高考专题昌平区高三年级第二次统一练习

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
昌平区2014年高三年级第二次统一练习
数 学 试 卷（理 科） 2014.4
考生须知：
1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．
答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．
考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

2221122(()(())(())(()))n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
(1) 已知集合{213}=+<A x x ,2
{4}=≤B x x , 则A B =U
(A) {21}-≤<x x (B ) {2}≤x x (C) {21}-<<x x (D) {2}<x x
(2) “1,1a b >>”是“1ab >”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
(3) 设0.10.1
34,log 0.1,0.5a b c ===，则
（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>
(4) 6(2)x -的展开式中2
x 的系数是
（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60 (5) 在ABC ∆中，23,2BC AC ==，6ABC S ∆=，则C ∠等于
（A ）
4π （B ）3
π （C ）
4π或34π （D ）3
π或23π
(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）72
(7) 如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点，
,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅u u u r u u u r
的值
是
（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28
（8）已知1
1, 1,
()ln , 01
⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的
左视图4
俯视图主视图3
6
主视图
左视图 俯视图
取值范围是
（A ）(,1)(1,)-∞-+∞U （B ）(1,1)- （C ）[0,1] （D ）(,1][0,1]-∞-U
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
(9) 若数列{}n a 满足：111
1,()2
n n a a a n +==∈N*，则4a =_______ .
(10)圆C ：2sin ρθ=的圆心到直线:sin 2l ρθ=-的距离为_________ .
(11)如图，已知e O 中，弦23=BC ,BD 为e O 直径. 过点C 作e O 的切线，交BD 的延长线于点A ，30∠=︒ABC .则AD =____ .
（12）已知抛物线2
2(0)=>y px p 的焦点为(2,0)F ，则=p ________，
过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则=EF _____.
（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派
方法共有_____种 . (14) 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，在四边形11ABC D 内随机取一点M ,则
90AMB ︒∠≥的概率为_______ ，135AMB ︒∠≥的概率为_______.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
已知函数()f x 2
cos sin 1,()x x x =+-∈R .
（Ⅰ）求7(
)6
f π
的值； （Ⅱ）当2[,]63
∈-x ππ
时，求()f x 的取值范围.
(16)(本小题满分13分)
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2
3
,且每题正确完成与否互不影响.
(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
(17)(本小题满分14分)
已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；
（Ⅱ）求二面角11--A A C D 的余弦值；
（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面
PBD ，若存在，求出
1
CP
PC 的值；若不存在，请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知函数()ln f x ax x =,(0)a ≠. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0<a 时，若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，求a 的取值范围.
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0
,3)B
为短轴的一个端
点，260OF B ∠=︒.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线
,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点
为P ，记直线2PF 的斜率为'k . 求证: '⋅k k 为定值.
(20)(本小题满分14分)
已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,
342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .
（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*
N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列
{}n a 的通项公式.
（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*
N ，三个数
(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.
昌平区2014年高三年级第二次统一练习
数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案
B A
C
D C A C D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
（9）1
8
（10）3
（11）2 （12）4； 5
2
（13）240 （14）216π；22216
-π （第一空2分，第二空3分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为2
()cos sin 1f x x x =+-
21sin sin 1x x =-+- ………1分 2sin sin x x =-+ 2
1
1
(sin )2
4
x =--+
， ………3分 所以2277111113
()(sin )()66242244
f ππ=--+=---+=- . ………6分
（或27313(
)()16224
f π=---=- ………3分） （Ⅱ）因为2[,
]6
3x ππ
∈-
所以1
sin [,1]2x ∈-. ………8分
所以11
sin [1,]22x -∈-.
所以2
1(sin )[0,1]2x -∈. ………10分
所以2
1(sin )[1,0]2
x --∈-.
所以21131
(sin )[,]2444
x --+∈-. ………12分
所以()f x 的取值范围为31
[,]44
-. ………13分
(16)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为ξ, 则ξ的取值分别为1,2,3. ………1分
12423
61
(1)5
C C P C ξ===； 2142363
(2)5
C C P C ξ===；
30423
61
(3)5
C C P C ξ===； ………3分 考生甲正确完成题数ξ的分布列为
131
1232555
E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………4分
设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0,1,2,3. ………………5分
(0)P η==03
3
11()327
C =； 112
3216(1)()()3327
P C η===
, 2232112(2)()()3327
P C η===
, 33
328(3)()327
P C η===
. ………………7分 考生乙正确完成题数η的分布列为:
161280123227272727
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………………8分 ξ 1 2 3
P
1
5 35 15
η
0 1 2 3
P
1
27 627 1227 827
(Ⅱ)因为2
2
2
1312
(12)(22)(32)55
55
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯
=, ……………10分 2
222161282(02)(12)(22)(32)272727273
D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……12分
（或2
3
D npq η==）.
所以D D ξη<. (或：因为31(2)0.855P ξ≥=
+=,128(2)0.742727
P η≥=+≈, 所以(2)(2)P P ξη≥>≥. )
综上所述，
从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ……………13分
（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）
(17)(本小题满分14分)
证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，
所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. ………1分 因为BD ⊂平面ABCD ，
所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分 因为1
AA AC A =,
所以BD ⊥平面1A AC . ………3分
因为1
AC ⊂平面1A AC , 所以1BD A C ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则
11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B
11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分
所以111
(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-u u u u r u u u r
. 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .
所以 1110,
D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu r
uuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨
-=⎩……6分 令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .
由（Ⅰ）可知平面1AA C 的法向量为
(2,2,0)DB =uu u r
. ……7分
所以410
cos ,5522
DB <>=
=⋅uu u r
n . ……8分 因为二面角11--A A C D 为钝二面角，
所以二面角11--A A C D 的余弦值为10
5
-
. ………9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r
. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r
.
所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分 即22240,2,1x y z λ
λ
===+. 所以4(0,2,
)1P λ
λ
+. ………11分 设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .
因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ
==+uu u r uu u
r ，
所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r
m m .即3333420,1220
y z x y λλ⎧+
=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令31y =，则3311,2x z λ
λ
+=-=-. 所以1(1,1,)2λ
λ
+=--
m . ………13分 若平面11A CD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-
=，解得1
3
λ=. 所以当
11
3
CP PC =时，平面11A CD ⊥平面PBD . ………14分
(18)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………… 1分
因为'()ln (ln 1)f x a x a a x =+=+， …………… 2分 令'()0f x =，解得1
x e
=
. …………… 3分 ①当0a >时， 随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：
x
1(0,)e
1e 1
(,)e
+∞ '()f x
-
+
()f x
↘
↗
即函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e
+∞上单调递增. …………… 5分 ②当0a <时， 随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：
x
1(0,)e
1e
1
(,)e +∞ '()f x
+
-
()f x
↗
↘
即函数()f x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e
+∞上单调递减. …………… 7分
（Ⅱ）当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，
即ln 31ax x ax <+.
所以ln 310ax x ax --<.
设()ln 31g x ax x ax =--.
因为'()ln 3g x a x a a =+-(ln 2)a x =-, …………… 8分 令'()0g x =，解得2
x e =. …………… 9分 因为0<a ，
所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：
x
2(0,)e
2e
2(,)e +∞
'()g x +
-
()g x
↗
↘
即函数()g x 在2
(0,)e 上单调递增，在2
(,)e +∞上单调递减. …………… 10分
所以22222
max ()()ln 311g x g e ae e ae ae ==--=--. …………… 11分
所以2
10ae --<.
所以21
a e
>-. …………… 12分 所以a 的取值范围为21
(,0)e
-. ………13分
法二：
当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立， 即ln 31ax x ax <+. 所以(ln 3)1a x x x -<. 即
1
ln 3x x x a
<-. …………… 8分 设()ln 3g x x x x =-. 因为'()ln 2g x x =-,
令'()0g x =，解得2
x e =. …………… 9分
所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：
x
2(0,)e
2e
2(,)e +∞
'()g x -
+
()g x
↘
↗
即函数()g x 在2
(0,)e 上单调递减，在2
(,)e +∞上单调递增. …………… 10分
所以22222
min ()()ln 3g x g e e e e e ==-=-. …………… 11分
所以21
e a
<-. 所以21
a e
>-. …………… 12分
所以a 的取值范围为21
(,0)e
-. ………13分
(19)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由条件可知2,3a b ==， …………2分
故所求椭圆方程为13
42
2=+y x . …………4分 （Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分
由22(1),
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分
因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，则
3
4124,
348222122
21+-=+=+k k x x k k x x . …………8分
因为直线AE 的方程为：)2(2
11
--=
x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(2
22
--=
x x y y ， ………9分 令3x =，可得)2,
3(11-x y M ，)2
,3(22
-x y N ， 所以点P 的坐标12121(3,
())222
y y x x +--. ………10分 直线2PF 的斜率为1
2121()0222
'31
y y x x k +---=-
1
2121()422
y y x x =
+-- 122112121212()42()4
x y x y y y x x x x +-+=
⋅-++ 1212121223()4142()4
kx x k x x k x x x x -++=
⋅-++ …………12分 22
2222
2241282341434341284
24
4343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 3
4k =- 所以k k '⋅为定值4
3
-. …………13分
(20)(本小题满分14分)
解: (Ⅰ) 因为对任意n *
∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，
所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分
即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分 所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *
∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等
比数列，则
()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分
所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-
即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分
因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分
所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >， 所以
22
11
n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分 （２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *
∈N ，有
1n n a a q +=. ………10分
因为0n a >，
所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是
12)
2311212(......(),()......n n n n
q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)
342231231
(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分
即
()
()
B n
A n
＝
()
()
C n
B n
＝q，所以三个数(),(),()
A n
B n
C n组成公比为q的等比数列.
………13分
综上所述，数列{}n a是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数(),(),()
A n
B n
C n组成公比为q的等比数列. ………14分
【各题若有其它解法，请酌情给分】。