【人教版八年级数学下册教案】18.1.1 第2课时 平行四边形的对角线的特征

第2课时 平行四边形的对角线的特征
1．掌握平行四边形对角线互相平分的
性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线互相平分解
决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究 探究点一：平行四边形的对角线互相平分
【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段
已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角
线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝
35
2
cm ，AD ＝BC ＝252cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四
个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等
于邻边边长之差．
【类型二】 利用平行四边形对角线互
相平分证明线段或角相等
如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD
相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .
解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，
∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】 判断直线的位置关系
如图，平行四边形ABCD 中，AC 、
BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
探究点二：平行四边形的面积
在▱ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交
点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点
(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍
然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请
说明理由．
解析：(1)根据“平行四边形的对角线互
相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的
三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形
的性质可得点A、C到BD的距离相等，再
根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在▱ABCD中，AO＝CO.设点B
到AC的距离为h，则S△ABO＝
1
2AO·h，S△CBO
＝
1
2CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.理由如下：在▱
ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设
为h，则S△ABP＝
1
2BP·h，S△CBP＝
1
2BP·h，
∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行
四边形分成四个面积相等的三角形．另外，
等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分
2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和自主探究，加强了
学生在教学过程中的实践活动，也使学生之
间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛
更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生
之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，
教学相长．。