【初中数学】江苏省南通市教研室2012年中考数学全真模拟试卷(6份) 通用5

()x '
（第5题图）
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷六
试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
. 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ．
2． 若复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ .
3． 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的
概率是 ▲ .
4． 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆．为检验该公司
的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取 ▲ 辆． 5． 如图，是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5-时，则输出的y 值为 ▲ ．
6． 已知点(01)(4)A B a ,
, , ，若直线AB 在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a = ▲ . 7． 设0ω>，函数()
sin 2y x ωπ=++的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最
小值是
▲ ．
8． 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，右图是()y f x '=的图象，若()f x 的极大值与
极小值
之和为23
，则(0)f 的值为 ▲ ．
9． 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四
面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .
10．设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的 ▲ 条件．
（在“充分不必要”、“充分必要”、“必要不充分”中选填一种） 11．已知ABC ∆的周长为16，面积为6，且6BC =，则=AB AC ⋅
▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭
圆的一个焦点，与y 轴相交于B C 、两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值
范围是 ▲ .
13．在△ABC 中，若4AC =，5BC =，7cos()8
A B -=，则cos C =___________．
14．定义：若函数()f x 为定义域D 上的单调函数，且存在区间( ) ()m n D m n ⊆<，
，使得当x ∈( )m n ，
时，()f x 的取值范围恰为( )m n ，，则称函数()f x 是D 上的“正函数”． 已知函数()x f x a =(1)a >为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）已知02αβπ<<<<π,
且5sin()13
αβ+=, 1tan 22α=． （1）求cos α的值；（2）证明：sin β>513．
16．（本题满分14分）
如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且
2AB AE =．
A
B
C
E
（1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
17．（本题满分15分）若半径为r 的圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的
距离为d ，其中222D E F +=，且0F >．（1）求F 的范围；（2）求证：22d r -为定值； （3）是否存在定圆M ，使得圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给
出证明；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分15分）
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为
4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．
（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，请据此算出养殖区
的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估
算出养
殖区的最小面积．
1l
2l
D
A
B
C
1l
2l
D
A
B
C
19．（本题满分16分）
设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正
整数n ，()n n k a S f n +=都成立．
（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．
20．（本题满分16分）
已知函数2()(2)2f x x m x m =-+-+-，其中m 为常数． （1）求证：函数()f x 的图象必过定点；
（2）若()y f x =在[]10-, 上为单调减函数，求实数m 的取值范围；
（3）是否存在正整数a b , ，使得()a f x b ≤≤的解集恰好为[]a b , ？若存在，请求出a b ,
的值；
若不存在，请说明理由．
试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．（几何证明选讲）
如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于E ，求证：AM MN =．
B ．（矩阵与变换）已知a ，b ∈R ，矩阵A 13a b -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T A 将直线230x y --=变换为自身．
（1）求实数a ，b 的值； （2）计算213-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
A ．
C ．（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，已知点A 、B 分别在曲线3sin ρθ=、3cos ρθ=上，求AB 的最大值与最小值．
D ．（不等式选讲）
已知 a b c ，，
均为正数，且1a b c ++=，求证：()()()
11111164a b c
+++≥．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．设动点P 在y 轴与直线l ：8x =之间的区域（含边界）上运动，且到点(20)F ,
和直线l 的距离
之和为10，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点(24)S , 作两条直线SA SB 、分别交曲线C 于A B 、两
点，斜率分别为12k k 、．（1）求曲线C 的方程；（2）若121k k ⋅=，求证：直线AB 恒过定点．
23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，同时满足下列条件： （第21—A 题）
A
E
B
C
D
M
N
① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，
，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有221
2l
i i k a =-∑
≤．
（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n A ；
（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷六
参考答案
1．{}1 9，；
2．； 3．35； 4．6； 5．0； 6．-3； 7．32； 8．13；
9．3π； 10．充分必要； 11．554
； 12．
； 13．11；
14．()
1
1 e ，． 答案解析：
1． 根据集合的并集运算得{}1 9A B =，
U ；
2． 设复数z =-1+b i ，则z =4=，解得b =；
3． 由古典概型得，抽到的牌为红心的概率是35；
4． 根据分层抽样，型号A 的轿车应抽取1200466⨯
=（辆）； 5． 变量x 的值由初值-5经过循环后变为1，而2log 10=；
6． 易得直线AB 的方程为：114a y x -=+，由两截距相等得14a -=-，所以3a =-；
7． 将函数()
s i n 2
y x ωπ=++
3
图象向右平移4π3
个单位后所得函数解析式为()4ππs i n 33y x ω⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，即()
π4πs i n 33y x ωω=+-，由两函数的图象重合得4π2π Z k k ω-=∈，，即3 2Z k k ω=-∈，
，又0ω>，故当k =-1时，ω取最小值32；
D
C
B
A
（第9题图）
8．设()()()22f x a x x '=+-（a 非零为常数），所以()
31()43
f x a x x c =-+（c 为常数），因为
2(2)(2)3f f +-=，所以2c =23，此时
(0)f =c =13
；
9． 如图，则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1）
的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长
2
4π3π=⎝⎭
（cm 2）；
10．必要性显然，充分性：首先可以断定公比为正数，且数列中
的各项符号相同，当各项均为正数时，易有公比大于1，所以
原数列是递增数列；当各项均为负数时，也易有公比在()
0 1，内，所以原数列也是递增数列，故答案为充分必要条件；
11．如图，以BC 为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设()A x y ,
， 则(30)B -,
，(30)C , ，由题意得106AB AC BC +=>=
所以点A 的轨迹是以B C 、为焦点，10方程为2212516
y x +=（除与x 轴的两个交点）， 由1662A y =⨯⨯得2A y =，
由对称性，不妨取点)
2A ，
则55=4
AB AC ⋅
．
12．由题意得，圆半径2
b r a
=，因为△ABC 是锐角三角形，所以πcos0cos cos A c >=>，即1c r <<221ac a c <<-2
11e e <<-，解得e ∈
；
13．在线段BC 上取一点D ，使得AD =BD ，从而∠DAB =∠A ，所以cos cos()CAD A B ∠=-=78
，
在△CAD 中，由余弦定理得AD =3，所以cos C =1116
；
14．由题意得() () f m m f n n =⎧⎨=⎩，
，
所以m ，n 是方程()f x x =的两个不等的实数根，即考察方程x a x
=何时有两个不等的实数根，两边同时取自然对数得ln ln x a x
=，即ln ln 0 x a x
-=，设ln ()ln x g x a x =-，则由2ln 1()0x g x x -'==得e x =，经验证，函数()g x 的最小值为(e)g ，
故(e)g =1ln 0 a -<，解得1
e a <，又a >1，故()
1
1 e a ∈，．
15．命题立意：本题主要同角三角函数的关系、两角和与差的正弦、正切公式，考查运算求
（第
11题图）
解能力．
解：（1）将1tan 2
2
α=代入22tan 2tan 1tan 2
α
αα
=
-得4tan α=（4分）
所以22
sin 4 cos 3sin cos 1 αααα⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
，，又()
π0 2α∈，，
解得3cos 5
α=．（6分）
（2）易得π3π22αβ<+<，又5sin()αβ+=,
所以()12cos 13αβ+=-，（8分）
由（1）可得4sin 5
α=，（10分）
所以()()
53124635sin sin 1351356513βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．
（14分）
16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的基础知识，考
查空间想象、推理论证能力． 证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，
又AB ⊄平面CDE ， CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．（6分） （2）因为AE CDE ⊥平面， 且CD CDE ⊂平面， 所以AE CD ⊥，（8分） 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，
， 且AE AD A = ，
AE AD ADE ⊂、平面，
所以CD ADE ⊥平面，（12分） 又CD ABCD ⊂平面，
所以ABCD ADE ⊥平面平面．（14分）
17．命题立意：本题主要考查求直线与圆得方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查
运算求解与探究论证能力．
解：（1）因为224+>D E F ，又222D E F +=，且0F >，
所以24,>F F 且0F >，解得4>F ；（3分）
（2）易得圆C 的圆心()
22D E C --,
，半径r =， A B C D E
（第16题图）
圆心C 到直线l 的距离
22
F d -=
=，
所以2
2
22212
F d r --=-
=；
（7分） （3）存在定圆M ：221x y +=满足题意，下证之：（9分） 1 因为M
(0，0)到直线l 1R ==，
所以圆M 与直线l 相切；（12分）
2
因为2
F CM =
，且11R +，
而()2
2
41140224
F F F
F -⇔->⇔>， 故1CM R >+，所以圆M 与圆C 相离．
由1 、2 得，存在定圆M ：221x y +=满足题意．（15分）
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α- ，
对菱形ABCD 的边长“算两次”得()
36sin sin 60αα=- ，（3分）
解得tan α=
所以，养殖区的面积()()2
2
2
3
1sin6091sin60)tan S αα=⋅=+⋅=
；
（5分）
（2）设AD 与1l 所成夹角为α，()
120 180BAD θ∠=∈ ，，则AB 与2l 所成夹角为 ()
180θα-+ ，
对菱形ABCD 的边长“算两次”得()
36sin sin 180αθα=-+ ，（7分）
解得sin tan 2cos θαθ
=
+，
所以，养殖区的面积()2
3
sin sin S θα=⋅()2
191sin tan θα=+⋅()
54cos 9θθ+=，（10分）
由()()
2
54cos 5cos 4990sin sin S θθθθ
'++'==-=得4cos 5θ=-，（13分）
经检验得，当4cos 5
θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ．
答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．（15分）
19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活
运用基本量进行探索求解、推理分析能力．
解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，
≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）
（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，
≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），
而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()
*n ∈N ，
故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()
*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）
(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤
（图1）
（图2）
y
211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，
≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且
d =2a ，
考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()
*n ∈N ．
故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()
*n ∈N ，
此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）
(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，
故数列{a n }不能成等差数列．（14分）
综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）
20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活应用属性结合
思想、分类讨论思想进行探索问题、解决问题的能力．
解：（1）易得2(1)22y m x x x =---+，即2(1)(22)0x m x x y --+-+= 所以210 220 x x x y -=⎧⎨+-+=⎩
，，解得1 1 x y =⎧⎨=-⎩，，
故()f x 的图象必过定点()1 1-，；（3分）
（2）判别式()()281226m m m m ∆=-+=--， ① 当0∆≤时，即26m ≤≤时，
函数()f x ≤0恒成立，
所以2()()(2)2f x f x x m x m =-=--+-，
对称轴方程为22m x -=，所以当20 22m m -≥，即≥时符合题意（如图1），
此时26m ≤≤；（6分）
② 当0∆>时，即26m m <>或时，方程()0f x =的两
个实根为1 2
x =，，
不妨设12x x <，由题意及图象得
10x ≥或221 20 m x -⎧-⎪
⎨⎪
⎩≤，≥，
即2m -
2）
或21,20
m m -⎧-⎪
⎨⎪-⎩≤ （如图3）
解得2 0m m ≥，
或≤，此时0 6m m >≤，或， 综上得m 的取值范围是0 2m m ≤，或≥．（10分）
（3）由题意得() () 2
(
) 2
f a a f b a m f b ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-⎪⎩，
，≤，（12分）
所以a ，b 是方程()f x a =的两个不同的实数解， 由根与系数的关系得2 2 a b m ab a m +=-⎧⎨=+-⎩
，
，
消去m 得2ab a b =+，即(1)2b a a -=．
当1a =时，上式显然不可能成立，故1a ≠，所以22211a b a a ==+--，
因为 Z a b ∈，
，所以1a -是2的约数1 2 ±±，， 即a 的所有可能值分别为0，2，-1，2，对应的b 的所有可能值依次为0，4，1，3，
因为a b <，所以11a b =-⎧⎨=⎩
，（舍）或24.a b =⎧⎨=⎩，
对应的m 的值为8， 经检验，满足()
2m f b -≤，
所以24
a b =⎧⎨=⎩，
即为所求．（16分）
附加题部分
21．A ．命题立意：本题主要考查同角或等角的余角、圆的相关知识，考查推理论证能力． 证明：连结CD 、AD ， 因为
AD CD =，所以∠DAC =∠ACD ， 而∠ABD =∠ACD ，
所以∠DAC =∠ABD ，（4分）
则∠AND =∠EAD ，∠EAD =∠BDE ，∠ADE =∠ABD ，
所以∠AND =∠BDE ，且∠ADE =∠DAC ， 故MN =DM ，且AM =DM ， 所以MN =AM ．（10分）
B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．
解：（1）设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则133x a x x ay b y y bx y '--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（2分） 因为点x y '⎡⎤
⎢⎥'⎣⎦
在已知直线上，所以230x y ''--=，
故()()2330x ay bx y -+-+-=，整理得()1(23)30b x a y --+--=，（4分） 所以22 231 b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得1 4a b =⎧⎨=-⎩，．（6分）
（2）由（1）得矩阵1143-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦A ， 所以2111132434385---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 故213219853323---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．（10分）
C ．命题立意：本题主要考查圆的极坐标方程，考查数形结合的能力．
解：在极坐标系中，方程3sin ρθ=表示圆心为()
3π 22，，半径为32的圆，
方程3cos ρθ= 表示圆心为()
3 0，，半径为32的圆，
易得两圆相交于两点，故min 0AB =，
当AB 经过两个圆的圆心时max 3AB =+．（10分）
D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
证明：左边()()()()
111111111111+11ab a b c abc ac bc ab a b c
=+++=+++++++
≥133abc +⋅（当且仅当a b c ==时，取得“=”），（6分） 而()3
13
27
a b c
abc ++=≤（当且仅当a b c ==时，取得“=”）， 所以左边≥27+2133
327327⨯+⨯+1=64（当且仅当a b c ==时，取得“=”）．（10
分）
22．命题立意：本题主要考查轨迹方程的应用，考查运算求解能力．
解：（1）设P (x ，y )
810 (08)x x -=≤≤，
移项平方并化简得，28y x = (08)x ≤≤．(4分) （2）设()()1122 A x y B x y ，，，， 则11122112144
88244
2y y k k x y y y --=
===-++-, 同理, (6分) 所以()()
1212641+44k k y y ⋅=
=+，即1212484()y y y y =-+ （※） 因为直线AB 的方程为()()21
1112112
8y y y y x x x x x x y y --=-=--+， 所以121212
8y y y x y y y y =
+++，
代人（※）得，()12
8
64y x y y =
+-+， 故直线AB 必过点()6 4--，．(10分)
23．命题立意：本题主要考查计数原理、组合数的性质、二项式定理等基础知识，考查运算求解、
推理论证的能力．
解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=
个相乘
；（3分） （2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，（5分） 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,
, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则1
221
2j j k i i k a +=->∑
=4）
； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=， 这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，
所以，11222C 22C 2
2C n n n
n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ 11222(2+C 2C 2C )22n n n n n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯
2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（10分）。