第采样控制系统

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三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性
首先要通过双线性变换 z w 1 w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。
例：求使系统(s)
－ T 0.25s S(S 4)
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解：1、求系统的开环脉冲传递函数
0
根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.158>0，得 使系统稳定的K值范围是0<K<17.3
讨论：从理论上，二阶线性连续系统稳定的K值范围是K>0。 对于二阶线性采样系统，当K大于某一值，系统将不稳定，可 见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频 率，稳定性将得到改善。
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二、采样过程的数学表达式
单位脉冲序列
T（t）
(t
nT )
n0
采样信号为 e（ * t） e(t) T (t) e(t) (t nT )＝ e(nT ) (t nT )
n0
n0
采样信号的拉氏变换
三、采样定理
E * (s) L[e* (t)] e(nT )e nTS
n0
经采样得到的离散信号 x（ * t）有可能无失真地恢复到原来的连
续信号的条件是
s 2 max
其中
s
:
采
样
角
频
率
， s
＝
2
T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号x(t)频谱的上限频率。
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8.3 采样信号保持器
一、零阶保持器
X * (t)
X * (t)
零阶 保持器
X n (t) X n (t)
0 T 2T 3T 4T t
0 T 2T 3T 4T t
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根据终值定理，给定稳态误差终值为：
esr
lim e(nT )
n
lim
n
z 1 E(z) z
系统的稳态误差取决于G(z)和输入信号R(z)。
三、用静态误差系数求给定稳态误差终值
1、静态位置误差系数
Kp lim[1 G(z)] z 1
2、静态速度误差系数
Kv lim(z 1)G(z) z 1 第23页/共27页
一、S域到Z域的映射
根据Z变换定义，有 z eTs
令s j，当以 变化到 ，是s平面上的虚轴，此时
z e jT
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
S平面
j
T
σ
j T
Im Z平面
T
-1 0 T
0
1 Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
采样函数 f * (t) 对应的Z变换是唯一的。Z变换只适用于
离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。
Z反变换表示为 Z 1[F (z)] f * (t)
用查表方法可得到函数 f * (t) 的Z变换。
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二、终值定理
设函数 f (t)的Z变换为 F (z)，而且 (1 z 1 )F (z) 在Z平
G(S)
C (s)
－T
H (S)
C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
2、有数字校正装置的采样系统
R(S) ＋ E(S)
E*(S) D(S ) X (S)
X *(S)
G(S)
C(s)
－T
T
C(z) D(z)G(z)
H (S )
R(z) 1 D(z)GH (z)
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8.6 采样系统的稳定性分析
(2 1)! S 0 ds
s 2 z eST
zTe sT
Tz
lim
S 0 (z e sT ) 2 (z 1) 2
f (t) t的z变换为
Tz F(s) R
(z 1) 2
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8.5 脉冲传递函数
一、基本概念
G(Z )
r(t)
r * (t )
G(S)
C(t)
C* (t)
T
T
定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信 号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传 递函数。
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二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为
C(z) G(z)
R(z) 1 GH (z)
系统特征方程为 1 GH (z) 0
其特征根1，2，n是闭环极点。
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全 部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足
i 1，i 1，2，，n
G(z) C(z) R( z)
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采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g (t )经采样后 的采样信号 g * (t)的Z变换。
g * (t) g(nT ) (t nT )
n0
G(z) Z[g * (t)] g(nT )z n
n0
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3、静态加速度误差系数
Ka lim(z 1)2 G(z) z1
单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为
esr
1 Kp
单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为
esr
T Kv
T为采样周期
单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为
T2 esr Ka
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例：采样系统如图，其中零阶保持器的传递函数为 Gh (s)
采样过程可用图表示 e(t)
T (t)
0
t
e(t)
e* (t)
e(t)
采样器
1
采样信号e* (t) 是e(t)和 T (t)
0
T 2T
t
的乘积，其中载波信号T (t) e(t)
决定采样时刻，它是周期为T
的单位脉冲序列，采样信号
在nT(n=0,1,2…)时刻的值由
0 T 2T
t
e(t) 决定。
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g(t) 1(t) 1(t T)
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶 保持器的传递函数。
Gh (s)
L[g(t)]
1 s
1 e TS s
1 e Ts
s
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8.4 z变换
一、定义
F ( z) f (nT ) z n Z[ f * (t)]
n0
其中 f * (t) 是连续函数 f (t)的采样信号， z eTs
面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则
lim f (t) lim f (nT) lim(1 z 1 )F(z) lim(z 1)F(z)
t
t
t
t
三、留数计算法 已知连续函数 f (t)的拉氏变换 F (s) ，和 F (s) 的极 点 pi ，可用留数计算法求f * (t) 的Z变换。（设 F (s) 的
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2、两个串联环节之间无采样开关隔开
G(Z )
r(t)
r * (t )
x(t)
C(t)
C* (t)
G1 (S )
G2 (S)
T
T
C(z) R(z) G1G2 (z)
无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环
节经采样后的单位脉冲响应
g * (t) 和
g
*
(t )
的乘积的Z变
z z esT
]
2、当 s pi 为q重极点，留数为
Ri
1 lim
(q 1)! s pi
d q1 ds q1
[(s
pi
)q
F (s)
z] z e sT
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例：求 f (t) t 的Z变换 解： F (s) 1
s2
二重极点s=0的留数为
R 1 lim d [(s 0) 2 1 z ]
w 1 1 w 1 0.368 0.158K w 1 0
w 1 w 1
w 1
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整理得：
0.158Kw 2 1.264w (2.736 0.158K ) 0
4、应用劳斯判据，劳斯表为：
W 2 0.158K
2.736-0.158K
W 1 1.264
0
W 0 2.736-0.158K
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
X n (t) X (nT)，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
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二、零阶保持器的传递函数
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
1
0
T
1 0
-1
零阶保持器的单位脉冲响应是一个 矩形，宽度为T，高为1，它可表示 成以下二个单位阶跃信号的迭加。
T
1
a
C(t)
S
Sa
G1 (s)G2 (s)
a s(s a)
L1[G1 (s)G2 (s)] 1 e aT
G(z)
G1G2 (z)
Z[1 e aT
]
(z
z(1 e aT ) 1)(z e aT
)
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三、闭环脉冲传递函数
1、有一个采样开关的采样系统
R(S) ＋ E(S)
E* (S )
8.7 采样系统的稳态误差
一、采样系统的类型
设采样系统的开环脉冲函数为G(z)，当G(z)具有0个，1个，2 个z＝1的极点时，系统分别为0型，I型，II型系统。
二、应用终值定理求给定稳态误差终值
R(S) ＋
E*(S)
C(s)
G(S)
－T
设采样系统是单位负反 馈系统，则给定误差脉 冲传递函数为：
E(z) 1 R(z) 1 G(z)
极点数为n）
F(z)
Z[
f
* (t)]
n
res[F( pi
i 1
)
z
z e piT
]
n
Ri
i 1
Ri
res[F( pi )
z z e piT
]为F(s) z 第7页/共2z7页 e ST
在s
pi 处的留数。
1、当 s pi 为一阶极点，留数为
Ri
lim (s s pi
pi )[F(s)
Gh Go
(z)
(1
z
1
)[ (z
2z 1)
2
2z z 1
2z ] z 0.368
2(0.368z 0.264) (z 1)(z 0.368)
2、根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个Z=1的极点， 为I型系统。
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G(s) K K 1 1 s(s 4) 4 s s 4
查表得：
Kz
z
K (1 e 4T )z
G(z) (
)
4 z 1 z e 4T
4 (z 1)(z e 4T )
2、特征方程为
1 G(z) (z 1)(z e 4T ) K (1 e 4T )z 0 4
3、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25s
被控对象的传递函数为
Go (s)
4 s(0.5s
1)
，采样周期
1
e s
Ts
T=0.25s，确定系统的类型。
R(S) ＋
－T
Gh (S)
C(s)
Go (S)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
Gh
(s)Go
(s)
(1
e TS
)[
4 s2
2 s
1] 0.5s 1
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查表得与上式对应的Z变换。系统的开环脉冲传递函数
1
2
换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。
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例：
r(t)
T
1
a
C(t)
S
T
Sa
由
G1 (s)
1 s
，
得G1
(
z
)
z z 1
G2 (s)
s
a
a
，
得G2
(
z
)
az z eaT
az 2 G(z) G1 (z)G2 (z) (z 1)(z e aT )
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r(t)
二、采样系统的开环脉冲传递函数
1、两个串联环节之间有采样开关隔开
r(t)
r * (t )
T
G(Z )
G1(Z )
x(t)
G1 (S )
T
x* (t)
G2 (Z )
G2 (S)
C(t)
C* (t)
T
C(z) R(z) G1 (z)G2 (z)
将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串 联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻 环节之间都有采样开关隔开的情况。