考点01 集合的概念与运算-2016届高三数学(理)33个黄金考点总动员(原卷版)

2016届高三数学33个黄金考点总动员
考点1 集合的概念与运算（理）
【考点剖析】
1.最新考试说明：
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(3)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(4)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
(5)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
(7)能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算.
2.命题方向预测：
(1)给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算.
(2)与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.
(3)利用集合运算的结果，考查集合运算的结果,考查集合间的基本关系.
(4)以新概念或新背景为载体,考查对新情景的应变能力.
3.课本结论总结：
(1)集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。

(2)集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。

(3)集合的表示方法：列举法，描述法，图示法。

(4)子集的概念：A 中的任何一个元素都属于B 。

记作：A B ⊆
(5)相等集合：A B ⊆且B A ⊆
(6)真子集：A B ⊆且B 中至少有一个元素不属于A 。

记作：A ≠⊂B
(7)交集：B}x A x |{x B A ∈∈=⋂且
(8)并集：}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或
(9)补集：A}x x |{x A C U ∉∈=且U
4.名师二级结论：
(1)若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n
-个，非空真子集有22n -个;
(2)A B A A B ⋂=⇔⊆，A
B A A B =⇔⊇； (3)()U U U
C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =;
5.课本经典习题：
(1)新课标A 版第12页，第 B1 题（例题）已知集合{}2,1=A ,集合B 满足{}1,2A B ⋃=,则集合B 有 个.
解析:因为A B A ⋃=,A B ⊆∴,因为A 含有2个元素,所以满足要求的B 有422
=个.
【经典理由】将集合间的运算与集合间的关系进行转化.
(2)新课标A 版第 12 页，第 B3 题（例题）
设集合{}0))(3(|=--=a x x x A ,{}0)1)(4(|=--=x x x B ,求B A . 解析:{}{
}4,10)1)(4(|==--=x x x B (1)当3=a 时,{}{}30))(3(|==--=a x x x A ,此时,{
}4,3,1=B A ; (2)当3≠a 时,{}{}a a x x x A ,30))(3(|==--=
①当1=a 或4=a 时，{
}4,3,1=B A ； ②当1≠a 且4≠a 时，{
}a B A ,4,3,1= . 【经典理由】综合考察了集合的互异性与分类讨论思想.
6.考点交汇展示：
(1)集合与复数的结合
例1【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B ⋂ 等于 ( )
A ．{}1-
B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．φ
(2)集合与函数的结合
例2 【山东省菏泽市2014届高三3月模拟考试】设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则M N ⋂= （ ）
A ．{|15}x x <≤
B ．{|10}x x -<≤
C ．{|20}x x -≤≤
D ．{|12}x x <≤
（3）集合与不等式结合
例3【2015高考新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}
(1)(20B x x x =-+<,则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0A =- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2 【考点分类】
热点一 集合的含义与表示
1.【2014·福建卷】 若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．
2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】设集合{}{}1,2,3,4,5,A B ==
{}|,,,M x x a b a A b B ==+∈∈则M 中元素的个数为( )
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）】若集合{}
21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =（ ）
A ．4
B ． 2
C ．0
D ．0或4
【方法规律】
1.解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性.
2.集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关，可考虑与数列的有序性相比较.
【解题技巧】
1．集合的基本概念问题，主要考查集合元素的互异性与元素与集合的关系，解题的关键搞清集合元素的属性.
2．对于含有字母的集合，要注意对字母的求值进行讨论，以便检验集合是否满足互异性．
【易错点睛】
1.集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确.
例.已知集合A x xy xy ={lg()}，，，B x y ={||}0，，，若A B ＝，求实数x y ，的值。

错解：因为lg()xy 有意义，所以0xy >，从而x ≠0，故1xy =
又由A B ＝得x x xy y ==⎧⎨⎩||或x y xy x ==⎧⎨⎩
|| 所以x y ==1或x y ==-1
分析：由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当x y ==1时，x xy =，||x y =分别使集合A B ，中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x y ==-1。

2.用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；{}4|2-=x y x 表示的是由二次函数
42-=x y 的自变量组成的集合，即42-=x y 的定义域；{}
4|2-=x y y 表示的是由二次函数42-=x y 的函数值组成的集合，即42-=x y 的值域；{}4|),(2-=x y y x 表示的是由二次函数42-=x y 的图像上的点组成的集合，即42-=x y 的图像.
例.集合M y y x x R ==∈{|}2，，N y y x x R ==-∈{|||}2，，则M N ⋂=（ ）
A. {()}-11，
B. {()()}-1111，，，
C. {|}y y 02≤≤
D. {|}y y ≥0 错解：由y x y x ==-⎧⎨⎩22||
，解得x y =-=⎧⎨⎩11或x y ==⎧⎨⎩11，选B. 分析：注意到两个集合中的元素y 都是各自函数的函数值，因此，M N ⋂应是y x =2和y x =-2||这两个函数的值域的交集，而不是它们的交点。

由于M y y =≥{|}0，N y y =≤{|}2，所以M N y y ⋂=≤≤{|}02，选
C.
热点二 集合间的基本关系和基本运算
1. 【2015高考天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A C B ⋂=( )
（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8
2. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R C S T =（ ）
A. ]1,2(-
B. ]4,(--∞
C. ]1,(-∞
D.),1[+∞
3.【2014·山东卷】设集合{|||}{1220|[2]}x A x x B y y x ∈＝－＜，＝＝，，，则A B ⋂＝ ( )
A ．[0，2]
B ．(1，3)
C ．[1，3)
D ．(1，4)
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）】若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．16
【方法规律】
1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．
3.要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
4.子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集.
【解题技巧】
依据元素的不同属性采用不同的方法求解有关集合问题，常用到以下技巧：
①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
③若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解.
【易错点睛】
1.集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍.
2.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A B ⊆，则有A ∅＝或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.
例.若集合M x x x =--={|}25302，N x mx x R ==∈{|}1，，且N M ⊂≠，求实数m 的值.
错解：因为
M x x x =--={|}
25302
M =
132
=｛-，｝，N M ⊂≠，所以112m =-或13m = 即m =-2或m =13
. 分析：上面的解法中漏掉了N =∅即m =0的情形，因为空集是任何非空集合的真子集，所以m =-2或m =13
或0.m ＝
热点三 以集合为背景探求综合问题
1.【2014·天津卷]】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．
(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s ，t∈A，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q
n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若a n ＜b n ，则s ＜t.
2.【2013·福建卷】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足：
(i)T ＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①A ＝N ，B ＝N *；
②A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|－8≤x≤10}；
③A ＝{x|0<x<1}，B ＝R .
其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立
若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )
A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉
B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈
C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈
D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ 【方法规律】已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．
【解题技巧】解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析
【易错点睛】在解决此类问题时,要注意以下两点:1.对字母的讨论,2.区间端点的验证.
例.已知集合{}1|≤=x x A ，{}a x x B ≥=|，且A B R ⋃=，则实数a 的求值范围是 . 【热点预测】
1. 【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）1】设集合{}0232<+-=x x x A ，{}822<<=x x B ，则 （ ）
A.B A =
B.B A ⊆
C.B A ⊇
D.∅=⋂B A
3. 【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则(C )R P Q ⋂=（ ）
A.[0,1)
B. (0,2]
C. (1,2)
D. [1,2]
4. 【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）
(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x << (){|23}D x x <<
5.【东北三省2014年高三第二次模拟考试】若{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}5,6,7B =则()()U U C A C B ⋂=（ ）
A.{4,8} B ．{}2,4,6,8 C ．{}1,3,5,7 D ．{}1,2,3,5,6,7
6.【河北省邯郸市2014届高三上学期第二次模拟考试】已知集合{}0,1,2A =，{},B x y x A y A =-∈∈，则集合B 中元素的个数为( )
A ． 3
B ．5
C ．7
D ．9
7. 【北京市重点中学2015届高三8月开学测试1】已知集合2{|230}A x x x =--≥，{}
22B x x =-≤<，
则A B ⋂＝（ ）
A.[]2,1--
B.[)1,2-
C. []1,1-
D.[)1,2
8. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知集合{|2}A x x =>，{|2}B x x m =<，且R A C B ⊆，那么m 的值可以是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9. 【2015高考广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N ⋂（ ）
A ．∅
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．{}1,4
10.【江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试4】设A 、B 是非空集合，定义
{|}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且．已知{}
22|x x y x A -==，{}0,2|>==x y y B x ，则=⨯B A ．
11.【福建省安溪八中2014届高三12月月考】若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ____． 12.【2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）】已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A
B =，则A B = ．
13.【上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知集合，，则 .
14.【上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题】设集合{1,2,3,,}A n =，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值= ．
：。