平面向量知识点总结 高三数学一轮复习

知识点总结4 平面向量
一．平面向量向量的线性运算
向量运算
加法
减法
数乘
几何表示
首尾相接 指向终点
起点重合 指向对顶点
起点重合 指向被减向量
(1)|λa |＝|λ||a |，
(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；
当λ＜0时，λa 与a 方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →
，
特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理
e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理
形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =
n m+n
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+n
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →
，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，
特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 二．平面向量的坐标运算
1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2.向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b
⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.
三．平面向量的数量积 1.向量a 与b
⃗ 的夹角 已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向； 当θ＝180°时，a 与b
⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积
(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；
(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b
⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2
+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b
⃗ =14
[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度
(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.
(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.
6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角， 则cosθ=a
⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |
=1212
√x 1+y 1∙√x 2+y 2
7.向量的投影
向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a
⃗ ∙b ⃗
|b ⃗ |
． 向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗
|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗
|b
⃗ |∙b ⃗
|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直
1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b
⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1
y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a
⃗ |a ⃗ |
=√x 2+y
2
y)=(√x 2+y
2
√x 2+y 2
),
与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2
y)=√x 2+y 2
√x 2+y 2
).
2.三点共线的充要条件的三种形式
(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)
(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )
(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 五．奔驰定理与三角形“四心”
1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC
PAC
PAB
S
PA S
PB S
PC ++=.
2.奔驰定理的推论及四心问题
推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOC
COA
AOB
S S
S
x y z =
已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；
①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；
备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.
①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。