2007年高考试题——数学仿真试题二(广东文科)

2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学仿真试题二（广东文科卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号对应填在答题卷上的表格内；答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：
事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+. 台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 3
1
++=
，其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高.
球的表面积公式24S R π=、体积公式33
4
R V π=
，其中R 表示球的半径. 处理相关变量x 、y 的公式：相关系数2
1
21
1
)()()
)((∑∑∑===----=
n
i i n
i i
n
i i i
y y x x
y y x x
r ；回归直线的方程
是：a bx y +=ˆ，其中x b y a x x
y y x x
b n
i i
n
i i i
-=---=
∑∑==,)()
)((2
1
1
；
相关指数2
1
1
22)()ˆ(1∑∑==---=n i i
n
i i i
y y
y
y
R ，
其中i y
ˆ是与i x 对应的回归估计值.
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共5 0分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1． 设全集为 R ，A =}01
|
{<x
x ，则=A C R ( )． A ．}01
|
{>x
x B .｛x | x ＞0｝
C .｛x | x 0≥｝
D . }01
|
{≥x
x 2． 2
)1(i i -⋅等于( )．
A ．2-2i
B ．2+2i
C ．-2
D ．2
3． 设(,)P x y 是图中的四边形内的点或四边形边界上的点，则z x y =+2的最大值是( )．
4． 抛物线)0(42
<=a ax y 的焦点坐标是( )．
5． 若函数22)(2
3
--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程0222
3
=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为( )．
6． 已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：
① 若α⊂n n m ,//，则m ∥α； ② 若αα⊄⊥⊥n m n m ,,，则α//n ； ③ 若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则m n ⊥；
④ 若m n 、是异面直线，ββα//,,m n m ⊂⊂，则α//n . 其中正确的命题有( )． 7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x a x ≤≤0()，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数)(x f y =的图象大致是( )．
8． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，
则cos B =( )．
9． 已知函数⎩⎨⎧≥-<=)
4()1(),
4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为( )．
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
A ．（a , 0）
B ．(-a , 0)
C ．（0, a ）
D ．（0, - a ）
A . 1.2
B . 1.3
C . 1.4
D . 1.5
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
A ．
14
B ．
34
C ．
4
D ．
3
A ．32
B ．16
C ．8
D ．64
第3题图
第7题图
B
C
D
俯视图
10．已知点F 1、F 2分别是椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆
交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为( )．
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中的横线上).
11. 如果实数+
∈R b a ,,且b a >,那么b 、ab 和
)(2
1
b a + 由大到小的顺序是 .
12．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是____. 13．若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 . 14．考察下列一组不等式：
,5252522
233⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+ ,525252322355⋅+⋅>+.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
三、解答题(满分80分，解答应写出文字说明和演算步骤). 15.（本小题满分12分）
已知：)1,3(-=a
，)cos ,(sin x x b = ，x ∈R . 求b a ⋅的最大值，并求使b a ⋅取得最大值时a 和b
的夹角．
16．（本小题满分14分）
已知ABCD 是矩形，4,2AD AB ==，E 、F 分别是线段AB 、 BC 的中点，PA ⊥面ABCD . (1) 证明：PF ⊥FD ；
(2) 在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD . 17．（本小题满分12分）
已知，圆C ：01282
2=+-+y y x ，直线l ：
02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程. 18．（本小题满分14分）
设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-，数列{}n a 为等差数列，且145=a ，
A ． 2
1
B . 2
2
C. 3
1
D . 3
3
第13题图
第16题图
C D
B A
P
E F
第10题图
207=a .
(1) 求321,,b b b ；
(2) 求数列{}n b 的通项公式； (3) 若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .
19．（本小题满分14分）
为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他
(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；
(2) 用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； (3) 求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.
参考数据：5.77=x ，85=y ，81=z ，
1050)(8
1
2
≈-∑=i i
x x
，456)(8
1
2≈-∑=i i y y ，
550
)(8
1
2
≈-∑=i i
z z
，
688
))((8
1
≈--∑=i i i
y y x x
，
755
))((8
1
≈--∑=i i i
z z x x
，
7)ˆ(8
1
2
≈-∑=i i i
y
y
，94)ˆ(8
1
2≈-∑=i i i z z ，5.23550,4.21456,4.321050≈≈≈. 20．（本小题满分14分）
已知函数x a x x f ln )(2
+=.
(1) 当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；
(2) 若x
x f x g 2
)()(+=在),1[∞+上是单调函数，求实数a 的取值范围.
2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学仿真试题一（广东文科卷）答案和评分标准
一、选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共30分） 11．b ＜ab ＜
)(2
1
b a + 12．334 13．8≤k 14．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数）
注：填m n n m n m n
m 525252
+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分．
三、解答题(满分80分，解答应写出文字说明和演算步骤).
15. 解：∵)6
sin(2cos sin 3π
-=-=∙x x x b a ， ……………………………………………4分
∴当1)6sin(=-πx 即)(3
22Z k k x ∈+=π
π时， ……………………………………………6分
b a
∙取得最大值2. ……………………………………………………………………………………………8分
此时，)21,23(-=b ，故1||||ˆ,cos =∙>=<b a b
a b a ，………………………………………11分 ∴a
和b 的夹角是0. …………………………………………………………………………………………12分
注：也可以由a 和b
同向来说明.
16．解：(1) 证明：连结AF ，
∵在矩形ABCD 中，4,2AD AB ==，F 是线段BC 的中点， ∴AF ⊥FD .
(3)
分
又∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥FD . …………………………………4分 ∴平面PAF ⊥FD . …………………………………………………………5分 ∴PF ⊥FD . …………………………………………………………………6分 (2) 过E 作EH ∥FD 交AD 于H ，则EH ∥平面PFD 且AD AH 4
1
=. …………9分 再过H 作HG ∥DP 交PA 于G ，则HG ∥平面PFD 且AP AG 4
1
=
. ……………11分 ∴平面EHG ∥平面PFD .
∴EG ∥平面PFD . ……………………………………………………………………………………………13分
第16题图
C
D
B A P
E
F
从而满足AP AG 4
1
=
的点G 为所找. ………………………………………………………………14分 注：1. 也可以延长DF 、AB 交于R ，然后找EG ∥PR 进行处理)
2. 本题也可用向量法解.
17．解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(2
2=-+y x ，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21
|24|2
=++a a . ………………………………………………3分
解得4
3
-
=a . ……………………………………………………………………………………………………5分 (2) 解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧====+++=.
221
,2,1|24|22222
AB DA AC DA CD a a CD ……………………………………………………………………………8分 解得1,7--=a . ………………………………………………………………………………………………10分 （解法二：联立方程⎩⎨
⎧=+-+=++0
128,
022
2
y y x a y ax 并消去y ，得
0)34(4)2(4)1(22222=++++++a a x a x a .
设此方程的两根分别为1x 、2x ，则用]4))[(1(22212212x x x x a AB -++==即可求出a .）
∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . (12)
分
18．解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123
b =
. 由21222()b b b =-+，得229
b =
. 由)(223213b b b b ++-=，得27
2
3=b . ……………………………………………………………………3分 （2）方法一：当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.
即11
3
n n b b －＝. …………………………………………………………………………………………………………………………5分 所以{}n b 是以123b =为首项，31
为公比的等比数列，于是n n b 3
12⋅=. ……………6分
方法二：由（1）归纳可得，n n b 3
1
2⋅=，它适合22n n b S =－.
所以n n b 3
1
2⋅=. ……………………………………………………………………………………………………………5分
注：方法二扣1分.
（3）数列{}n a 为等差数列，公差751
() 3 2
d a a =
=－,可得13-=n a n . ……………8分 从而1111
2(31)()2()2()333
n n n n n n c a b n n -=⋅==-－，………………………………………………9分
∴].31)13(31)43(315312[231],
3
1
)13(318315312[213232+⋅-+⋅-++⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T n T ……………10分 ∴]3
1
)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T . …………………11分 ∴1
)3
1()31(2727---=-=n n n n n n Q R T . ……………………………………………………………14分
19．解：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是8
3. ………………………………………………………………………………………………………3分
(2) 变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是
99.04
.214.32688
≈⨯=
r 、99.05.234.32755≈⨯=
'r . ……………………………………………5分 可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………6分
(3) 设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是a bx y
+=ˆ、a x b z '+'=ˆ. 根据所给的数据，可以计算出63.345.77*65.085,65.01050
688
=-===
a b ， 20.255.77*72.081,72.01050
755
=-='==
'a b . ……………………………………………………10分 所以y 与x 和z 与x 的回归方程分别是
63.3465.0ˆ+=x y
、20.2572.0ˆ+=x z . …………………………………………………………11分 又y 与x 、z 与x 的相关指数是98.0456712≈-
=R 、83.0550
94
12≈-='R . ……13分
故回归模型63.3465.0ˆ+=x y
比回归模型20.2572.0ˆ+=x z 的拟合的效果好. …14分 20．解：(1) 易知，函数)(x f 的定义域为),0(∞+. ……………………………………………1分
当2-=a 时，x
x x x x x f )
1)(1(222)(-+=
-
='. ……………………………………………2分 当x 变化时，)(x f '和)(x f 的值的变化情况如下表： ……………………………………4分
由上表可知，函数)(x f 的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是1)1(=f . ……………………………………………………………………………………………………………7分
(2) 由x x a x x g 2ln )(2
+
+=，得22
2)(x
x a x x g -+='. ………………………………8分
又函数x
x a x x g 2
ln )(2
+
+=为[1,)+∞上单调函数， ① 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调增函数，则0)(≥'x g 在[1,)+∞上恒成立，即不等
式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立.也即2
22x x
a -≥在[1,)+∞上恒成立. ………11分
又2
22)(x x
x -=ϕ在[1,)+∞上为减函数，0)1()(max ==ϕϕx . ……………………12分
所以0a ≥.
② 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调减函数，则0)(≤'x g 在[1,)+∞上恒成立，这是不可能的. ……………………………………………………………………………………………………………………13分
综上，a 的取值范围为[0,)+∞. ………………………………………………………………………14分。