2024福建省中考一模押题预测卷数学试卷及答案

2024年福建中考第一次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 下列各数中，最小的是( )A. 2
- B. 0
C.
12
D. 2
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据29.47万用科学记数法表示为（ ）A. 6
0.294710⨯ B. 4
2.94710⨯ C. 5
2.94710⨯ D. 4
29.4710⨯4. 在平面直角坐标系中，点2(1)A ，
在（ ）A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5. 下列运算正确的是（ ）A. ()2
22
39xy x y = B. ()
2
3
5y y = C. 2222x x x ⋅= D. 623
x x x ÷=6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（ ）A. ()136
x x ++= B. ()2136
x += C. ()1136
x x x +++= D. 2136
x x ++=7. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点，作直线PQ 交AB ，AC 于点D ，E ，连接CD ．下列说法错误的是（ ）
A. 直线PQ 是AC 的垂直平分线
B. 12
CD AB =
C. 12
DE BC =
D. :1:4
ADE DBCE S S =△四边形8. 下列说法正确的是（ ）
A. 检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是180︒是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是2
0.4s =甲，2
2s =乙，则乙组数据比甲组数据稳定
9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC =，AB b =，AB 的最大仰
角为α.当45C ∠=︒时，则点A 到桌面的最大高度是（ ）
A. cos b a a
+
B. sin b a α
+
C. cos a b a +
D. sin a b α
+10. 已知二次函数24y ax ax =-（a 是常数，a<0）的图象上有()1,A m y 和()22,B m y 两点．若点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）A. 3
12
m <<
B.
4
23
m << C.
4332
m << D. m>2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果温度上升3℃，记作3+℃，那么温度下降2℃记作___________ ℃．
12.在ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，10cm BC =，则DE 的长为__________cm.13．如图，在平行四边形()ABCD AB AD <中，按如下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧在BAD ∠内交于点P ；③作射线AP 交BC 于点E ．若120B ∠=︒，则EAD ∠为_________︒．
14. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：年龄/岁1819202122人数
3
5
2
1
1
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
15.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，3BC =，将ABC 绕点C 逆时针旋转到EDC
△
的位置，点B 的对应点D 首次落在斜边AB 上，则点A 的运动路径的长为_________.
16.下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，()90ACB AC BC ∠=︒<，四边形ACDE ，
CBFG 是正方形．过点C ，B 将纸片CBFG 分别沿与AB 平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方
形ACDE ，ABC 拼成图2．
（1）若3
cos 4
ABC ∠=
，ABC 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．（2）若
1915PQ BQ =，则BK
AK
=________．三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）
计算：401|1|( 3.14)π-+--．
18．（8分）解不等式组：()238,4
.2x x x ⎧+≥⎪
⎨+<⎪
⎩
①
②
19．（8分）如图，已知AB DE =，AC DC =，CE CB =．求证：12∠=∠．
20. （8分）先化简，再求值：221132111x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭
，其中()1
0132x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．21. （8分）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．
（1）求证：=DCE DBC ∠∠；
（2）若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．
22. （10分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm ）数据分A ，B ，C ，D ，E 五组制成了如下的统计图表（不
完整）．
组别身高分组人数A 155160x ≤<3B 160165x ≤<2
C 165170
x ≤<m
D 170175x ≤<5E
175180
x ≤<4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的m =___________，扇形统计图中α的度数是___________；
（2）若E 组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
23. （10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E ”形图都是正方形结构，同一行的“E ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n ，测得对应行的“E ”形图边长b （mm ），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n 与b 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E ”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E ”形图所成角叫做分辨视角θ，视力值n 与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足()1
0.510n θθ
=
≤≤．
探究2 当 1.0n ≥时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A 处用边长为1b 的I 号“E ”测得的视力与在B 处用边长为2b 的Ⅱ号“E ”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E ”形图边长．
24. （13分）已知：y 关于x 的函数()()2
21y a x a x b =-+++．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线
:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设
PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S
．
的
①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；
②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
25. （13分）如图1，点O 为矩形ABCD 的对称中心，4AB =，8AD =，点E 为AD 边上一点
()03AE <<，连接EO 并延长，交BC 于点F ，四边形ABFE 与A B FE ''关于EF 所在直线成轴对称，
线段B F '交AD 边于点G ．
（1）求证：GE GF =；
（2）当2AE DG =时，求AE 的长；（3）令AE a =，DG b =．①求证：()()444a b --=；
②如图2，连接OB '，OD ，分别交AD ，B F '于点H ，K .记四边形OKGH 的面积为1S ，DGK 的面积为2S .当1a =时，求
1
2
S S
的值．
2024年福建中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中，最小的是()
A. 2-
B. 0
C. 1
2
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【详解】解：正数大于零，零大于负数，得
1
202
2
-<<<，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为
故选：D ．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据29.47万用科学记数法表示为（ ）A. 60.294710⨯ B. 4
2.94710⨯ C. 5
2.94710⨯ D. 4
29.4710⨯【答案】C 【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤
<，n 为整数．确定n 的值时，要看
把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：29.47万5294700 2.94710==⨯，故选：C ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4. 在平面直角坐标系中，点2(1)A ，
在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限．故选：A ．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. ()222
39xy x y = B. ()235y y = C. 2222x x x ⋅= D. 623
x x x ÷=【答案】A
【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A ．222(3)9xy x y =，故此选项符合题意；
B ．326()y y =，故此选项不合题意；
C ．224x x x ⋅=，故此选项不合题意；
D ．624x x x ÷=，故此选项不合题意．
故选：A ．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（ ）
A. ()136
x x ++= B. ()2136x += C. ()1136x x x +++= D. 2136x x ++=【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(1)x +人，则传染(1)x x +人，依题意列方程：1(1)36x x x +++=．
【详解】由题意得：1(1)36x x x +++=，
故选：C ．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点，作直线PQ 交AB ，AC 于点D ，E ，连接CD ．下列说法错误的是（ ）
A. 直线PQ 是AC 的垂直平分线
B. 12CD AB =
C. 12DE BC =
D. :1:4
ADE DBCE S S =△四边形【答案】D
【解析】
【分析】根据直线PQ 是AC 的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A ．由作图过程可知，直线PQ 是AC 的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B ．由作图过程可知，直线PQ 是A
C 的垂直平分线，
∴点E 是AC 的中点，AD CD =，
在ABC 中，90ACB ∠=︒，
∴DE BC ∥，∴1AD AE BD CE
==，即点D 是AB 中点，∴12
CD AB =，故选项正确，不符合题意；
C ．∵点
D 是AB 的中点，点
E 是AC 的中点，
∴DE 是ABC 的中位线，∴12
DE BC =，故选项正确，不符合题意；
D ．∵D
E BC ∥，
∴ADE ABC △△∽
，
的
∴221124
ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴:1:3ADE DBCE S S =△四边形，
故选项错误，符合题意．
故选：D ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．8. 下列说法正确的是（ ）
A. 检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是180︒是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是2
0.4s =甲，22s =乙，则乙组数据比甲组数据稳定【答案】C
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可
【详解】解：A ．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；B ．任意画一个三角形，其外角和是180︒是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C ．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D ．甲、乙两组数据的方差分别是2
0.4s =甲，22s =乙，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9.
如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC =
，AB b =，AB 的最大仰
角为α.当45C ∠=︒时，则点A 到桌面的最大高度是（ ）
A. cos b
a a + B. sin b
a α+ C. cos a
b a + D. sin a b α
+【答案】D
【解析】
【分析】过点A 作AF BE ⊥于F ，过点B 作BG CD ⊥于G ，利用解直角三角形可得sin AF b α=，BG a =，根据点A 到桌面的最大高度BG AF =+，即可求得答案．
【详解】如图，过点A 作AF BE ⊥于F ，过点B 作BG CD ⊥于G ，
在Rt ABF 中，sin sin AF AB b αα=⋅=，
在Rt BCG 中，sin 45BG BC a =⋅︒==，∴点A 到桌面的最大高度sin BG AF a b α=+=+，
故选：D ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
10. 已知二次函数24y ax ax =-（a 是常数，a<0）的图象上有()1,A m y 和()22,B m y 两点．若点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）A. 312m << B. 423m << C. 4332m << D. m>2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：0a < ，
30y a ∴=->，
点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，
可列不等式：2483am am a ->-，
0a < ，
可得24830m m -+<，
设抛物线2
1483y m m =-+，直线10x =，
∴24830m m -+<可看作抛物线21483y m m =-+在直线10x =下方的取值范围，
当10y =时，可得20483m m =-+，解得121
3
,22m m ==，
40> ，
21483y m m ∴=-+开口向上，
24830m m ∴-+<的解为1
3
22m <<，
根据题意还可列不等式：22448am am am am ->-，
0a < ，
∴可得22448m m m m -<-，
整理得2340m m -+<，
设抛物线2
234y m m =-+，直线20x =，
∴2340m m -+<可看作抛物线2
234y m m =-+在直线20x =下方的取值范围，
当20y =时，可得2034m m =-+，解得124
0,3m m ==，
30-<Q ，
的
∴抛物线2234y m m =-+开口向下，
2340m m ∴-+<的解为0m <或43m >
，综上所述，可得
4332
m <<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果温度上升3℃，记作3+℃，那么温度下降2℃记作___________ ℃．
【答案】2
-【解析】
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：如果温度上升3℃，记作3+℃，那么温度下降2℃记作2-℃
故答案为：2-．
【点睛】本题考查了正负数意义，理解题意是解题的关键．
12. 在ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，10cm BC =，则DE 的长为__________cm.
【答案】5
【解析】
【分析】由于D 、E 分别为AB 、AC 边上的中点，那么DE 是ABC 的中位线，根据三角形中位线定理可求DE ．
【详解】如图所示，
D 、
E 分别为AB 、AC 边上的中点，
DE ∴是ABC 的中位线，
的
12
DE BC ∴=；又∵10cm BC =，∴15cm 2DE BC =
=；故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
13．如图，在平行四边形()ABCD AB AD <中，按如下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在BAD ∠内交于点P ；③作射线AP 交BC 于点E ．若120B ∠=︒，则EAD ∠为_________︒．
【答案】30
【解析】【分析】先利用基本作图得12
EAB EAD BAD ∠=∠=∠，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到18060BAD B ∠=︒-∠=︒，从而得到30EAD ∠=︒．
【详解】解：由作法得AE 平分BAD ∠，
12
EAB EAD BAD ∴∠=∠=∠， 四边形ABCD 为平行四边形，
AD ∴∥BC ，
180B BAD ∴∠+∠=︒，
18012060BAD ∴∠=︒-︒=︒，
1302
EAD BAD ∴∠=∠=︒．故答案为：30．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
14. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：年龄/岁1819202122
人数35211
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
【答案】19
【解析】
【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可．
【详解】解：∵36,356<+>，
∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁，
∴这12名队员年龄的中位数是19岁，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数．
15. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，3BC =，将ABC 绕点C 逆时针旋转到EDC △的位置，点B 的对应点D 首次落在斜边AB 上，则点A 的运动路径的长为_________.
【解析】
【分析】首先证明BCD △是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在Rt ABC △中，∵90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，3BC =，
∴26AB BC ==，
由旋转的性质得CE CA ===，90ACE BCD ACD ∠=∠=︒-∠，
CB CD =，
∴BCD △是等边三角形，
∴60BCD ACE ∠=︒=∠，
∴点A =．
．
【点睛】本题考查了旋转变换，含30︒直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明BCD △是等边三角形．
16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，()90ACB AC BC ∠=︒<，四边形ACDE ，CBFG 是正方形．过点C ，B 将纸片CBFG 分别沿与AB 平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE ，ABC 拼成图2．
（1）若3cos 4
ABC ∠=，ABC 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．（2）若1915PQ BQ =，则BK AK
=________．【答案】
①. 9 ②. 259##729
【解析】【分析】（1）在图1中，过C 作C M A B ⊥
于M ，由3cos 4ABC ∠=，可得34CT BC =，34CM AC =，故3394416
CT CM BC AC BC AC ⋅=⋅=⋅，而ABC 的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为11922
CT BT CT CM ⋅=⋅=；（2）标识字母如图，设19NT t =，证明(ASA)BFN CBW ≌，可得34BN CW t ==，由
BCT WBT ∽，
有2CT WT BT ⋅=，即2(34)(15)CT t CT t ⋅-=，可得9CT t =或25CT t =，而BK CT =，AK WT =，即可得到答案．
【详解】（1）在图1中，过C 作C M A B ⊥于M ，如图：
CT AB ∥ ，
ABC BCT ∴∠=∠，
3
cos 4ABC ∠= ，
3cos 4BCT ∴∠=，即3
4CT BC =，
3
4CT BC ∴=，
90ACM BCM ABC ∠=︒-∠=∠ ，
3cos cos 4ACM ABC ∴∠=∠=，即3
4CM AC =，
3
4CM AC ∴=，
3
39
4416CT CM BC AC BC AC ∴⋅=⋅=⋅，
ABC 的面积为16，∴1
162BC AC ⋅=，
32BC AC ∴⋅=，
18CT CM ∴⋅=，
∴纸片Ⅲ的面积为1
1
922CT BT CT CM ⋅=⋅=；
故答案为：9；
（2）如图：
1915
PQ BQ =，∴
1915NT BT =，设19NT t =，则15BT t =，34BN t =，
90FBN CBN BCW ∠=︒-∠=∠ ，BF BC =，90BFN CBW ∠=∠=︒，
(ASA)BFN CBW ∴ ≌，
34BN CW t ∴==，
BCT WBT ∠=∠ ，90BTC WTB ∠=∠=︒，
BCT WBT ∴ ∽，∴BT CT WT BT
=，2CT WT BT ∴⋅=，
2(34)(15)CT t CT t ∴⋅-=，
解得9CT t =或25CT t =，
当9CT t =时，25WT t =，这情况不符合题意，舍去；
当25CT t =时，9WT t =，
而BK CT =，AK WT =，∴259
BK AK =．故答案为：259
．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
计算：401|1|( 3.14)π-+--．
3
-【解析】
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式)
111=-+--
111
=-+
-3=-.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）解不等式组：()238,4.2x x x ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩
①②【答案】14
x ≤<【解析】
【分析】先分别解两个不等式得到 1x ≥和4x <，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得1x ≥；
解不等式②，得4x <．
∴原不等式组的解集为14x ≤<．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
19．（8分）如图，已知AB DE =，AC DC =，CE CB =．求证：12∠=∠．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由题意可证ABC DEC ≌△△，可得ACB DCE ∠=∠，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：在ABC 和DEC 中，
AB DE AC DC CB CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()SSS ABC DEC ∴ ≌，
ACB DCE ∴∠=∠，
ACB ACE DCE ACE ∴∠-∠=∠-∠，
12∴∠=∠．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
20. （8分）先化简，再求值：221132111
x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中()10132x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．【答案】
3
x ，1【解析】【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x 的值，最后将x 的值代入计算即可．【详解】解：221132111
x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭()()()()221311111x x x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥--⎣⎦
-⎢⎥()()
23111x x x x -=-⨯-3
x =，∵()10213132x -⎛⎫=+-⎪=⎭
+ =⎝，∴原式3133
x ===．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
21. （8分）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．
（1）求证：=DCE DBC ∠∠；
（2）若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．
【答案】（1）见解析
（2【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得到=90BDC ∠︒．再根据切线的性质得到=90BCE ∠︒．然后利用等角的余角相等得到=DCE DBC ∠∠；
（2）先证明AB CE 得到=A DCE ∠∠，则可证明=A DBC ∠∠，利用正切的定义，在Rt ABC △中有tan 2=
BC A ，在Rt BCE 中有3tan =EBC BC ∠，所以=32BC BC
，然后求出BC 的长，从而得到O 的半径．【小问1详解】
证明：∵BC 为O 的直径，
∴=90BDC ∠︒．
∵CE 为O 的切线，
∴CE BC ⊥，
∴=90BCE ∠︒．
∵=9090=DCE BCD DBC BCD ∠+∠︒∠+∠︒，，
∴=DCE DBC ∠∠；
【小问2详解】
解：∵909080==1ABC BCE ∠+∠︒+︒︒，
∴AB CE ，
∴=A DCE ∠∠，
∵=DCE DBC ∠∠，
∴=A DBC ∠∠，
在Rt ABC △中，tan A =
2
BC BC AB =，在Rt BCE 中，tan =EBC ∠3CE BC BC
=，即32BC BC =，∴2236==BC ⨯，
∴BC =，
∴O 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22. （10分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm ）数据分A ，B ，C ，D ，E 五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别身高分组人数A
155160x ≤<3B
160165x ≤<2C
165170x ≤<m D 170175
x ≤<5
E 175180x ≤<4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的m =___________，扇形统计图中α的度数是___________；
（2）若E 组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，54o
（2）1
6
【解析】
【分析】（1）用C 组所占的比列出方程，即可求得m 的值，再求出总数；用周角乘以D 组所占的比，即可求出α的度数；
（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可．
【小问1详解】
∵303254100
m m =++++∴6
m =∴32543265420
m ++++=++++=33605420
⨯=︒︒故填：20， 6，54o ；
【小问2详解】
画树状图为：
或者列表为：男1
男2女1女2男1（男1男2）（男1女1）（男1女2）
男2
（男2男1）（男2女1）（男2女2）女1
（女1男1）（女1男2）（女1女2）女2（女2男1）（女2男2）（女2女1）
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
P ∴（抽中两名女志愿者）21126
==．【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键．
23. （10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E ”形图都是正方形结构，同一行的“E ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n ，测得对应行的“E ”形图边长b （mm ），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n 与b 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E ”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E ”形图所成角叫做分辨视角θ，视力值n 与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足()1
0.510n θθ=≤≤
．
探究2 当 1.0n ≥时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A 处用边长为1b 的I 号“E ”测得的视力与在B 处用边长为2b 的Ⅱ号“E ”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E ”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值12所对应行的“E ”形图边长为6mm ，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为6mm ；
的.
探究2:0.5 1.0≤≤θ；
探究3：检测距离为3m 时，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为
18mm 5．【解析】
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n 与b 成反比例关系，由待定系数法可得7.2n b =，将1.2n = 代入7.2n b =
得：6b =；探究2：由1
n θ
=，知在自变量θ的取值范围内，n 随着θ的增大而减小，故当 1.0n ≥时，0 1.0θ<≤，即可得0.5 1.0≤≤θ；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得
2653b =，即可解得答案．【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n 与b 成反比例关系，设(0)k n k b =≠，将其中一点(9,0.8)代入得：0.89
k =，解得：7.2k =，∴7.2n b
=，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将 1.2n = 代入7.2n b
=得：6b =；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为6mm ，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为6mm ；
探究2: 1
n θ=，
∴在自变量θ的取值范围内，n 随着θ的增大而减小，
∴当 1.0n ≥时，0 1.0θ<≤，
0.510θ≤≤ ，
0.5 1.0θ∴≤≤；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
1212
b b =检测距离检测距离，由探究1知16b =，
∴2653
b =，解得2185
b =，答：检测距离为3m 时，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为18mm 5
．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
24. （13分）已知：y 关于x 的函数()()2
21y a x a x b =-+++．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．
①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；
②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或14-
（2）①6，②存在，
163【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出a 值．
（2）①根据A 和B 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标P ，从而求出PH 长度，再利
用A 和B 的坐标点即可求出BC 的直线解析式，结合F P x x =即可求出F 点坐标，从而求出PF 长度，最后利用面积法即可求出PBC 的面积．
②观察图形，用m 值表示出点P 坐标，再根据平行线分线段成比例求出OD 长度，利用割补法表示出1S 和2S ，将二者相减转化成关于m 的二次函数的顶点式，利用m 取值范围即可求出12S S -的最小值．
【小问1详解】
解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
()()2210a x a x b ∴-+++=，
4a b = ，
()()22104a
a x a x ∴-+++=，
当函数为一次函数时，20a -=，
2a ∴=．
当函数为二次函数时，
()()22104a
a x a x -+++=，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与x 轴，y 轴分别只有一个交点时，()()2241424104a
b a
c a a a ∴∆=-=+--⋅=+=，
1
4a ∴=-．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，0b ∴=，
4a b = ，
0a ∴=．
综上所述，2a =或0．
故答案为：0或2或1
4-．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线l 与BC 交于点F ，直线l 与AB 交于点H ．
依题意得：210
2028a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1
8
a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：2228(1)9y x x x =-++=--+．
点P 为抛物线顶点时，(1,9)P ，(0,8)C ，
9PH ∴=，1P x =，
由()4,0B ，()0,8C 得直线BC 的解析式为28y x =-+，
F 在直线BC 上，且在直线l 上，则F 的横坐标等于P 的横坐标，
()1,6F ∴，
6FH ∴=，1OH =，
963PF PH FH ∴=-=-=，413
BH OB OH =-=-=11
1
1
S S S 313362222PBC PFC PFB P x OH HB PF ∴=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯= ．
故答案为：6．
②12S S -存在最大值，理由如下：
如图，设直线x m =交x 轴于H ．
由①得：4OB =，2AO =，6AB =，8OC =，2AH m =+，()
2,28P m m m -++228PH m m ∴=-++，
OD x ⊥ ，PH AB ⊥，
OD PH ∴∥，
AO OD
AH PH ∴=，。