贵州省黔南州名校2021-2022学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
2．据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，
尺码（码）34 35 36 37 38
人数 2 5 10 2 1
则鞋子尺码的众数和中位数分别是( )
A．35码，35码B．35码，36码C．36码，35码D．36码，36码
3．一元一次不等式2（1+x）＞1+3x的解集在数轴上表示为（）
A． B． C． D．
4．通州区大运河森林公园占地面积10700亩，是北京规模最大的滨河森林公园，将10700用科学记数法表示为（）
A．10.7×104B．1.07×105C．1.7×104D．1.07×104
5．已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）
A．0≤x0≤1B．0＜x0＜1且x0≠1 2
C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
7．下列各式计算正确的是（）
A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2B．2a3+a3=3a6
C．a3•a=a4D．（﹣a2b）3=a6b3
8．如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上, 将剪下的扇形作为一个圆锥侧面,如果圆锥的高为330cm,则这块圆形纸片的直径为( )
A．12cm B．20cm C．24cm D．28cm
9．直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
10．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米
A．5B．3C．5+1 D．3
11．(3分)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是() A．10B41C．2D51
12．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为
A．
(1)
1980
2
x x-
=B．x（x+1）=1980
C．2x（x+1）=1980 D．x（x-1）=1980
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．一个不透明的袋子中装有6个球，其中2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是______．
14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝4
3
，则CD＝_____．
15．如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是_____．
16．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是_____．17．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n＝__________（用含n的代数式表示）．
所剪次数 1 2 3 4 …n
正三角形个数 4 7 10 13 …a n
18．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x
成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
20．（6分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比
前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()76(120)
2030mx m x x n x x -≤<⎧⎪⎨
≤≤⎪⎩
，为整数，为整数 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．m= ，n= ；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
21．（6分）如图，抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的交于点C ，其中A 点的坐标为（﹣3，0），点C 的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x ＝﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；
（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
22．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=tan B 1
2
=
，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．
（1）求证：AB 为⊙C 的切线． （2）求图中阴影部分的面积．
23．（8分）为有效治理污染，改善生态环境，山西太原成为国内首个实现纯电动出租车的城市，绿色环保的电动出租车受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大的方便，下表是行驶路程在15公里以内时普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：
车型 起步公里数 起步价格 超出起步公里数后的单价
普通燃油型 3 13元 2.3元/公里
纯电动型 3 8元 2元/公里
张先生每天从家打出租车去单位上班（路程在15公里以内），结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每公里节省0.8元，求张先生家到单位的路程．
24．（10分）如图，已知抛物线2
34y ax ax a =+-与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B ，OB OA =，直线l 过A 、B 两点，点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD x ⊥轴于点C ，交抛物线于点 E ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x 轴正半轴交于点F ，设点D 的横坐标为x ，四边形FAEB 的面积为S ，请写出S 与x 的函数关系式，并判断S 是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）连接BE ，是否存在点D ，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．
25．（10分）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，
用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．求甲、乙两种品牌空调的进货价；该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
26．（12分）如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.
27．（12分）计算：（﹣1）2018﹣93|+3tan30°．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：A．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2、D
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】
数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据,位置处于中间的数是：36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36. 故选D. 【点睛】
考查中位数与众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数是解题的关键. 3、B 【解析】
按照解一元一次不等式的步骤求解即可. 【详解】
去括号，得2+2x>1+3x ；移项合并同类项，得x<1，所以选B. 【点睛】
数形结合思想是初中常用的方法之一. 4、D 【解析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】
解：10700=1.07×104， 故选：D ． 【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5、D 【解析】
分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
详解：二次函数y =（x +a ）（x ﹣a ﹣1），当y =0时，x 1=﹣a ，x 2=a +1，∴对称轴为：x =
122x x =1
2 当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得：0＜x 0≤1
2
；
当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得：1
2
＜x 0＜1． 综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1． 故选D ．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏． 6、C 【解析】
试题解析：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C. 既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误. 故选C. 7、C 【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断． 解：A 、原式=4a 2﹣b 2，不符合题意； B 、原式=3a 3，不符合题意； C 、原式=a 4，符合题意； D 、原式=﹣a 6b 3，不符合题意， 故选C ． 8、C 【解析】
设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，利用等腰直径三角形的性质得到AB R ，利用圆锥的侧面
展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr =
90π180⋅，解得r =
4
R ，然后利用勾股定理得到
R ）2=（2+（4
R ）2，再解方程求出R 即可得到这块圆形纸片的直径． 【详解】
设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，则AB R ，根据题意得：
2πr
，解得：r R R ）2=（2+）2，解得：R =12，所以这块圆形纸片的直
径为24cm．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9、A
【解析】
根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可．
【详解】
解：如图所示；
∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，
∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，
故选：A．
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答．
10、C
【解析】
由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则2222
++=；
AC AB
125
∴AC+BC=（5m.
答：树高为（5
故选C.
11、B
【解析】
根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.
【详解】
根据三角形数列的特点，归纳出每n9行从左至右第5个数是
故选B
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
12、D
【解析】
根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【详解】
根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=1980，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、2 3
【解析】
根据概率的概念直接求得. 【详解】
解：4÷6=2 3 .
故答案为：2 3 .
【点睛】
本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
14、6 5
【解析】
延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．
【详解】
如图，延长AD 、BC 相交于点E ，
∵∠B=90°， ∴4tan 3BE A AB =
=， ∴BE=443
AB ⋅=， ∴CE=BE-BC=2，225AB BE +=， ∴3sin 5
AB E AE ==， 又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt △CDE 中，sin CD E CE
=
， ∴CD=36sin 255CE E ⋅=⨯=. 15、34
【解析】
过点C 作CH AE ⊥于H ，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算ACB 75∠=︒
再由旋转可得，CAD BAC 30∠∠==︒，根据三角形外角和性质计算E 45∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的三边关系得CH 和AH 的长度，进而得到DH 的长度，然后利用E 45∠=︒得到EH 与CH 的长度，于是可得DE EH DH =-.
【详解】
如图，过点C 作CH AE ⊥于H ，
∵AB AC 8==， ∴()()11B ACB 180BAC 180307522
∠∠∠==︒=︒︒=︒﹣﹣． ∵将ABC 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点C 处，此时点C 落在点D 处，
∴AD AB 8==， CAD BAC 30，∠∠==︒
∵ACB CAD E ，∠∠∠=+
∴E 753045．∠=︒-︒=︒
在Rt ACH 中，∵CAH 30∠=︒，
∴1CH AC 42==， AH 3CH 43==， ∴DH AD AH 843=-=-，
在Rt CEH 中，∵E 45∠=︒，
∴EH CH 4==，
∴()
DE EH DH 4843434=-=--=-．
故答案为434-． 【点睛】
本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质．
16、AC ⊥BD
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF 为三角形ABD 的中位线，根据中位线定理得到EF 与DB 平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH 与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC 与BD 垂直．
【详解】
∵四边形EFGH 是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E 、F 、分别是AD 、AB 、各边的中点，
∴EF 是三角形ABD 的中位线，
∴EF ∥BD ，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E 、H 分别是AD 、CD 各边的中点，
∴EH 是三角形ACD 的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出图形并熟练掌握矩形性质及三角形中位线定理是解题关键.
17、3n+1．
【解析】
试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
考点：规律型：图形的变化类．
18、18或21
【解析】
当腰为8时，周长为8+8+5=21；
当腰为5时，周长为5+5+8=18.
故此三角形的周长为18或21.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）;（2）20分钟.
【解析】
（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
20、（1）m=﹣1
2
，n=25；（2）18，W最大=968；（3）12天.
【解析】
【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得
32=12m﹣76m，
解得m=
1
2 -，
当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，则n=25，
故答案为m=
1
2
-，n=25；
（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16，当1≤x＜20时，
W=（4x+16）（
1
2
-x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968，
∴当x=18时，W最大=968，
当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112，∵28＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W最大=952，
∵968＞952，
∴当x=18时，W最大=968；
（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，
∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，
∴11≤x≤25时，W≥870，
∴11≤x＜20，
∵x为正整数，
∴有9天利润不低于870元，
当20≤x≤30时，令28x+112≥870，
解得x≥27
1 14
，
∴27
1
14
≤x≤30
∵x为正整数，
∴有3天利润不低于870元，
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.
21、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）；（3）9
4
．
【解析】
（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC 列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD 与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S △POC ＝2S △BOC ， ∴12•OC •|a |＝2×12OC •OB ，即12×3×|a |＝2×12
×3×1，解得a ＝±2． 当a ＝2时，点P 的坐标为（2，21）；
当a ＝﹣2时，点P 的坐标为（﹣2，5）．
∴点P 的坐标为（2，21）或（﹣2，5）．
（3）如图所示：
设AC 的解析式为y ＝kx ﹣3，将点A 的坐标代入得：﹣3k ﹣3＝0，解得k ＝﹣1，
∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3．
设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则点Q 的坐标为（x ，﹣x ﹣3）．
∴QD ＝﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x 2+3x +
94﹣94）＝﹣（x +32）2+94， ∴当x ＝﹣
32时，QD 有最大值，QD 的最大值为94． 【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用．
22、 (1)证明见解析；(2)1-π.
【解析】
（1）解直角三角形求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形面积公式求出CF ，根据切线的判定得出即可； （2）分别求出△ACB 的面积和扇形DCE 的面积，即可得出答案．
【详解】
（1）过C 作CF ⊥AB 于F ．
∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=
tan B 12AC BC ==，∴BC ＝5AB 22AC BC +=1． ∵△ACB 的面积S 1122AB CF AC BC =⨯⨯=⨯⨯，∴CF 555
==2，∴CF 为⊙C 的半径． ∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；
（2）图中阴影部分的面积＝S △ACB ﹣S 扇形DCE 2
19025252360
π⨯==1﹣π． 【点睛】
本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF 的长是解答此题的关键．
23、8.2 km
【解析】
首先设小明家到单位的路程是x 千米，根据题意列出方程进行求解．
【详解】
解：设小明家到单位的路程是x 千米．
依题意，得13+2.3（x －3）=8+2（x －3）+0.8x ．
解得：x=8.2
答：小明家到单位的路程是8.2千米．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
24、（1）234y x x =--+；（2）S 与x 的函数关系式为()2
281040S x x x =--+-≤≤，S 存在最大值，最大值为18，此时点E 的坐标为()2,6-．（3）存在点D ，使得DBE 和DAC 相似，此时点D 的坐标为()2,2-或()3,1-．
【解析】
()1利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 、B 的坐标，结合OA OB =即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论；
()2由点A 、B 的坐标可得出直线AB 的解析式(待定系数法)，由点D 的横坐标可得出点D 、E 的坐标，进而可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式结合ABE ABF S S
S ∴=+即可得出S 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质
即可解决最值问题； ()3由ADC BDE ∠=∠、90ACD ∠=，利用相似三角形的判定定理可得出：若要DBE 和DAC 相似，只需
90DEB ∠=或90DBE ∠=，设点D 的坐标为(),4m m +，则点E 的坐标为()
2,34m m m --+，进而可得出DE 、
BD 的长度.①当90DBE ∠=时，利用等腰直角三角形的性质可得出2DE BD =，进而可得出关于m 的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；②当90BED ∠=时，由点B 的纵坐标可得出点E 的纵坐标为4，结合点E 的坐标即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论.综上即可得出结论．
【详解】
()1当0y =时，有2340ax ax a +-=，
解得：14x =-，21x =，
∴点A 的坐标为()4,0-．
当0x =时，2
344y ax ax a a =+-=-， ∴点B 的坐标为()0,4a -．
OA OB =，
44a ∴-=，解得：1a =-，
∴抛物线的解析式为234y x x =--+．
()2点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()0,4，
∴直线AB 的解析式为4y x =+．
点D 的横坐标为x ，则点D 的坐标为(),4x x +，点E 的坐标为()
2,34x x x --+， ()223444(DE x x x x x ∴=--+-+=--如图1)．
点F 的坐标为()1,0，点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()0,4，
5AF ∴=，4OA =，4OB =，
221128102(2)1822
ABE ABF S S S OA DE AF OB x x x ∴=+=⋅+⋅=--+=-++． 20-<，
∴当2x =-时，S 取最大值，最大值为18，此时点E 的坐标为()2,6-，
S ∴与x 的函数关系式为()2281040S x x x =--+-≤≤，S 存在最大值，最大值为18，此时点E 的坐标为()2,6-．
()3ADC BDE ∠=∠，90ACD ∠=，
∴若要DBE 和DAC 相似，只需90DEB ∠=或90(DBE ∠=如图2)．
设点D 的坐标为(),4m m +，则点E 的坐标为()
2,34m m m --+， ()223444DE m m m m m ∴=--+-+=--，2.BD m =-
①当90DBE ∠=时，OA OB =，
45OAB ∴∠=，
45BDE ADC ∴∠=∠=，
BDE ∴为等腰直角三角形．
2DE BD ∴=，即242m m m --=-，
解得：10(m =舍去)，22m =-，
∴点D 的坐标为()2,2-；
②当90BED ∠=时，点E 的纵坐标为4，
2344m m ∴--+=，
解得：33m =-，40(m =舍去)，
∴点D 的坐标为()3,1-．
综上所述：存在点D ，使得DBE 和DAC 相似，此时点D 的坐标为()2,2-或()3,1-．
故答案为：（1）234y x x =--+；（2）S 与x 的函数关系式为()2
281040S x x x =--+-≤≤，S 存在最大值，最大值为18，此时点E 的坐标为()2,6-．（3）存在点D ，使得DBE 和DAC 相似，此时点D 的坐标为()2,2-或()3,1-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：
()1利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标；
()2利用三角形的面积找出S 关于x 的函数关系式；()3分90DBE ∠=及90BED ∠=两种情况求出点D
的坐标．
25、（1）甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；（2）当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元
【解析】
（1）设甲种品牌空调的进货价为x 元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x 元/台，根据数量=总价÷单价可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种品牌空调a 台，所获得的利润为y 元，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y 关于a 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）由（1）设甲种品牌的进价为x 元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x 元， 由题意，得 ()720030002120%x
x =++， 解得x=1500，
经检验，x=1500是原分式方程的解，
乙种品牌空调的进价为（1+20%）×
1500=1800（元）. 答：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；
（2）设购进甲种品牌空调a 台，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，
由题意，得1500a+1800（10-a ）≤16000，
解得 203 ≤a ，
设利润为w，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，
因为-700<0，
则w随a的增大而减少，
当a=7时，w最大，最大为12100元.
答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于x的分式方程；（2）根据总利润=单台利润×购进数量找出y关于a的函数关系式．
26、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，AC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．
∴∠CAE＝∠CAB．
∵OC＝OA，
∴∠CAB＝∠OCA．
∴∠CAE＝∠OCA．
∴OC∥AE．
∴∠OCE＋∠AEC＝180°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，
∴DC∥AB，
∵∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC＝AD＝a，AB＝2a，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴CD＝CB＝a，
∴CB＝OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
在Rt△CFB中，CF＝，
∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝
【点睛】
本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
27、﹣3
【解析】
分析：直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．
3
详解：原式=1﹣3﹣1+3×
=﹣3﹣3
=﹣3．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。