北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(文科)试卷【精编】.doc

北京市西城区第二学期期末试卷
高二数学(文科)
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 已知命题:,e 0x
p x ∃∈<R ，则:p ⌝______________.
10. 曲线1
y x
=
在2x =处切线的斜率为______. 11. 当0x >时，函数24
x y x
+=的最小值为______.
12. 已知93a =，ln x a =，则x =______.
13. 若函数1
,0,
1()1(),0.
3
x x x
f x x ⎧<⎪⎪-=⎨
⎪≥⎪⎩ 则(1)(1)f f +-=_______；不等式1
()3
f x ≥
的解集 为_______.
14. 已知非空集合,A B 同时满足以下四个条件： ①{1,2,3,4,5}A B =U ； ②A B =∅I ； ③()card A A ∉； ④()card B B ∉.
注：其中()card A 、()card B 分别表示A 、B 中元素的个数. 如果集合A 中只有一个元素，那么A =_____；
如果集合A 中有3个元素，请写出一对满足条件的集合,A B ：_______________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
16．（本小题满分13分）
已知函数3
2
()3f x x x =-. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；
(Ⅱ) 若)(x f 的定义域为[1,]m -时，值域为[4,0]-，求m 的最大值.
17．（本小题满分13分）
已知函数2()21f x ax ax =++，0a ≠.
(Ⅰ) 当1a =时，解不等式()4f x >；
(Ⅱ) 若函数()f x 在区间(1,2)上恰有一个零点，求a 的取值范围.
18．（本小题满分13分）
某市居民自水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元. 某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5,3x x 吨.
(Ⅰ) 若1x =，求该月甲、乙两户的水费； (Ⅱ) 求y 关于x 的函数；
(Ⅲ) 若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量. 19．（本小题满分14分）
已知函数2
()(1)e 2x
f x x kx =--+，k ∈R . (Ⅰ) 当0k =时，求()f x 的极值；
(Ⅱ) 若对于任意的[0,)x ∈+∞，()1f x ≥恒成立，求k 的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数2
()f x ax bx =+和x x g ln )(=.
(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；
(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围.
北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷
高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.7
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C ；
2.D ；
3. A ；
4. D ；
5. A ；
6. D ；
7. D ；
8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意x ∈R ，都有e 0x ≥； 10. 1
4
-； 11. 4； 12.
13.
5
,[2,1]6
-； 14.{4} ；
{1,2,4}A =，{3,5}B =，或{1,2,5}A =，{3,4}B =，或{2,4,5}A =，{1,3}B =．
注：14题第二个空只需填对一组即可；一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由题意得 11
4624
2410a d a d +=-⎧⎨+=-⎩， ……………4分
解得
9,2a d =-=， ……………6分
16.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由32()3f x x x =-，得2
()36f x x x '=-. …………… 3分
令2
()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.
()f x '与(
)f x 在区间上的情况如下：
6分
所以，)(x f 在区间(,0)-∞ 、(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减. …8分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，函数)(x f 在区间(1,0)-和(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减.
且(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =.
所以，当03m ≤≤时，)(x f 的值域为[4,0]-；当3m >时，()(3)0f m f >=，)(x f 的值域为[4,()]f m -. ……………12分
所以，m 的最大值等于3. ……………13分 17.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 当1a =时，不等式()4f x >整理得2230x x +->，
即(1)(3)0x x -+>， …………… 3分 解得3x <-或1x >，
所以，不等式()4f x >的解集为{3,1}x x x <->或. …………… 6分 (Ⅱ)由已知，抛物线()y f x =的对称轴为212a
x a
=-
=-. …………… 9分 所以函数()f x 在区间(1,2)上是单调函数.
若()f x 在区间(1,2)上恰有一个零点，则(1)(2)0f f <， ……………11分 即(81)(31)0a a ++<，解得1138
a -
<<-. 所以，a 的取值范围为11(,)38
--. ……………13分 18.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 当1x =时，甲用水量为5吨，需交水费4 1.81310.20⨯+⨯=元. …………2分 乙用水量为3吨，需交水费3 1.8 5.40⨯=元. ……………4分 (Ⅱ)当54x ≤，即0.8x ≤时，甲、乙两户用水量均不超过4吨.
(53) 1.814.4y x x x =+⨯=； ……………6分
当54x >，34x ≤，即44
53x <≤时，甲用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨.
3 1.8
4 1.8(54)320.4 4.8y x x x =⨯+⨯+-⨯=-； ……………8分 当34x >，即4
3x >时，甲、乙用水量均超过4吨.
(44) 1.8(5434)3249.6y x x x =+⨯+-+-⨯=-. ……………9分
所以4
14.4,0,
5
44
20.4 4.8,
,
53
4249.6,.
3x x y x x x x ⎧
≤≤⎪⎪⎪
=-<≤⎨⎪⎪
->⎪⎩
……………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，函数()y f x =在各分段区间上都是增函数.
当4[0,]5
x ∈时，4()26.45
y f ≤<；当44(,]53
x ∈时，4()26.43
y f ≤<； 当4(,)3
x ∈+∞时，令249.626.4x -=，解得 1.5x =.
57.5x =，3 4.5x =，
所以，甲用水量为7.5吨；乙用水量为4.5吨. ……………13分
19.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 当0k =时，()(1)e 2x
f x x =-+.
则()e (1)e e x x x
f x x x '=+-=， ……………2分
所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，()f x 是减函数；在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 是增函数. ……………4分
又(0)1f =，
所以，()f x 的极小值为1；没有极大值. ……………6分
(Ⅱ) 由2()(1)e 2x f x x kx =--+，得()e 2(e 2)x x
f x x kx x k '=-=-. ……………7分
当0k ≤时，e 20x k ->，
所以，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，
()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，
在区间(0,)+∞上是增函数. ……………8分 所以()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意. …………9分 当0k >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x k =， 所以，当1
02
k <≤
时，ln 20k ≤在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 是增函数， 所以()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为(0)1f =，符合题意. ……………11分 当1
2
k >
时，ln 20k >， 当(0,ln 2)x k ∈时，()0f x '<，()f x 在区间(0,ln 2)k 上是减函数.
所以(ln 2)(0)1f k f <=，不满足对于任意的[0,)x ∈+∞，()1f x ≥恒成立. …13分
综上，k 的取值范围为1(,]2
-∞. ……………14分
20.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2
()f x x x =+.
设2
()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分
则2121(21)(1)
()21x x x x h x x x x x
+--+'=+-==， ……………2分
所以，在区间1
(0,)2
上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()
h x 是增函数. ……………4分
所以，()h x 的最小值为1
()2h =
31ln 42-，又31
ln 042
->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………6分
(Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1
()g x x
'=
. 因为在点P 处的切线相同， 所以2
0000000
12,,ln ax b y ax bx y x x +=
=+=. ……………8分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=，依题意，方程2
00ln 10ax x +-=有解.……………9分
设2
()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.
2121
()2ax F x ax x x
+'=+=
， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥
，ln 0F =≤，所以()F x 有零点. 当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，2
2
(e )e 10F a =+>，所以()F x 有零点.
……………11分
当0a <时，令()0F x '=
，解得x =
. ()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
令302≥，得 312e
a ≥-.
此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为3
1
[,)2e -+∞. ……………14分。