km x x k -+=
+，22
1221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP
的斜率分别为1k ，2k ， 所以22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222
2
22222222222111
m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分
将2
2
41m k =+代入上式，得221222(4)1
4(1)
r k k k k r -+⋅=+-.
要使得12k k 为定值，则22
41
41r r
-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值1
4
-
. ………………13分
当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214
k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14
-. ………………14分。