2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷含详解

2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）=
2．（4分）不等式＜0的解集为．
3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3=4，a4=﹣8，则S5= 4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）= 5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为
6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为
7．（5分）满足约束条件的目标函数f=3x+2y的最大值为
8．（5分）函数f（x）=cos2x+，x∈R的单调递增区间为
9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米
10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是．
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为（）
A．B．C．，D．，14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）
|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||=||•||；（3）（）=），正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
15．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f （x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）
A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．
（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．
（1）若=0，求角C的大小；
（2）若sinA=，C=，c=，求△ABC的面积．
19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2=1．
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．
20．（16分）已知函数y=f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）=﹣2f （x）．
（1）若f（1）=﹣3，求f（16）的值；
（2）若x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，求函数y=f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；
（3）若x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．
21．（18分）已知数列{a n}中a1=1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n=a n+k ﹣k（k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．
（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；
（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使
a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数
得|a﹣a n
﹣1
列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1=a2=…=a k=1，证明：a n+2k≥（1）n ﹣k．
2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=2
【考点】6F：极限及其运算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法．
【分析】变形得到，而，从而求出该极限的值．【解答】解：．
故答案为：2．
【点评】考查数列极限的定义及求法，知道．
2．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．
【考点】7E：其他不等式的解法．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．
【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3=4，a4=﹣8，则S5= 11
【考点】89：等比数列的前n项和．
【专题】36：整体思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合数列前n项和公式的定义进行求解
即可．
【解答】解：∵a3=4，a4=﹣8，∴公比q===﹣2，
则a2=﹣2，a1=1，a5=16，
则S5=1﹣2+4﹣8+16=11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．
4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）=3【考点】4R：反函数．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】令f（x）=log2（x+1）=2，解得x值，进而可得答案．
【解答】解：∵f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，
令f（x）=log2（x+1）=2，
解得：x=3，
故f﹣1（2）=3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是反函数，函数与方程思想，转化思想，难度中档．5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为84
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
【解答】解：（）9的展开式的通项为=．取，得r=3．
∴（）9二项展开式中的常数项为．
故答案为：84．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0）
【考点】QL：椭圆的参数方程．
【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得椭圆的右焦点坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+=1，
其中a=2，b=，
则c=1；
故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）
【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意将椭圆的参数方程变形为普通方程．7．（5分）满足约束条件的目标函数f=3x+2y的最大值为
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（，）．
化目标函数f=3x+2y为y=﹣x+，由图可知，
当直线y=﹣x+过A时，
直线在y轴上的截距最大，f有最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）函数f（x）=cos2x+，x∈R的单调递增区间为[，]，k∈Z．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数性质即可求单调性；
【解答】解：函数f（x）=cos2x+
=cos2x+sin2x+=sin（2x+），
令2x+，k∈Z．
可得：≤x≤，
∴单调递增区间为[，]，k∈Z．
故答案为：[，]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为4米
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，求出抛物线的方程，进而利用当水面下降1米后，y=﹣3，可求水面宽度．
【解答】解：由题意，设y=ax2，代入（4，﹣2），
∴a=﹣，
∴﹣3=﹣x2，
解得x=2
∴水面的宽为4，
故答案为：4
【点评】本题以实际问题为载体，考查抛物线方程的建立，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．利用正方体的体积与三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，
满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．
∴该四面体的体积V=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方体的体积与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a的范围．
【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，
可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，
即有|ax+1|≤3﹣x，
即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，
可得x﹣4≤ax≤2﹣x，
即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，
由y=1﹣在x∈[1，2]递增，可得y的最大值为1﹣2=﹣1；
y=﹣1在x∈[1，2]递减，可得y的最小值为1﹣1=0，
则﹣1≤a≤0，
故答案为：[﹣1，0]．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性：求最值，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为6
【考点】3V：二次函数的性质与图象．
【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】求出n+的最小值，得出f（x）在此区间上的最值，根据最值的倍数关系得出m的值．
【解答】解：∵n为正整数，∴n+≥，
∴f（x）在区间[1，]上最大值为f（）=，最小值为f（）=，
∵=×6+，
∴m的最大值为6．
故最大值为6．
【点评】本题考查了二次函数的最值计算，属于中档题．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为（）
A．B．C．，D．，
【考点】A5：复数的运算．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据方程x2﹣px+1=0有两虚根x1、x2，
知△＜0，写出方程x2﹣px+1=0的两虚根，
由|x1﹣x2|=1求得实数p的值．
【解答】解：方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，
∴△=p2﹣4＜0，
解得﹣2＜p＜2，
∴方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，
即x1=，x2=，
∴|x1﹣x2|==1，
解得p=±．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．
14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||=||•||；（3）（）=），正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【考点】A5：复数的运算．
【专题】49：综合法；5A：平面向量及应用；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据在复数运算性质、向量运算的性质即可判断出结论．
【解答】解：根据在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；
（2）|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），
相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||，正确；（2）而||=||•||cos＜＞，因此不正确；
（3）由于与不一定共线，因此（）=）不正确．
因此正确的个数是1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数运算性质、向量运算的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵不到蓬莱→不成仙，
∴成仙→到蓬莱，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的定义，是一道基础题．
16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f （x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）
A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R 【考点】3C：映射．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用题目给出的“P→Q恒等态射”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即Q是函数的值域，且函数为定义域上的增函数，即可得到要选择的答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为P，单调递增，
值域为Q，
由此判断，对于A，定义域为R，值域为整数集，且为递增函数，找不出这样的函数；
对于B，定义域为Z，值域为Q，且为递增函数，找不出这样的函数；
对于C，定义域为[1，2]，值域为（0，1），且为递增函数，找不出这样的函数；对于D，可取f（x）=tan（πx﹣），
且f（x）在（1，2）递增，可得值域为R，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查映射的定义和判断，考查构造函数的能力，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．
（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；
5G：空间角．
【分析】（1）由圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=2能求出圆锥的全面积．
（2）以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面AOB所成角．
【解答】解：（1）∵圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=2，
∴圆锥的全面积S=πrl+πr2
=+π×22
=（4+4）π．
（2）∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，
D是AB的中点，且．
∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，OA==6，
C（2，0，0），A（0，0，6），B（0，2，0），D（0，1，3），
=（2，﹣1，﹣3），平面ABO的法向量=（1，0，0），
设直线CD与平面AOB所成角为θ，
则sinθ===．
∴θ=arcsin．
∴直线CD与平面AOB所成角为arcsin．
【点评】本题考查圆锥的全面积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．
（1）若=0，求角C的大小；
（2）若sinA=，C=，c=，求△ABC的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】35：转化思想；58：解三角形．
【分析】（1）根据矩阵的计算法则，可得2csinC=（2a﹣b）sinA•（1+），利用公式化简可得角C的大小．
（2）根据正弦定理求解a，由余弦定理求解b，即可求解△ABC的面积．
【解答】解：（1）由题意，2csinC=（2a﹣b）sinA•（1+），
即2csinC=（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB
由正弦定理得2c2=（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．
∴c2=a2+b2﹣ab．
∴cosC=．
∵0＜C＜π．
∴C=
（2）由sinA=，C=，c=，
根据正弦定理：，
可得：a=
由a＜c即A＜C，
∴cosA=
那么：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=
故得△ABC的面积S=acsinB=．
【点评】本题考查△ABC的面积的求法，正弦余弦定理的合理运用．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2=1．
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】38：对应思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；
（2）设直线MN的方程为y=kx﹣1，联立方程组消元，根据方程在（1，+∞）上有两解求出k的范围，得出线段MN的中垂线方程，从而得出截距t关于k 的函数，得出t的范围．
【解答】解：（1）双曲线的右焦点为F2（，0），渐近线方程为：x±y=0．
∴F2到渐近线的距离为=1，
∴圆的方程为（x﹣）2+y2=1．
（2）设经过点P的直线方程为y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，消去y得：（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，
∴，解得1＜k＜．
∴MN的中点为（，），
∴线段MN的中垂线方程为：y+=﹣（x+），
令x=0得截距t==＞2．
即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是（2，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．20．（16分）已知函数y=f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）=﹣2f （x）．
（1）若f（1）=﹣3，求f（16）的值；
（2）若x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，求函数y=f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；
（3）若x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（1）=﹣3，f（2x）=﹣2f（x）．即可求解f（2），f（4）依此类推，即可求解求f（16）的值；
（2）根据x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，结合f（2x）=﹣2f（x）．即可递推出x∈（1，8]的解析式及值域；
（3）根据x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，根据规律，即可求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．
【解答】解：1）f（1）=﹣3，f（2x）=﹣2f（x）．
那么f（2）=﹣2f（1）=﹣3×（﹣2）
∴f（4）=f（22）=﹣2f（2）=﹣3×（﹣2）2
∴f（23）=﹣3×（﹣2）3
∴f（16）=f（24）=﹣3×（﹣2）4=﹣48
（2）由f（2x）=﹣2f（x）．可得f（x）=﹣2f（）
当x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，
那么：x∈（2，4]时，f（x）=﹣2f（）=﹣2[）]=
那么：x∈（4，8]时，f（x）=﹣2f（）=﹣2[]=
故得x∈（1，8]的解析式为f（x）=
根据二次函数的性质，可得值域为[﹣4，﹣2）∪（1，2]∪（4，8]．
（3）（2）由f（2x）=﹣2f（x）．可得f（x）=﹣2f（）
当x∈（1，2]时，f（x）=﹣||，
得当x∈（2，22]时，f（x）=﹣2f（）=|x﹣3|；
当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（1，2]，
f（x）=﹣2f（）=（﹣2）n﹣1f（）=（﹣1）n|x﹣3•2n﹣2|；
当x∈（2n﹣1，2n]时，n为奇数时，f（x）=|x﹣3•2n﹣2|∈[，0]
当x∈（2n﹣1，2n]时，n为偶数时，f（x）=﹣|x﹣3•2n﹣2|∈[0，]
综上：n=1时，f（x）在（1，2]上最大值为0，最小值为
n≥2，n为偶数时，f（x）在（1，2n]上最大值为，最小值为
n≥3，n为奇数时，f（x）在（1，2n]上最小值为﹣，最大值为．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了阅读、转化的能力，解决本题的关键是利用已知定义转化为函数的恒成立问题，结合二次函数的性质可进行求解．属于压轴题．
21．（18分）已知数列{a n}中a1=1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n=a n+k ﹣k（k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．
（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；
（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使
a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数
得|a﹣a n
﹣1
列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1=a2=…=a k=1，证明：a n+2k≥（1）n ﹣k．
【考点】8K：数列与不等式的综合．
【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）数列{a n}为“H（1）数列”，可得S n=a n+1﹣1，S n+1=a n+2﹣1，两式相减=2a n+1，又n=1时，a1=a2﹣1，可得a2=2=2a1．利用等比数列的通项公
得：a n
+2
式可得a n，即可得出S n．
（2）S n=a n+2﹣2，S n+1=a n+3﹣2，相减可得：a n+1=a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2=a n+3，n≥2时，
a n+2=a n+1+a n（n≥2），n≥3时，﹣a n a n+2=﹣a n（a n+1+a n）=a n+1（a n+1﹣
a n）﹣，可得：|﹣a n a n+2|=|a﹣a n﹣1a n+1|，|a﹣a n﹣1a n+1|=
（n≥3），根据a4=a3+a2．可得|a﹣a n﹣1a n+1|=|﹣a2a3﹣|，由S1=a3﹣2，a1=1，可得：a3=3，可得≤40，且≤40．解得：a2．=S n+k，a n﹣1+k=S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k=a n+k﹣1+a n，a k+1=S1+k＞0，由归
（3）a n
+k
＞0，……，a n＞0，a1=a2=……=a k=1，a k+1=k+1，由归纳知，a n≤a n+1．纳知，a k
+2
=a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1=2a n+k﹣1，n≥2，a n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，可得a n+k a n+k+1则a n
+k
≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k≥≥a n
+k+2
a2k．a2k=S k+k=2k，进而得到：a n+2k≥（1）n﹣k．
【解答】（1）解：数列{a n}为“H（1）数列”，则S n=a n+1﹣1，可得：S n+1=a n+2﹣1，=2a n+1，
两式相减得：a n
+2
又n=1时，a1=a2﹣1，∴a2=2=2a1．
故a n
=2a n，对任意的n∈N*恒成立，
+1
故数列{a n}为等比数列，其通项公式为a n=2n﹣1，n∈N*．
∴S n=2n﹣1．
（2）解：S n=a n+2﹣2，S n+1=a n+3﹣2，相减可得：a n+1=a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2=a n+3，
n≥2时，a n+2=a n+1+a n（n≥2），
∴n≥3时，﹣a n a n+2=﹣a n（a n+1+a n）=a n+1（a n+1﹣a n）﹣=a n+1a n﹣1﹣．则|﹣a n a n+2|=|a﹣a n﹣1a n+1|，
a n+1|=（n≥3），∵a4=a3+a2．
则|a﹣a n
﹣1
∴|a﹣a n
a n+1|=|﹣a2a3﹣|，
﹣1
∵S1=a3﹣2，a1=1，可得：a3=3，∴≤40，且≤40．
解得：a2=0，±1，±2，±3，±4，5，﹣6．
=S n+k，a n﹣1+k=S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k=a n+k﹣1+a n，a k+1=S1+k＞0，（3）证明：a n
+k
由归纳知，a k
＞0，……，a n＞0，
+2
a1=a2=……=a k=1，a k+1=k+1，
由归纳知，a n≤a n+1．
则a n
=a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1=2a n+k﹣1，n≥2，
+k
a n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，
a n+k+1≥a n+k+2≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），
∴a n
+k
于是：a n
=a n+2k﹣1+a n+k≥（1+）a n+2k﹣1（n∈N*），
+2k
于是：a n
≥a2k．
+2k
a2k=S k+k=2k，
≥•2k＞（2k＞）．
∴a n
+2k
∴a n
≥（1）n﹣k．
+2k
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、放缩方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。