(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入

第三章数系的扩充与复数的引入目录
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）
§3.1.2 复数的几何意义（新授课）
§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）
第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）
选修2-2 第三章复数基础练习（一）
选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案
选修2-2 第三章复数基础练习（二）
选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案
第三章数系的扩充与复数的引入
一、课程目标：
本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。

通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

二、学习目标：
（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

三、本章知识结构：
四、课时安排：
本章教学时间约4课时，具体分配如下：
3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时
3.2 复数代数形式的四则运算约2课时
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）
一、教学目标:
知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。

情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。

二、教学重点与难点
重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

难点：复数及其相关概念的理解
三、教学过程：
（一）：相关知识连接：
1、实数集以及实数子集
正有理数 循环小数
有理数（Q ） 零 （整数、有限小数、无限循环小数）
实数（R ） 负有理数 小数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、数的概念的发展
①从实际生产需要推进数的发展
自然数
整数 有理数 无理数
②从解方程的需要推进数的发展
负数 分数 无理数
虚数
3、人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？
实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？
（二）、讲授新课：
1、基本概念：
复数定义：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚
数单位，a 叫实部，b 叫虚部
数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

规定：1i 2
＝－
例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--
复数的相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d
强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？ 虚数定义：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。

数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩
实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
2、例题分析
例2：实数m 取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i 是:(1)、实数？（2）、虚数？（3）、纯虚数？ （引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
例3：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。

（讨论3(4)k i +-中，k 取何值时是实数？）
（三）、巩固练习：
1、指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

(
))
4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯
2、判断：两复数虚部都是3，则实部大的那个复数较大。

（ ）
3、若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？
4、已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)Z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时， z 是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
（四）、课时小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

（五）、布置作业：课本106页习题3.1第1、 2题。

四、课后反思：
§3.1.2 复数的几何意义（新授课）
一、教学目标：
知识与技能：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

过程与方法：通过类比教学，使学生理解复数的几何意义，并能用复数的几何意义解决相关问题。

情感、态度与价值观：让学生充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时提高发现问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点：
重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

三、教学过程：
（一）、课前复习：
1、说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---
2、复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3、 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）
（二）、讲授新课：
1. 复数的几何意义：
讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 分析：复数的代数形式是由实部a 和虚部b 同时确定，即是有顺序的两实数，因此不难
想到有序实数对或点的坐标。

结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应。

2、复平面：以x 轴为实轴，y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

3、例题训练：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ）
讨论：观察上例中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
结论：实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
4、复数的几何意义 ：
Z a bi =+↔一一对应
复数复平面内的点(a,b)
Z a bi =+↔u u r 一一对应复数平面向量OZ ↔u u r 一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ
注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r OZ ，规定相等的向量表示同一复数。

5、复数的模： 向量OZ 的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作bi a z +或
),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=
6、复数模的几何意义
复数Z=a+bi ，当b=0时z∈R |Z|=|a|即a 在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z （a ，b ）到原点的距离．
（三）、应用举例：
例1、 在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别画出各复数所对
应的向量。

例2、求复数z 1=3+4i 及z 2=-1+2i 的模，并比较它们的大小．
例3、设Z∈C 满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？
⑴ |Z|=4 ⑵ 2≤|Z|＜4
（四）、巩固与提高：
1、课本105页练习1、
2、3 2、分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

())
4,80,6,,291,7,0
i i i i i -+--⨯ 3、在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量。

4、复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数a 的取值。

5、若z 表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a 的取值。

6、⑴ 模等于4的虚数在复平面内的点集 ．
⑵ 比较复数z 1=－5+12i z 2=―6―6i 的模的大小．
⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示复数x+yi 的点的轨迹．
（五）、布置作业：课本106页习题3.1第5、6题.
（六）、课时小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

五、课后反思：
§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）
一、教学目标：
知识与技能：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。

并能熟练准确地运用法则解决相关的问题。

过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。

情感、态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。

二、教学重点与难点
重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
难点：加、减运算的几何意义
三、教学过程：
（一）、复习准备：
1、复数的几何意义？
2、试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3、用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +u u u u r u u u u r
4、思考：向量的加减运算满足何种法则？
类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
（二）、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。

例1、计算
（1）(14)(72)i i +-+
（2）(72)(14)i i -++
（3）[(32)(43)](5)i i i --++++
（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

运算律：对任意的C z z z ∈321,,
交换律：1221z z z z +=+
结合律：)()(321321z z z z z z ++=++
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对
应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：
类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，
则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。

④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？ （引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

例3、计算
（1）(14)(72)i i +--
（2）(52)(14)(23)i i i --+--+
（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
（三）课时小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。

（四）、巩固练习：
1．计算 （1）()845i -+ （2）()543i i --
（3())
29
i i +--- 2．若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。

3．若(310)(2)i y i x -++表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a 的取值。

4．三个复数123,,Z Z Z ，其中1Z i =+，2Z 是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成
等边三角形，试确定23,Z Z 的值。

（五）、布置作业：课本112页习题3.2 A 组 1、2、3
四、课后反思
§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）
一、教学目标：
知识与能力：掌握复数的代数形式的乘、除运算。

过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。

情感、态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。

二、教学重点与难点：
重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
难点：乘除运算
三、教学过程：
（一）、复习准备：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算：（1）、(14)(72)i i +-+ （2）、(52)(14)(23)i i i --+--+
（3）、(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
3. 计算：（1）、(1(2⨯ （2）、()()a b c d +⨯+
（类比多项式的乘法引入复数的乘法）
（二）、讲授新课：
1.复数的乘法法则
①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。

例1、计算： （1）(14)(72)i i +⨯-
（2）(72)(14)i i -⨯+
（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+
（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 运算率：对于任意有,,,321C z z z ∈
交换律：1221z z z z ⋅=⋅
结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
分配律：3121321)(z z z z z z z +=+
例2、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。

=，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则：
2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d
++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子
例3、 计算 (32)(23)i i -÷+ (12)(32)i i +÷-+
（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算2
32(12)i i -+ 23(1)1
i i -+- （三）、课时小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。

（四）、巩固练习：
1、课本111页练习1、
2、3
2、计算（1）()()3
12i i i -++ （2）2345i i i i i ++++ （3
3、若122,34z a i z i =+=-，且12
z z 为纯虚数，求实数a 的取值。

变式：12
z z 在复平面的下方，求实数a 的取值。

四、课后反思
第三章 数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）
一、教学目标：
1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.
2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.
3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.
4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义
二、教学重点与难点：
重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用． 难点：复数的知识结构的梳理
三、教学过程：
（一）、知识要点： 1.虚数单位i ：(1)它的平方等于-1，即 2
1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2. i 与－1的关系： i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i
3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1
4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .
9. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .
10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
12．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的
积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
13.乘法运算律：
(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.
14.除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R)，除以c +di (c ，d ∈R)，其商为x +yi (x ，y ∈R)，
即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .
∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx ,解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.,222
2d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d
c a
d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc a
d i c di c di c di c d
++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d
++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2
222+-+++. 15.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
16. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1、2OP ，
那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量
17.复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
18．复数的模
：||||||z a bi OZ =+==u u u r
（二）、典型剖析：
例1、实数m 取什么值时，i m m z )1(1-++=复数是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
例2、已知 ，其中R y x ∈,，求y x ,
例3、5082002)12()22(i i i
-+++
例4、实数m 取什么值时，复数i m m m m )145()158(22--++-对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？
例5、已知i z z 42-+=求复数Z
例6.设f (n )= + 求集合｛x ｜x =f (n )｝中元素的个数。

例7.如果复数 2i
1i 2+-b （其中i 为虚数单位，b 为实数 ）的实部和虚部互为相反数， 那么b 等于
A. B. C.－ D. 2
例8．当 ＜m ＜1时，复数z =(3m －2)+(m －1)i i y y i x )3()12
(--=+-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i 1i 1n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i 1i 1232323
2
在复平面上对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（三）、课堂检测
1、以 的虚部为实部，并以 的实部为虚部构成的新复数是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2、复数 的值是（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、i
3、在复平面内，复数 对应的点在第（ ）象限
A 、一
B 、二
C 、三
D 、四
4、计算：（1）、 （2）
5、若
是纯虚数，则实数x = ___
（四）、课时小结：通过系统复习复数的知识，及例题的训练，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用
（五）、布置作业
1、若复数z 满足 ，则 的值为
2、若n 是奇数，求
五、 课后反思
1+z i z z =+-11n n i i 442121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+52-i 25-i i 22-i +2i
55+-i 55+432i i i i z +++=2)31(1i i i +++=+--i i 213=+-2)131(i i i x x x )23()1(22+++-
选修2-2 第三章 复数基础练习（一）
一、选择题 1 下面四个命题
(1) 0比i -大
(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==
(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，
其中正确的命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2 13
()i i --的虚部为( ) A 8i B 8i - C 8 D 8- 3 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( ) A z z -= B z z = C 2z 为实数 D z z -
+为实数 4 设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅L L 则12,z z 的关系是( ) A 12z z = B 12z z =- C 121z z =+ D 无法确定 5 2020(1)(1)i i +--的值是( ) A 1024- B 1024 C 0 D 1024 6 已知2
()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 无数个
二、填空题 1 如果(,,0)z a bi a b R a =+∈≠且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组 2 如果35a <<,复数22
(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在 象限 3 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a =
4 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈g
若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是
5 已知3(2),z i =-则z z -
g =
6 若z =,那么100501z z ++的值是
7 计算232000232000i i i i ++++L
三、解答题
1 设复数z 满足1z =,且(34)i z +g 是纯虚数,求z -
2 已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22
(1)(34)2i i z ++的值
选修2-2 第三章 复数基础练习（一）答案
一、选择题 1 A (1) 0比i -大，实数与虚数不能比较大小；
（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
（3）1x yi i +=+的充要条件为1x y ==是错误的，因为没有表明,x y 是否是实数；
（4）当0a =时，没有纯虚数和它对应 2 D 213
3333112()()()()(2)8i i i i i i i i i ----=-====-，虚部为8- 3 B z z z R -
=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出 z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -
+都是实数 4 A 49444567...127212(1)(1)1,111i i i i z i z i i i i
+++++--=======-- 5 C 202021021010101010(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)(2)(2)0i i i i i i i i +--=+--=--=-= 6 B 00122331(0)0,(1)2,(2)0,(3)2f i i f i i i i f i i f i i i i
---=-==-=-==-==-=- 二、填空题 1 4,5,3 2,,,z z z z -=四个为虚数；22
,,,,z z z z z z --⋅五个为实数； 2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等 2 三 35a <<，22
815(3)(5)0,514(2)(7)0a a a a a a a a -+=--<--=+-< 3 ,2k k Z π
π+∈ sin 20,1cos 20,22,,2k k k Z πθθθππθπ=-≠=+=+
∈
4 222222
33log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==--
22331,3,(3)2
m m m m m m --==>=-而
5 125 2
236(2)125z z z i -⋅==-==
6 i 100501005011
1z z z i ==++=++-
50255025222()()11122
i i i i i i i =++=++=++= 7 10001000i - 记232000232000S i i i i =++++L
234200020012319992000iS i i i i i =+++++L
200023420002001
2001(1)(1)2000200020001i i i S i i i i i i i i i --=+++++-=-=--L 2000100010001i S i i
-==-- 三、解答题 1 解：设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =
1=；
(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++g 是纯虚数，则340a b -=
44155,33340
55a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩
或，4343,5555z i i -=--+或 2 解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-
130i a bi -++=
则410,43330
a a z i
b b =-⎧-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ 22(1)(34)2(724)2473422(43)4i i i i i i z i i
++-++===+-+-
选修2-2 第三章 复数基础练习（二）
一、选择题 1 若121212,,z z C z z z z --
∈+是( ) A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 不能确定 2 若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}
{2m m X ∈=( ) A R + B R - C R R +-
U D {}0R +U
3 212i i
-+++的值是( ) A 0 B 1 C i D 2i
4 若复数z 满足)1z z i -+=,则2z z +的值等于( )
A 1
B 0
C 1-
D 122
-+
5 已知3()z -=-g
,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( )
A 1
B
C D
7 若122
ω=-+,则等于421ωω++=( )
A 1
B 0
C 3+
D 1- 8 给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数;
(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;
(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=
其中正确命题的序号是( ) A (1) B (2)(3) C (1)(3) D (1)(4)
二、填空题 1 若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22
a b +=_________
2 若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为
3 复数11z i =-的共轭复数是_________
4 计算=++-i i i 1)21)(1(__________
5 复数234z i i i i =+++的值是___________
6 复数.111-++-=i
i z 在复平面内，z 所对应的点在第________象限 7 已知复数032,z i =+复数003,z z z z z +=+满足则复数z =__________ 8 计算()()221111i
i i i -++=+-______________ 9 若复数i
i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为___________ 10 设复数121,2(),z i z x i x R =+=+∈若12z z 为实数，则x =_____________
选修2-2 第三章 复数基础练习（二）答案
一、选择题 1 B 121212,,(,,,),()()()()z a bi z c di a b c d R z z z z a bi c di a bi c di --
=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈ 2 B }{{}{}222
()(,0)m m X bi b b R b ∈==-∈≠且
3 D 33336(1)21(2)(12)115()()()(1)122525
i i i i i i i i --+-+-+--+=+=+++ 2i i i =+=
4 C 110,2z z ω-===-=，221z z ωω+=+=-
5 A 12z ===
6 C 2222121212122()3,z z z z z z z z +=+--=+=
7 B 42
2110ωωωω++=++= 8 C
二、填空题 1 5 2 83 3 1i - 4 2i - 5 0 6 二 7 312
i - 8 1- 9 6- 10 2-。