(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足
12QAB QAC QBC PAB
PAC
PBC
S S S
S S S =
=
=△△△△△△，22222213
QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABC
S =，若要将此工艺
品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）
A ．42π
B ．44π
C ．48π
D ．49π
2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ） A ．
394
π
B ．
414
π
C ．12π
D ．
434
π
3．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1
BC AC ，且1
2
AC BC =
，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与
1A B 所成角的大小为（ ）
A ．
π6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
π2
5．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则（ ）
A ．DEC ∠可能为90︒
B ．若AEB △是等边三角形，则DE
C 也是等边三角形
C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 2
D ．若AEB △是直角三角形，则B
E ⊥平面ADE
6．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，7BC =，P 为球
面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ） A ．
567
3
B ．
527
3
C ．
497
3
D ．
147
7．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
8．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）．
A ．[10,19]
B ．11,19]
C ．10,5]
D ．[11,25]
9．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，
1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表
面积为（ ） A ．169π
B ．161π
C ．164π
D ．265π
10．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）
A ．外心、重心
B ．内心、垂心
C ．外心、垂心
D ．内心、重心
11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2
278
S d =
B ．2
272
S d =
C ．292
S d =
D ．2
1114
S d =
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线
AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）
A ．
25
B ．
10 C ．
35
D ．
3 二、填空题
13．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，
2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.
14．三棱锥P ABC -三条侧棱两两垂直，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为
2，P 与D 在面ABC 异侧，则所成多面体外接球的体积是_________．
15．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.
16．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.
17．在正三棱锥A BCD -中，5AB AC AD ===，6BC BD CD ===.点M 是线段
BC 上的点，且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为
θ，则sin θ的最大值为______.
18．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面
1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．
19．已知A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13
，且22AB =AC BC ⊥，则球O 的表面积是______. 20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．
三、解答题
21．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.
（1）求证：//PC 平面EBD . （2）求三棱锥E ABD -的体积.
22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足11
2
EF CC =
.
（1）证明：//OF 平面ABE ；
（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值.
23．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，1O 是底面1111D C B A 的中心.
（Ⅰ）求证：1//O B 平面1ACD ；
（Ⅱ）求二面角1D AC D --的平面角的余弦值.
24．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．
（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；
（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．
25．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，
13
3,5,cos ,,5
AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．
（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ； （Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．
26．在三棱锥P ABC -中，G 是底面ABC 的重心，D 是线段PC 上的点，且
2PD DC =.
（1）求证：DG//平面PAB ；
（2）若PAB △是以PB 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG 与PB 所成角的余弦值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
作QM AB ⊥，连接PM ，易证AB PM ⊥，由
1
1
21
22
QAB PAB
AB
QM
S S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△,得到2PM QM =，再根据
1
2
QAB QAC QBC PAB
PAC
PBC
S S S S S S =
=
=
△△△△△△，由对称性得到AB BC AC ==，然后根据222222
13
QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABC
S =，求得6,23AB AQ ==，在AOQ
△中，由222AO OQ AQ =+求解半径即可.
【详解】 如图所示：
作QM AB ⊥与M ，连接PM ， 因为PQ ⊥平面ABC ，
所以PQ AB ⊥，又QM PQ Q ⋂=， 所以AB ⊥平面PQM ， 所以AB PM ⊥，
所以
1
1
212
2
QAB PAB AB QM S S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△, 2PM QM =,
因为
12
QAB QAC QBC PAB
PAC
PBC
S S S S S S =
=
=△△△△△△， 由对称性得AB BC AC ==,
又因为22222213
QA QB QC AB BC CA ++=++
，ABC
S
=
所以21
sin 60932
ABC
S
AB =⨯⨯
= 解得6,AB
AQ ==
所以3QM PM PQ =
==，
设外接球的半径为r ，
在AOQ △中，222AO
OQ AQ =+，即()(2
2
23r r =-+， 解得72
r =
， 所以外接球的表面积为2449S r ππ==， 即该球形容器的表面积的最小值为49π. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题关键是由1
2
QAB QAC QBC PAB
PAC
PBC
S S S S S S =
=
=
△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..
2．B
解析：B 【分析】
可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体
1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求
DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.
【详解】
设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为
O ，
连接11,,,OG OF OO A B ，
因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =，故1//EF D C ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点， 所以145DF CF ==+=，故3
cos 5
255DFC ∠==⨯⨯，
因为DFC ∠为三角形的内角，故4
sin 5
DFC ∠=
，故DFC △的外接圆的半径为1254245
⨯=
，
1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，
在平面1GDO O 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDO O 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD 2541
116+=
故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164
ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】
方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.
3．A
解析：A
【分析】
证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 【详解】
∵90BAC ∠=︒，1
2
AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1
BC AC ，AB AC ⊥，1
BC AB
B ，1,B
C AB ⊂平面1ABC ，
∴AC ⊥平面1ABC ，
∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．
4．D
解析：D 【分析】
取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由
1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.
【详解】
取AC 中点E ，连接1,A E BE ，
ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，
正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，
1CC BE ∴⊥，
1AC
CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，
AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，
在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，
1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12
CAM A EA π
∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，
1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，
1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，
故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为
2
π.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出
1AM A B ⊥.
5．C
解析：C 【分析】
对A ，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B ，由>=EC EB DC 可判断；对C ，可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，即可求出；对D ，EAB ∠（或EBA ∠）为直角时，BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】
对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；
对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则22DE EC ==
//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，
易求2
cos 4
22
CDE ∠=
=
，故C 正确； 对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以
EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确． 故选：C. 【点睛】
本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.
6．A
解析：A 【分析】
求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】
如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，
由214AB AC ==，27BC =
，得72
cos 4214
ACB ∠=
=，则14
sin 4
ACB ∠=
， 214
28
sin 14
AB AM CB =
==∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，
又1114sin 2142777224
ABC S AC BC ACB =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的1567
77833
P ABC V -=⨯⨯=
． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．
7．C
解析：C
【分析】
在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】
根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1
(64)4323
V =⨯⨯⨯=. 故选C ． 【点睛】
(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；
(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
8．A
解析：A 【分析】
由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形
KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形
的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】
如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，
G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，
所以////GK FE DC ，且11
222
GK FE DC =
==， 所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，
,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，
所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高， 最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，1
222
EO ED == 作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，
112KH PO =
=，且H 是EO 的中点，1
22
EH EO ==，32DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12
CD KG
CJ -=
=， 所以3DJ =， 由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=， 所以2221910KJ KH HJ =+=+=，10KJ =
22211819DK EH HD =+=+=，19DK =
故选：A. 【点睛】
本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.
9．C
解析：C 【分析】
把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积.
【详解】 如下图所示：
把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，
根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.
10．C
解析：C 【分析】
将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】
三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，
因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********
1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =
+=+=+
所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；
三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接
1111,,BO C O DO ，
因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以11111
11,AO BC AO A D A ⊥=，
所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.
11．A
解析：A 【分析】
根据已知条件结合球的体积公式
3
43
2d π⎛⎫ ⎪⎝⎭
求解出π的值，然后根据球的表面积公式2
42d π⎛⎫
⎪⎝⎭
求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】
3169V d =，所以3
3
94163
2d d V π⎛⎫==
⎪⎝⎭
，所以278π=，
所以2
222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.
12．A
解析：A 【分析】
作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】
设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，
所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角， 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，
2211125B E B F ==+=，2221216EF =++=，
则1cos cos EB F θ=∠=5562
5
255+-=⨯⨯.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
二、填空题
13．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：2
【分析】
根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】
由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==
所以11
4428222
ABC
S
BC AO =
⋅=⨯⨯= 故答案为：2【点睛】
关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．
14．【分析】根据几何体的几何关系可将几何体放在正方体中多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球由此可求外接球的体积【详解】如图所示并且两两互相垂直所以所以正四面体与三棱锥相接且棱长为所以如图所示将此多 3 【分析】
根据几何体的几何关系，可将几何体放在正方体中，多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由此可求外接球的体积. 【详解】
如图所示，AB AC BC ==，并且,,PA PB PC 两两互相垂直，所以
222222PA PB PA PC PB PC +=+=+，所以PA PB PC ==，
正四面体D ABC -2，所以如图所示，将此多面体放在正方体中，多面体的外接球就是此正方体的外接球，并且棱长为1，正方体外接球的半径
22221113R =++=3
R =，
则外接球的体积34332
V R π==. 故答案为：
3π2
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是根据多面体的几何关系可采用补体，转化为求正方体的外接球的体积，这样计算就容易了.
15．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O 为正方形的中心的中点为M 连接则如图在截面中设N 为 2 【分析】
设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，求出OM ，
PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O 半径分别为
22
和24，进而可得小球
的体积． 【详解】
解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，
AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，
221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=，如图，在截面PMO 中，设N
为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则
1O N R =，∵1sin 3
OM MPO PM ∠==，∴
1113NO PO =，则13PO R =，11422PO PO OO R =+==∴2
2
R =
，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴224
R r ==，故小球
2O 的体积3423V r π==.
故答案为：
2
24
．
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16．40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系根据点处的纬度计算出晷针与点处的水平面所成角【详解】画出截面图如下图所示其中是赤
解析：40° 【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】
画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，
所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故答案为：40°.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，解题的关键是将稳文中的数据建立平面图形，属于中档题.
17．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得
【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面
解析：
4 【分析】
证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得．
【详解】
先证一个命题：平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．
如图AO ⊥平面BCD 于点O ，OE BC ⊥于E ，Q 是BC 上任一点，
则AO BC ⊥，而AO OE O =，则BC ⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，∴AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，
而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角， 显然sin AO AEO AE
∠=，sin AO AQO AQ ∠=，又AQ AE ≥，∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠，
,AEO AQO ∠∠都是锐角，∴AQO AEO ∠≤∠，,Q E 重合时等号成立．
由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．
由已知6EO ==4AE =，AO
sin AEO ∠= ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠，
∴sin θ的最大值为
4．
【点睛】
结论点睛：在二面角A BC D --（为锐二面角）中，AEO ∠是A BC D --二面角的平面角，Q 是棱BC 上任一点，则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角，AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角．
18．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可
【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26
【分析】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可.
【详解】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，
因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以1
1A N PC ， 因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ，
所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形，
因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1A MCN ，
所以1//PC 平面1A MCN ，
同理可证//PB 平面1A MCN ，
因为1PC PB P ⋂=，
所以平面1//PBC 平面1A MCN ，
因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1A MCN ，
连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ，
由1
1AM A N ==，MN =
可得1A H =
=
所以111122A MN S MN A H =⨯⨯=⨯=，
所以平行四边形1A MCN 的面积为12A MN S
=
故答案为：【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.
19．【分析】先在直角三角形中列关系求得再求球的表面积即可【详解】是直角三角形外接圆圆心为的中点因为三点都在球的表面上球心到平面的距离为是球半径的所以中即故解得所以球的表面积故答案为：【点睛】本题考查了球 解析：9π 【分析】
先在直角三角形中列关系，求得R ，再求球的表面积即可.
【详解】
AB =AC BC ⊥，ABC ∆是直角三角形，外接圆圆心为AB 的中点M ,
因为A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离为OM ,是球半径的13
， 所以OMB ∆中()()222
OA OM MA =+,即2221132R R AB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故22
21132R R ⎛⎫⎛=+⨯ ⎪ ⎝⎭⎝，解得29=4R ，所以球O 的表面积29=4494S R πππ=⋅=. 故答案为：9π.
【点睛】
本题考查了球的表面积，属于中档题.
20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】 解析：232
a π 【分析】
由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积.
【详解】
正四面体的棱长为：a ，
底面三角形的高：22
a a =，
3
a =， 设外接球半径为R ，
222))R R a =-+，解得R =，
所以外接球的表面积为：223442a a ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
； 故答案为：
232
a π． 【点睛】
本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径． 三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）
3. 【分析】
（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，再由线面平行的判定定理可得结论；
（2）先证明PO ⊥面ABCD ，由E 是PA 的中点，可得E 到面ABCD 的距离12
PO =
，再利用棱锥的体积公式可得答案.
【详解】
（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO .
四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PA 中点，
//EO PC ∴，又EO ⊂面EBD ，PC ⊄面EBD ，
//PC ∴面EBD .
（2）正四棱锥P ABCD -中,
PA PC =，O 是AC 的中点
PO AC ∴⊥，
PD PB =，O 是BD 的中点
PO BD ∴⊥，
又AC 与BD 在平面ABCD 内相交，
所以PO ⊥面ABCD E 是PA 的中点，
E ∴到面ABCD 的距离12
PO =， 221822,2
ABD S AB AD PO PD DO ∆=⋅⋅==-= 182323
E ABD ABD PO V S -∆=⋅⋅= 【点睛】
方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
22．（1）证明见解析；（2）
32 【分析】
（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.
【详解】
（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，
在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥， 又112
EF CC =，则OG EF =， 所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，
又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ， 故//OF 平面ABE .
（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，
连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ，
则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，
设2AB =，则114AA CC ==，
又1CE C F =，则1CE =，3CG =2EG =，
所以，直线EG 与平面ABC 所成角的余弦值为
32， 故直线OF 与平面ABC 3 【点睛】
方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法 （1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；
（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； （3）利用面面平行的性质定理：
直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；
直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
63
. 【分析】
（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ，可证11//O B D O ，即可得证；
（Ⅱ）依题意可得1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角，再根据锐角三角函数计算可得；
【详解】
（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ，
由长方体的性质知11BO O D =，且11//BO O D ，
故四边形11BO D O 是平行四边形，
所以11//O B D O .
又因为1D O ⊂平面1ACD ，1O B ⊄平面1ACD ，
所以1//O B 平面1ACD .
（Ⅱ）解：设122AB BC AA ===，由长方体底面ABCD 是正方形，得DO AC ⊥. 因为11D A D C =，O 是AC 的中点，所以1D O AC ⊥，
所以1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角.
在直角三角形1D DO 中，190D DO ∠=︒，易得11=D D ，
221122222DO BD ==+=，()()222211523D O D C OC =-=-= 得116cos DO D OD D O ∠== 所以二面角1D AC D --6. 【点睛】
作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
24．（1）
11113B F B A =，证明见解析；（225；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可。