2018-2019学年浙江省舟山市高二(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（）
A．（1，0）B．（0，1）C．（2，0）D．（0，2）
2．（4分）直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为（）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
3．（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）
A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3
4．（4分）已知平面α的法向量为＝（2，﹣2，4），＝（﹣1，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）
A．AB⊥αB．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直D．AB∥α
5．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．（4分）空间中，α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（）
A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若α⊥β，l⊥β，则l∥α
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，l∥β，则α∥β
7．（4分）已知直线l1：x+my+7＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则实数m＝（）A．m＝﹣1或3B．m＝﹣1C．m＝﹣3D．m＝1或m＝﹣3 8．（4分）若圆x2+y2﹣2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（4分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝，BC＝1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K
所形成轨迹的长度为（）
A．B．C．D．
二、填空原（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，第15-17题，每题4分，共36分）
11．（6分）已知双曲线﹣＝1，则该双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为．
12．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积
为．
13．（6分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，则椭圆C的方程为，若直线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝．14．（6分）抛物线C：y2＝2x的准线方程是，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则|AF|+|BF|＝．15．（4分）已知F1F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是其渐近线在第一象限内的点，点Q在双曲线上，且满足•＝0，＝4，则双曲线的离心率为．
16．（4分）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知△ABC中，∠ABC为直角，AB＝2，BC ＝1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l，（2）B∈α．则C、O两点间的
最大距离为．
17．（4分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|＝m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）点P为两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．（1）求过P点且与直线3x﹣2y+4＝0平行的直线方程；
（2）求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程．
19．（15分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直．BE∥CF，∠BCF＝90°，AD＝，AB＝1，CF＝3，EF＝2．
（1）求证：DF∥平面ABE；
（2）求二面角D﹣EF﹣C的余弦值．
20．（15分）如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA∥DC，若EA：AB：DC＝2：2：1，F是BE的中点．
（1）证明：FD⊥平面ABE；
（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值．
21．（15分）已知过点A（0，4），且斜率为k的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，相
交于不同两点M、N．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：•为定值；
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求k的值，若不存在，说明理由．
22．（15分）已知抛物线C：y2＝4x，过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线AB，CD，与抛物线C分别相交于A，B和C，D，点A，C在x轴上方．
（1）若直线AB的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）设△AFC与△BFD的面积之和为S，求S的最小值．
2018-2019学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：由抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），
即有抛物线y2＝4x的2p＝4，即p＝2，
则焦点坐标为（1，0），
故选：A．
2．【解答】解：因为直线方程为2x+y﹣2＝0，
令y＝0得x＝1
所以直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为1，
故选：C．
3．【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝
故选：A．
4．【解答】解：平面α的法向量为＝（2，﹣2，4），＝（﹣1，1，﹣2），∴＝﹣，
∴∥，
∴⊥α，
即直线AB与平面α垂直．
故选：A．
5．【解答】解：∵A1B1∥AB，∴∠BAC1是异面直线A1B1与AC1所成角（或所成角的补角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，
∴AC1＝＝，BC1＝＝，
∴cos∠BAC1＝＝＝．
∴异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．
故选：B．
6．【解答】解：若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行也可能相交，故A错误；
若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故B错误；
若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，
又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；
若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交（此时交线与l平行）．故选：C．
7．【解答】解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．
经过验证都满足两条直线平行，∴m＝3或﹣1．
故选：A．
8．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2ax+3by＝0的圆心为（a，﹣）∴圆心位于第三象限，得a＜0且﹣＜0，解得a＜0且b＞0
又∵直线x+ay+b＝0，在x轴的截距为﹣b＜0，在y轴的截距为﹣＞0∴直线x+ay+b＝0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点
由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限
故选：D．
9．【解答】解：设另一焦点为D，
∵Rt△ABC中，AB＝AC＝1，
∴BC＝，
∵AC+AD＝2a，
∴AC+AB+BC＝1+1+＝4a，
∴a＝，
又∵AC＝1，∴AD＝．
在Rt△ACD中焦距CD＝，
则c＝，
∴．
故选：D．
10．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK＝＝，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A＝，∴∠K0D'＝，
其所对的弧长为＝，
故选：D．
二、填空原（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，第15-17题，每题4分，共36分）11．【解答】解：双曲线﹣＝1，可得a＝2，b＝，c＝，
则该双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
焦点坐标为：（±，0）．
故答案为：y＝±x；（±，0）．
12．【解答】解：根据几何体的三视图，
复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为2的四棱锥体，
几何体的体积为：V＝．
几何体的表面积为：S＝＝8+4，故答案为：，8+4．
13．【解答】解：由题意可知：椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，由点A（﹣2，0），B （0，1），焦点在x轴上，
则a＝2，b＝1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，消去y，整理得2x2＝4，
则x1＝，x2＝﹣，y1＝，y2＝，
则|MN|＝＝．
故答案为：；．
14．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的准线方程是x＝﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M、N、K分别为垂足，
则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|＝|AF|+|BF|．
再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）＝|PK|＝，∴|AF|+|BF|＝9，
故答案为：．
15．【解答】解：由依题意可得点P的坐标满足，∴P（a，b），
∵＝4，∴（c﹣a，﹣b）＝4（x Q﹣a，y Q﹣b），⇒，．∴，解得2a＝c，
双曲线的离心率为e＝，
故答案为：2．
16．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，
以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ABO＝θ，C（x，y），则有：
x＝AB cosθ+BC sinθ
＝2cosθ+sinθ，
y＝BC cosθ
＝cosθ．
∴x2+y2＝4cos2θ+4sinθcosθ+1
＝2cos2θ+2sin2θ+3
＝2sin（2θ+）+3，
当sin（2θ+）＝1时，x2+y2最大，为2+3，
则C、O两点间的最大距离为
故答案为：．
17．【解答】解：∵|P A|+|PC1|＝m＞|AC1|＝，
∴m＞，
∵正方体的棱长为2，
∴正方体的面的对角线的长为：，
∵点P的个数为6，
∴b≤，
∵短半轴长b＝＝＜，
解得m＜2，
∴m的取值范围是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．【解答】解：（1）解方程组，得，
∴点P（﹣2，2），
∵直线3x﹣2y+4＝0的斜率为，
∴过P点的直线为y﹣2＝（x+2），
即3x﹣2y+10＝0．
（2）∵l1的斜率k1＝﹣，l2的斜率k2＝﹣2，
∴l1和l2不垂直，
∴符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，
∴斜率为或，
∴直线方程为4x﹣3y＝0或x﹣2y＝0．
19．【解答】（1）证明：在BE上取点H，使得BH＝CF，则四边形BCFH为矩形，∴FH∥BC，
又BC∥AD，∴FH∥AD，则四边形FDAH为平行四边形，故DF∥AH．
∵AH⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，
∴DF∥平面ABE；
（2）解：∵平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC，CD⊥BC，∴DC⊥平面BEFC，
过C作CM⊥EF交EF的延长线于M，连接DM，
则∠DMC为二面角D﹣EF﹣C的平面角，
在梯形BCEF中，由BC＝AD＝，EF＝2，可得∠FEB＝，
∴∠MFC＝，
又CF＝3，∴CM＝，
又CD＝AB＝1，∴DM＝．∴cos∠DMC＝＝．
20．【解答】证明：（1）取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM∥EA，FM＝EA＝1＝DC，
又EA∥DC，∴FM∥DC，且FM＝DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，
又AE∥CD，∴AE⊥CM，
∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB＝A，∴FD⊥平面ABE．
解：（2）连结EM，∵MC⊥平面ABE，
∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，
∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA∥DC，EA：AB：DC＝2：2：1，
∴CM＝＝，CM＝＝2，
sin∠CEM＝＝＝．
∴CE与平面EAB所成角的正弦值为．
21．【解答】解：（1）过点A（0，4），斜率为k的直线l的方程为：y＝kx+4即kx﹣y+4＝0
圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心C（2，0），半径r＝1
若l与圆C相切，
＝1
解得k1＝0，k2＝﹣
结合图形分析可知，当直线l与圆C相交时，
﹣＜k＜
（2）证明：设M（x1，y1）N（x2，y2），
则•＝（x1，y1﹣4）•（x2，y2﹣4）
＝x1x2+y1y2﹣4（y1+y2）+16…（*）
把直线l的方程代入圆C的方程并整理得
（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4＝0
∴x1+x2＝
x1x2＝
∴y1+y2＝k（x1+x2）+8＝
y1y2＝（kx1+4）（kx2+4）
＝k2x1x2+4k（x1+x2）+16
＝
代回（*）式并整理得
•＝＝4
∴•为定值
（3）若以MN为直径的圆过原点，
则OM⊥ON，
从而•＝0
即x1x2+y1y2＝0
由（2）可知，
x1x2+y1y2＝+
＝
此式，分子判别式小于0，即分子恒正
从而整个分式值恒正，
与•＝0矛盾
故以MN为直径的圆不会过原点．
22．【解答】解：（1）直线AB的方程为y＝（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得3x2﹣10x+3＝0，
∴x1+x2＝，
∴|AB|＝x1+x2+2＝．
（2）由已知条件得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），则CD为y＝﹣（x﹣1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，消y可得k2x﹣（2k2+4）+k2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝1，
∴|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝，
∴|AF|＝，
由，消y可得k2x﹣（4k2+2）+1＝0，
∴x3+x4＝2+4k2，x1x2＝1，
∴|CF|•|DF|＝（x3+1）（x4+1）＝x3x4+x3+x4+1＝4（k2﹣1），
∴|DF|＝
∴S＝|AF|•|CF|+|BF|•|DF|＝••|CF|+|BF|•|≥2
＝4≥4＝8，
当且仅当k＝±1时等号成立，
故S的最小值为8．。