2021河北衡水中学高三上学期二调数学试卷(解析版)

【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )
A、〔﹣∞，﹣1]
B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕
C、[0，3〕
D、〔0，3〕
2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且
a6=a5+2a4，那么的最小值是( )
A、B、2 C、D、
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )
A、B、1 C、2 D、3
4．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )
A、B、
C、D、
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么
c=( )
A、2
B、4
C、2
D、3
6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )
A、B、C、1 D、2
7．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )[来源:学&科&网Z&X&X&K]
A、b+c=2a
B、b+c＜2a
C、b+c≤2a
D、b+c≥2a
8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )
A、[1，+2]
B、[1，e2﹣2]
C、[+2，e2﹣2]
D、[e2﹣2，+∞〕
9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )
A、232
B、233
C、234
D、235
10．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )
A、2
B、4
C、6
D、8
11．向量是单位向量，，假设•=0，且|﹣|+|﹣2|=，那么|+2|的取值范围是( )
A、[1，3]
B、[]
C、[，]
D、[，3] 12．定义在〔0，+∞〕上的单调函数f〔x〕，对∀x∈〔0，+∞〕，都有f[f〔x〕﹣log2x]=3，那么方程f〔x〕﹣f′〔x〕=2的解所在的区间是( )
A、〔0，〕
B、〔1，2〕
C、〔，1〕
D、〔2，3〕
【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕
13．假设tanα+=，α∈〔，〕，那么sin〔2α+〕
+2cos cos2α的值为__________．
14．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=1，且f〔x〕的导数f′〔x〕＜，那么不等式f〔x2〕＜的解集为__________．
15．S n是等差数列{a n}〔n∈N*〕的前n项和，且S6＞S7＞S5，有以下五个命题：
①d＜0；
②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{S n}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是__________〔写出你认为正确的所有命题的序号〕16．函数f〔x〕为偶函数且f〔x〕=f〔4﹣x〕，又f〔x〕
=，函数g〔x〕=〔〕|x|+a，假设F〔x〕=f 〔x〕﹣g〔x〕恰好有4个零点，那么a的取值范围是__________．【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕
17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1
〔1〕求{a n}的通项公式；
〔2〕记b n=log2〔a n+1〕，求数列{b n•a n}的前n项和为S n．18．△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量
，且
〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．
19．函数的最小正周期为3π．〔I〕求函数f〔x〕在区间上的最大值和最小值；〔II〕在△A BC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b ＜c，，求角C的大小；
〔Ⅲ〕在〔II〕的条件下，假设，求cosB的值．
20．函数f〔x〕=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性，并写出对应的单调区间；
〔2〕设b∈R，假设函数f〔x〕≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
21．设函数f〔x〕=〔1+x〕2﹣mln〔1+x〕，g〔x〕=x2+x+A、〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立，求实数m 的取值范围；[来源:]
〔2〕当m=2时，假设函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
〔3〕是否存在常数m，使函数f〔x〕和函数g〔x〕在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．
22．函数f〔x〕=ln〔x+1〕+ax2﹣x，a∈R．
〔Ⅰ〕当a=时，求函数y=f〔x〕的极值；
〔Ⅱ〕假设对任意实数b∈〔1，2〕，当x∈〔﹣1，b]时，函数f〔x〕的最大值为f〔b〕，求a的取值范围．
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )
A、〔﹣∞，﹣1]
B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕
C、[0，3〕
D、〔0，3〕
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=〔0，4]，
B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}=〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕，
∴C U B=〔﹣1，3〕，
∴〔C U B〕∩A=〔0，3〕，
应选：D
【点评】此题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．
[来源:学科网]
2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且
a6=a5+2a4，那么的最小值是( )
A、B、2 C、D、
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出那么的最小值．
【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，
∴，
即q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1〔舍去〕，
∵=4a1，
∴，
即2m+n﹣2=16=24，
∴m+n﹣2=4，即m+n=6，
∴，
∴=〔〕=，
当且仅当，即n=2m时取等号．
应选：A、
【点评】此题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )
A、B、1 C、2 D、3
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，
∴==2×1=2．
∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，
∴==0，
∴22﹣2λ=0，
解得λ=2．
应选：C、
【点评】此题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
4．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )
A、B、
C、D、
【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．
【解答】解：由题意m=2．A=±2，
再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，
∴函数y=Asin〔ωx+φ〕+m=±2sin〔2x+φ〕+2．
再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，
故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin〔2x+〕+2，
应选B
【点评】此题主要考查利用y=Asin〔ωx+∅〕的图象特征，由函数y=Asin〔ωx+∅〕的部分图象求解析式，属于中档题．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么
c=( )
A、2
B、4
C、2
D、3
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解：=
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
假设S △ABC=2，那么absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=〔a+b〕2﹣2ab﹣ab
=〔a+b〕2﹣3ab=62﹣3×8=12，
解得c=2．
应选C、
【点评】此题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )
A、B、C、1 D、2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
【解答】解：如下图，
∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，
∴四边形MAEC为平行四边形，
∴==〔+〕；
又∵++=，
∴=﹣〔+〕=﹣3；
∴==．
应选：A、
【点评】此题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．
7．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )
A、b+c=2a
B、b+c＜2a
C、b+c≤2a
D、b+c≥2a
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理．
【专题】解三角形；不等式的解法及应用．
【分析】等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，
又A为锐角，∴0＜2A＜π，
∴2A=，即A=，
由余弦定理有a2=b2+c2﹣bc=〔b+c〕2﹣3bc≥〔b+c〕2﹣〔b+c〕
2=，即4a2≥〔b+c〕2，
解得：2a≥b+c，
应选：C、[来源:学&科&网Z&X&X&K]
【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．
8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )
A、[1，+2]
B、[1，e2﹣2]
C、[+2，e2﹣2]
D、[e2﹣2，+∞〕
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f〔x〕=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．
【解答】解：由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
设f〔x〕=2lnx﹣x2，求导得：f′〔x〕=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′〔x〕=0在x=1有唯一的极值点，
∵f〔〕=﹣2﹣，f〔e〕=2﹣e2，f〔x〕极大值=f〔1〕=﹣1，且知f〔e〕＜f〔〕，
故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
应选B、
【点评】此题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )
A、232
B、233
C、234
D、235
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】由可得a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．
【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，
∴a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，
∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，
a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，
∴S25=〔a1+a4+a7+…+a25〕+〔a2+a5+a8+…+a23〕+
〔a3+a6+a9+…+a24〕
=++=233，
应选：B
【点评】此题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据得到a n+3﹣a n=2，是解答的关键．
10．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )
A、2
B、4
C、6
D、8
【考点】函数的零点；函数的图象．
【专题】作图题．
【分析】由图象变化的法那么和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
【解答】解：由图象变化的法那么可知：
y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，
在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去
可得g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象；
又f〔x〕=cosπx的周期为=2，如下图：
两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，
由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2
故所有交点的横坐标之和为4，
应选B
[来源:Z。

xx。

]
【点评】此题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．
11．向量是单位向量，，假设•=0，且|﹣|+|﹣2|=，那么|+2|的取值范围是( )
A、[1，3]
B、[]
C、[，]
D、[，3]
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答此题．
【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=〔1，0〕，=〔0，1〕，=〔x，y〕，
那么=〔x﹣1，y〕，=〔x，y﹣2〕，
那么，
即〔x，y〕到A〔1，0〕和B〔0，2〕的距离和为，即表示点〔1，0〕和〔0，2〕之间的线段，
|+2|=表示〔﹣2，0〕到线段AB上点的距离，最小值是点〔﹣2，0〕到直线2x+y﹣2=0的距离
所以|+2|min=，最大值为〔﹣2，0〕到〔1，0〕的距离是3，
所以|+2|的取值范围是[，3]；
应选：D、
【点评】此题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等；关键是利用坐标法解答．
12．定义在〔0，+∞〕上的单调函数f〔x〕，对∀x∈〔0，+∞〕，都有f[f〔x〕﹣log2x]=3，那么方程f〔x〕﹣f′〔x〕=2的解所在的区间是( )
A、〔0，〕
B、〔1，2〕
C、〔，1〕
D、〔2，3〕
【考点】导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】设t=f〔x〕﹣log2x，那么f〔x〕=log2x+t，又由f〔t〕=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f〔x〕的解析式，由二分法分析可得h〔x〕的零点所在的区间为〔1，2〕，结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈〔0，+∞〕，都有f[f〔x〕﹣log2x]=3，又由f〔x〕是定义在〔0，+∞〕上的单调函数，
那么f〔x〕﹣log2x为定值，
设t=f〔x〕﹣log2x，那么f〔x〕=log2x+t，
又由f〔t〕=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
那么f〔x〕=log2x+2，f′〔x〕=，
将f〔x〕=log2x+2，f′〔x〕=代入f〔x〕﹣f′〔x〕=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣=0，
令h〔x〕=log2x﹣，
分析易得h〔1〕=＜0，h〔2〕=1﹣＞0，
那么h〔x〕=log2x﹣的零点在〔1，2〕之间，
那么方程log2x﹣=0，即f〔x〕﹣f′〔x〕=2的根在〔1，2〕上，
应选：B、
【点评】此题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f〔x〕的解析式．
【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕
13．假设tanα+=，α∈〔，〕，那么sin〔2α+〕
+2cos cos2α的值为0．
【考点】二倍角的余弦．
【专题】三角函数的求值．[来源:学科网]
【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．
【解答】解：∵tanα+=，α∈〔，〕，∴tanα=3，或tanα=〔舍去〕，
那么sin〔2α+〕
+2cos cos 2α=sin2αcos+cos2αsin+•
=sin2α+cos2α+=•+•+ =•+•+
=•+•+=0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
14．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=1，且f〔x〕的导数f′〔x〕＜，那么不等式f〔x2〕＜的解集为〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．【考点】导数的运算；其他不等式的解法．
【专题】压轴题；导数的概念及应用．
【分析】设F〔x〕=f〔x〕﹣x，根据题意可得函数F〔x〕在R上
单调递减，然后根据f〔x2〕＜可得f〔x2〕﹣＜f〔1〕﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．
【解答】解：设F〔x〕=f〔x〕﹣x，那么F′〔x〕=f′〔x〕﹣
∵f′〔x〕＜，∴F′〔x〕=f′〔x〕﹣＜0
即函数F〔x〕在R上单调递减
而f〔x2〕＜即f〔x2〕﹣＜f〔1〕﹣
∴F〔x2〕＜F〔1〕而函数F〔x〕在R上单调递减
∴x2＞1即x∈〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕
故答案为：〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕
【点评】此题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
15．S n是等差数列{a n}〔n∈N*〕的前n项和，且S6＞S7＞S5，有以下五个命题：
①d＜0；
②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{S n}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是①、②、⑤〔写出你认为正确的所有命题的序号〕【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定，结合a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0判断⑤．
【解答】解：由题可知等差数列为a n=a1+〔n﹣1〕d，
由s6＞s7有s6﹣s7＞0，即a7＜0，
由s6＞s5同理可知a6＞0，
那么a1+6d＜0，a1+5d＞0，
由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6D、
∵，
∴s11=11a1+55d=11〔a1+5d〕＞0，
s12=12a1+66d=12〔a1+a12〕=12〔a6+a7〕，
∵S7＞S5，∴S7﹣S5=a6+a7＞0，
∴s12＞0．
由a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0，
可知|a6|＞|a7|．
即①②⑤是正确的，③④是错误的．
故答案为：①、②、⑤．
【点评】此题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，表达了数学转化思想方法，是中档题．
16．函数f〔x〕为偶函数且f〔x〕=f〔4﹣x〕，又f〔x〕
=，函数g〔x〕=〔〕|x|+a，假设F〔x〕=f 〔x〕﹣g〔x〕恰好有4个零点，那么a的取值范围是〔2，〕．【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】易知函数f〔x〕，g〔x〕都是偶函数，所以只需判断F〔x〕在〔0，+∞〕上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f〔x〕与y=g 〔x〕的图象在y轴右侧有两个不同交点即可．画出它们的函数图象，问题容易解决．
【解答】解：由题意可知f〔x〕是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g〔x〕也是偶函数，因此只需做出x＞0时f〔x〕，g〔x〕的图象，然后此时产生两个不同交点即可．
作出函数f〔x〕、g〔x〕的图象如下：
可知，假设F〔x〕恰有4个零点，只需，即．解得．
故答案为．
【点评】此题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕[来源:]
17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1
〔1〕求{a n}的通项公式；
〔2〕记b n=log2〔a n+1〕，求数列{b n•a n}的前n项和为S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】〔1〕通过对a n+1=2a n+1变形可得〔a n+1+1〕=2〔a n+1〕，进而可得{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；〔2〕通过，可得b n•a n=n•2n﹣n，记
A=1×21+2×22+…+n•2n，利用错位相减法计算A﹣2A的值，进而计算可得结论．[来源:]
【解答】解：〔1〕∵a n+1=2a n+1，
∴〔a n+1+1〕=2〔a n+1〕
∵a1+1=2≠0，∴a n+1≠0，
∴，
∴{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，
∴，
∴；
〔2〕∵，
∴，
∴，
记A=1×21+2×22+…+n•2n，
∴2A=1×22+…+〔n﹣1〕•2n+n•2n+1，
∴﹣A=A﹣2A
=2+22+…+2n﹣n•2n+1
=﹣n•2n+1
=〔1﹣n〕•2n+1﹣2，
∴A=〔n﹣1〕•2n+1+2，
故．
【点评】此题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量
，且
〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】〔1〕利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值．
〔2〕把余弦定理代入式子，再应用基本不等式求出式子的最大值．
【解答】解：〔1〕∵，，
由得：〔1﹣cos〔A+B〕〕+=，
即〔1﹣cos〔A+B〕〕+=，4cos〔A﹣B〕=5cos 〔A+B〕，
∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．
〔2〕==tanC=﹣tan〔A+B〕=﹣
•=﹣〔tanA+tanB〕≤﹣•2=﹣，〔当且仅当A=B 时等号成立〕，
故的最大值为﹣．
【点评】此题考查两个向量的数量积公式，两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以及余弦定理得应用．
19．函数的最小正周期为3π．〔I〕求函数f〔x〕在区间上的最大值和最小值；〔II〕在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b ＜c，，求角C的大小；
〔Ⅲ〕在〔II〕的条件下，假设，求cosB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】〔I〕由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由时，可得：，根据正弦函数的图象和性质即可得解．
〔II〕由，由正弦定理结合sinA≠0，可得，结合a ＜b＜c，即可求C的值．[来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]
〔Ⅲ〕由得，由〔II〕可求sinA，，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．
【解答】解：〔I〕∵，由函数f〔x〕的最小正周期为3π，即，解得，
∴，
∵时，可得：，∴，所以x=﹣π时，f〔x〕的最小值是﹣3，时，f〔x〕的最大值是1．
〔II〕由，由正弦定理，有==，
又sinA≠0，
∴，
又因为a＜b＜c，
∴．
〔Ⅲ〕由得．
∵，
∴．由知，
∴．
【点评】此题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
20．函数f〔x〕=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性，并写出对应的单调区间；
〔2〕设b∈R，假设函数f〔x〕≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】〔1〕通过函数f〔x〕，得f′〔x〕，然后结合f′〔x〕与0的关系对a的正负进行讨论即可；
〔2〕对a的正负进行讨论：当a＜0时，f〔x〕≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由题结合〔1〕得ab≤2a2﹣a2lna，设g〔a〕=2a2﹣a2lna〔a＞0〕，问题转化为求g〔a〕的最大值，利用导函数即可．
【解答】解：〔1〕由函数f〔x〕=e x﹣ax+a，可知f′〔x〕=e x﹣a，①当a≤0时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′〔x〕=e x﹣a=0，得x=lna，
故当x∈〔﹣∞，lna〕时，f′〔x〕＜0，此时f〔x〕单调递减；[来源:Z|xx|]
当x∈〔lna，+∞〕时，f′〔x〕＞0，此时f〔x〕单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f〔x〕在单调递增区间为〔﹣∞，+∞〕；当a＞0时，函数f〔x〕的单调递减区间为〔﹣∞，lna〕，单调递增区间为〔lna，+∞〕；
〔2〕由〔1〕知，当a＜0时，函数f〔x〕在R上单调递增且当x→﹣∞时，f〔x〕→﹣∞，∴f〔x〕≥b不可能恒成立；
当a=0时，此时ab=0；
当a＞0时，由函数f〔x〕≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min〔x〕，∵f min〔x〕=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，
设g〔a〕=2a2﹣a2lna 〔a＞0〕，那么g′〔a〕=4a﹣〔2alna+a〕=3a﹣2alna，
由于a＞0，令g′〔a〕=0，得，故，
当时，g′〔a〕＞0，g〔a〕单调递增；
当时，g′〔a〕＜0，g〔a〕单调递减．
所以，即当，时，ab的最大值为．
【点评】此题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．设函数f〔x〕=〔1+x〕2﹣mln〔1+x〕，g〔x〕=x2+x+A、〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立，求实数m 的取值范围；
〔2〕当m=2时，假设函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
〔3〕是否存在常数m，使函数f〔x〕和函数g〔x〕在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立⇔，设φ〔x〕=，那么f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立⇔m≤φ〔x〕min，利用导数研究函数φ〔x〕的单调性极值最值即可；
〔2〕函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln〔1+x〕=a在[0，2]上恰有两个相异实根．令F〔x〕=1+x﹣2ln〔1+x〕，
利用导数研究其单调性极值与最值可得F min〔x〕=F〔1〕=2﹣2ln2．只要F〔1〕＜a≤F〔2〕，可使方程h〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点．
〔3〕存在满足题意．f′〔x〕=2〔1+x〕﹣=，函数f〔x〕的定义域是〔﹣1，+∞〕，对m分类讨论即可得出单调性，
而函数g〔x〕在〔﹣1，+∞〕上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可．
【解答】解：〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成
立⇔，
设φ〔x〕=，那么f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立⇔m≤φ〔x〕min，
∵φ′〔x〕=，
当x∈〔0，e﹣1〕时，φ′〔x〕＜0；当x∈〔e﹣1，+∞〕时，φ′〔x〕＞0．
故φ〔x〕在x=e﹣1处取得极小值，也是最小值，即φ〔x〕min=φ〔e﹣1〕=e，故m≤E、
〔2〕函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln〔1+x〕=a在[0，2]上恰有两个相异实根，
令F〔x〕=1+x﹣2ln〔1+x〕，那么F′〔x〕=，当〔0，1]时，F′〔x〕＜0，当〔1，2]时，F′〔x〕＞0，
故F〔x〕在〔0，1]上递减，在〔1，2]上递增，
故F min〔x〕=F〔1〕=2﹣2ln2．且F〔0〕=1，F〔2〕=3﹣2ln3，因此F〔0〕＞F〔2〕，
∴只要F〔1〕＜F〔2〕，即只要F〔1〕＜a≤F〔2〕，可使方程h〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点．
即a∈〔2﹣2ln2，3﹣2ln3]．
〔3〕存在满足题意．f′〔x〕=2〔1+x〕﹣=，函数f〔x〕的定义域是〔﹣1，+∞〕，
假设m≤0，意．f′〔x〕≥0，函数f〔x〕在〔﹣1，+∞〕上单调递增，不合题意；
当m＞0时，由f′〔x〕＞0，得2〔1+x〕2﹣m＞0，解得x＞﹣1+
或x＜﹣1﹣〔舍去〕，
故m＞0时，函数f〔x〕的增区间是，单调递减区间是，
而函数g〔x〕在〔﹣1，+∞〕上的单调递减区间是，单调递增区间是，
故只需=﹣，解得m=．
【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．函数f〔x〕=ln〔x+1〕+ax2﹣x，a∈R．
〔Ⅰ〕当a=时，求函数y=f〔x〕的极值；
〔Ⅱ〕假设对任意实数b∈〔1，2〕，当x∈〔﹣1，b]时，函数f〔x〕的最大值为f〔b〕，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．
【分析】〔Ⅰ〕将a=时代入函数f〔x〕解析式，求出函数f〔x〕的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′〔x〕的符号及f〔x〕的单调性情况表，从表就可得到函数f〔x〕的极值；
〔Ⅱ〕由题意首先求得：，故应按a＜0，a=0，a＞0分类讨论：当a≤0时，易知函数f〔x〕在〔﹣1，0〕上单调递增，在〔0，+∞〕上单调递减，从而当b∈〔0，1〕时f〔b〕＜f〔0〕，那么不存在实数b∈〔1，2〕，符合题意；当a＞0时，令f′〔x〕=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f〔x〕x∈〔﹣1，b]的最大值，使其最大值恰为f〔b〕，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求
并即得所求的范围；假设求得的a的取值范围为空那么不存在，否那么存在．
【解答】解：〔Ⅰ〕当a=时，，
那么，化简得〔x＞﹣1〕，
列表如下：
x 〔﹣
1，0〕0 〔0，
1〕
1 〔1，
+∞〕
f′〔x〕+ 0 ﹣0 +
f〔x〕增极大
值减极小
值
增
∴函数f〔x〕在〔﹣1，0〕，〔1，+∞〕上单调递增，在〔0，1〕上单调递减，且f〔0〕=0，
f〔1〕=ln2﹣，
∴函数y=f 〔x〕在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；
〔Ⅱ〕由题意，
〔1〕当a≤0时，函数f〔x〕在〔﹣1，0〕上单调递增，在〔0，+∞〕上单调递减，
此时，不存在实数b∈〔1，2〕，使得当x∈〔﹣1，b〕时，函数f 〔x〕的最大值为f〔b〕；
〔2〕当a＞0时，令f′〔x〕=0有x=0或，
①当，即a＞时，函数f〔x〕在〔〕和〔0，+∞〕上单调递增，
在〔〕上单调递减，要存在实数b∈〔1，2〕，使得当x∈〔﹣1，b]时，
函数f〔x〕的最大值为f〔b〕，那么f〔〕＜f〔1〕，代入化简得，
令〔a＞〕，
∵恒成立，故恒有，∴a时，恒成立；
②当，即0＜a＜时，函数f〔x〕在〔﹣1，0〕和〔〕上单调递增，
在〔0，〕上单调递减，此时由题，只需，解得a≥1﹣ln2，
又1﹣ln2，
∴此时实数a的取值范围是1﹣ln2≤a＜；
③当a=时，函数f〔x〕在〔﹣1，+∞〕上单调递增，显然符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞〕．
【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目．。