高考数学集合与简易逻辑2

专题一 集合与简易逻辑
【考点聚焦】
考点1：集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合之间的包含关系，集合的交、并、补运算。

考点2：绝对值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法。

考点3：简单命题与复合命题的相关概念，真假命题的判断，四种命题及其关系，反证法的证题思想。

考点4：充分必要条件的有关概念及充分条件与必要条件的判断。

【自我检测】
1、_____________________________，称集合A 是集合B 的子集；
2、_____________________________，叫做集合U 中子集A 的补集；
3、_____________________________，叫做A 与B 的交集；
4、_____________________________，叫做A 与B 的并集；
5、如果已知_____________，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果_____________，那么p 是q 的充分且必要条件；
【重点∙难点∙热点】
问题1：集合的相关概念 1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 2 注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论
例1：设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论
思路分析：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得b 、k 的值 解 ∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅
∵⎩⎨⎧+=+=b
kx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0
∵A ∩C =∅
∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0
∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，
其充要条件是16b 2－16>0,
即 b 2>1 ①
∵⎩
⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242 ∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0
∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0
∴k 2－2k +8b －19<0, 从而8b <20,
即 b <2 5 ②
由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-0
32,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅ 点评 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题 解决此题的关健是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了
演变1：已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围
点拨与提示：本题考查学生对集合及其符号的分析转化能力，A ∩B ≠∅即是两集合中方程联立的方程组在[0,2]上有解。

例2：向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 思路分析画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系 解 赞成A 的人数为50×5
3
=30，赞成B 的人数为30+3=33，如右图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全
体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B
设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3
x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x
依题意(30－x )+(33－x )+x +(3
x +1)=50,解得x =21 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
点评： 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力 解答本题的关健是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来
演变2：某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数学与物理593人，数学与化学371人，物理现化学267人；三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数.
问题2：一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系。

一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数图象三者关系十分密切，三者可以相互转化：一元二次不等式解集端点即为与之相应的一元二次方程的根，即为与之对应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，以此为据，很多复杂题目都可以得到解决。

例3：p 是什么数时，关于x 的一元二次方程02)13(72
2=--++-p p x p x 的两个不等实根βα,，分别满足21,10<<<<βα.
思路分析：可设f(x )= 2)13(722--++-p p x p x ，由方程有两个不等实根，则函数
f(x)的图象与x 轴有两个交点，则只观察f(0)、f(1)、f(2)的符号即可。

解：设f(x)= 2)13(722--++-p p x p x ，其大致图象如
图所示，则p 必须且只需满足⎪⎩
⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f
解得－2＜p ＜－1或3＜p ＜4，
即)4,3()1,2(⋃--∈p .
点评：一般地，若方程)0(0)(2>=++=a c bx ax x f 有两个实根，一个根大于m ，一个根小于m 0)(<⇔m f .
演变3：方程k x x =-2
32在（－1,1）上有实根，求k 的取值范围。

点拨与提示：本题主要考查二次方程的解与二次函数和x 轴交点横坐标之间的关系，以及考生运用转化和化归的思想分析问题、解决问题的能力。

问题3：充要条件
1.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假
2.要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等
3.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质
4.从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件
5.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
例4：已知p ：|1－3
1-x |≤2，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围. 思路分析利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决. 解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件
p ：|1－
31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤3
1-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q ：:x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件，
∴不等式|1－
3
1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0
∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m
∴⎩
⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞) 点评 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性。

本题解题的关健是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了
演变4：已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 点拨与提示 本题重点考查充要条件的概念及解答充要条件命题时思维的严谨性，因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明. 专题小结
1．解答集合有关问题，理解集合的意义是关键，其次注意集合中元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，此外还要注意转化与化归，分类与整合，数形结合等数学思想的运用
2．命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判定
3．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件的判定必须坚持“双向”考查的原则，也可以转化为判断原命题与其等价的逆否命题的真假.
【临阵磨枪】
一．选择题
1.设集合M ＝｛x |x >2｝，P={x |x <3},则“x ∈M 或x ∈P”是“x P M ⋂∈”的（ ）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充分必要条件
D 非充分也非必要条件
2．若集合S ＝｛y |y =R x x ∈,3｝,T={y|y =R x x ∈-,12},则S ⋂T 是（ ）
A S
B T
C Ф
D 有限集
3．（06年天津）已知集合{|31}A x x =-≤≤，{|||2}B x x =≤，则A B =（ ）
A {|21}x x -≤≤
B {|01}x x ≤≤
C {|32}x x -≤≤
D {|12}x x ≤≤ 4 （05年湖南）集合A ＝｛x |1
1+-x x ＜0}，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A∩B≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ） A ．－2≤b ＜0 B ．0＜b≤2 C ．－3＜b ＜－1
D ．－1≤b ＜2 5．方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ),41(+∞-
B )41,(--∞
C ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,41 D ),0()0,41(+∞- 6．若a ∈R ，且对于一切实数x 都有032>+++a ax ax ，那么a 的取值范围是（ ）
A ),0(+∞
B [)+∞,0
C （)4,-∞-
D ),0()4,(+∞--∞
7．下列四个命题：①“若022=+y x ,则实数x ,y 均为零”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“若A B A = ，则⊆A B”的逆命题；④“末位数不为零的数可被3整除”的逆否命题.其中真命题有（ ）
A ①②
B ②③
C ①③
D ③④
8．给出命题：p:3)(≥x f ,q:⎩⎨⎧<-≥=)
0(,1)0(,1)(x x x f 在R 上是连续函数，则在下列三个复合命题“p 且q”,“p 或q”，“非p”中，真命题的个数为（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
9．（06年江苏）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）
A C A ⊆
B A
C ⊆ C C A ≠ （
D ）φ=A
10．设A 、B 是集合，A 非空，已知“A 的元素都是B 的元素”是假命题，则下列命题中，可能成立的是（ ）
①A 的元素都不是B 的元素；②存在A 的元素不是B 的元素；③存在A 的元素是B 的元素；④不是B 的元素都不是A 的元素。

A ①②④
B ②③④
C ①③④
D ①②③
二．填充题
11．设U 是全集，非空集合P ，Q 满足P ⊂≠Q ⊂
≠U ，若含P ，Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式是＿＿＿＿＿（只要写出一个表达式）。

12．设集合A ＝｛x |x =*2,1N a a ∈+｝，B ＝｛y |y =*2,54N b b b ∈++｝，则A 与B 的关系是＿＿＿＿＿
13．关于x 的方程02)12(22=-+--a x a x 至少有一个非负实根的充要条件是＿＿＿＿＿
14．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿
三．计算题
15.已知集合A ＝｛（x ，y ）|ax+y=1｝,B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|}122=+y x ,试问：
（1）当a 取何值时，C B A )(⋃为含有两个元素的集合？
（2）当a 取何值时，C B A )(⋃为含有三个元素的集合？
16.已知三个集合}023|{2=+-=x x x E ，}0)1(|{2=-+-=a ax x x F ，}02|{2=+-=bx x x G ，同时满足E G E F ⊆⊄,的实数a 和b 是否存在？若存在，求出a ,b 所有值的集合；若不存在，请说明理由.
17.集合}019|{22=-+-=a ax x x A ，}1)85(log |{22=+-=x x x B ，
}082|{2=-+=x x x C ，求a 的值使B A ⊃
≠∅，且C A ＝∅同时成立。

18.已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，
证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件
答案与提示： 1.B 提示：}32|{<<=x x N M
2.A 提示：}1|{},0|{≥=>=y y T y y S
3.A 提示：集合{|22}B x x =-≤≤，{|21}A B x x ∴=-≤≤
4.D 提示：由题意得：A ：-1<x<1,B:b-a<x<a+b ，由”a=1”是“≠⋂B A ￠”的充分条件.则A ：-1<x<1与B: b-1<x<1+b 交集不为空，所以-2<b<2，检验知:21<≤-b 能使≠⋂B A ￠.
5.D 提示：当m≠0时，4
1,0->>∆m ；当m=0时，不可能有两个不相等的实根 6.B 提示：a =0时3＞0恒成立；当a >0时，由△＜0得a >0或a <－4，所以a >0；当a <0时不可能。

故a ≥0.
7.C 提示：①即“实数x ,y 均为零，则022=+y x ”命题成立；②即“两个三角形不相似，则面积不相等”不成立；③原命题成立，则逆命题也成立；④原命题不成立，逆命题也不成立.
8.B 提示：只有“p 或q”是真命题
9.A 提示：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆，选（A ）
10.D 提示：因为“A 的元素都是B 的元素”是假命题，即A 中元素不全是B 中元素，故①、②、③正确。

11.C U （Q∩P ） 提示：根据真子集的定义即可写出C U （Q∩P ）.
12.B ≠⊂A 提示：注意a,b 都是正整数，A ＝｛2,5，10,17,26，…｝，B ＝｛10,17,26，…｝ 13.4
92≤
≤-a 提示：当有一个负实根时，021≤⋅x x ，即22≤≤-x ；当有两个负根时，⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>-=+≥---=∆020120)2(4)12(2212122a x x a x x a a ， 即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>-<>≤222149a a a a 或 即492≤<a ，综合得492≤≤-a 14.1<a <2 提示：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数22x x a ++的判别式440a ∆=-≥，从而1a ≤；命题q 为真时，5212a a ->⇒<。

若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题.
若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a <2，；
15.由于(A ∪B)∩C=(A∩C)∪(A∩B),而A∩C 为方程组⎩⎨⎧=+=+1
122y x y ax （Ⅰ）的解集；B∩C 为方程组⎩⎨⎧=+=+1
122y x ay x （Ⅱ）的解集。

方程组（Ⅰ）的解集为｛（0,1），)11,12(22
2a a a a +-+｝ （Ⅱ）的解集为｛（1,0），)12,11(222a
a a a ++- （1）若C B A )(⋃中恰有两个元素，只有两种可能：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0111122
22a a a a 解得a=0或a=1.
(2) 若C B A )(⋃恰有三个元素，只有2
2
21112a a a a +-=+，a=21±- 16.E ＝｛1,2｝，F ＝｛1，a －1｝，由F ⊈E ，得a －1≠1,2,所以a≠2,3.由G ⊆E ，得082
<-=∆b 或⎩⎨⎧∈≥-=∆G b 1082或⎩
⎨⎧∈≥-=∆G b 2082，解得2222<<-b 或b=3. 17 解 log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3} 由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩
B ∅,即A ∩B ≠∅,
∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2
当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩
B ∅，∴a =－2
18.证明： (1）（充分性)由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f (x )=x 2+ax +b ，则f (x )的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0
即有⇒⎩
⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b
(2)必要性
由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线
∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f (x )=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
【挑战自我】
已知数列｛n a ｝和｛n b ｝满足)(212*21N n n
na a a b n n ∈++++++= ，求证：｛n a ｝是等
差数列的充要条件是｛n b ｝是等差数列。

证明：①（必要性）设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列 1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b n
n n +++++++⋅+⋅++-∴=
=+++++++ 12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)
32d =32d
为常数 故{b n }是等差数列，公差为3
2d ②（充分性）设{
b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d
∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n
① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n
② ①－②得 na n =2
)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 111111113[(1)][(2)](1)22222
n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=
-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列
【答案及点拨】
演变1： 由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)
20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0
①
∵A ∩B ≠∅ ∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解
首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求
当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内
故所求m 的取值范围是m ≤－1 演变2：设A ，B ，C 分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生
的集合，全体学生的集合中U ，U 被划分为8个彼此交集为空集的集
合（如右图） A∩B∩C ：三种竞赛均参加的学生集合的213人；A∩B∩（C U C ）：
只参加数学、物理竞赛的学生的集合的593－213＝380人；（C U A ）∩
（B∩C ）：只参加物理、化学竞赛的学生集合有267－213＝54人；（A∩C ）∩（C U B ）：只参加数学、化学竞赛的学生集合有371－213＝158人；A∩C U （B ∪C ）：只参加数学竞赛的学生集合的807－380－213－158＝56人；B∩C U （A ∪C ）：只参加物理竞赛的学生集合有739－213－380－54＝92人；C∩C U （A ∪B ）：只参加化学竞赛的学生集合有437－213－54－158＝12人；（C U A ）∩（C U B ）∪（C U C ）：三科竞赛雹不参加的学生集合为0。

故参赛总人数为213＋380＋54＋158＋56＋92＋12＝
965人。

演变3：方法1：设k x x x f --=2
3)(2，依题意分两种情况：在（－1,1）上有两解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-<->->≥∆1210)1(0)1(0a b f f 和有一解f(-1)f(1)<0或⎩⎨⎧>=-0)1(0)1(f f 或⎩⎨⎧=>-0)1(0)1(f f ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈25,169k 方法2：由])1,1[(2
3)(2-∈-
=x x x x f 与k y =的图象有交点，作出函数图象即可。

演变4：a 1=S 1=p +q 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1
(p －1)，∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则n
n a a a a 112+==p ，∴q p p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1
这是{a n }为等比数列的必要条件
下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件
当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)
2
1
1)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1。