2019高一数学必修1课件：242求函数零点近似解的一种计算方法——二分法-PPT文档资料
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第 2.
二4
章
函 数
与
函方
数程
2.4. 2
求函 数零 点近 似解 的一 种计 算方 法 ——
二分 法
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二
返回
返回
Hale Waihona Puke 返回返回返回
已知y＝f(x)的图象． 问题1：函数y＝f(x)有几个零点？ 提示：三个． 问题2：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？ 提示：在x1、x3的两侧函数值异号，在x2的两侧函数 值同号．
返回
(1)二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近 足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个 数值近似地表示零点．
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
返回
返回
返回
[例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分
法求图中函数零点的是
x4＝1.5＋12.562 5＝1.531 25 f(x4)≈0.059 1>0 [1.5,1.531 25]
由表中数据可知，区间[1.5,1.531 25]的左、右端点精 确到0.1所取的近似值都是1.5，所以1.5可作为所求函数 的一个正实数零点的近似值．
返回
[一点通] (1) 用二分法求函数的零点应遵循的原则: 首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的 零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度， 及时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似 值是否相同，以决定是停止还是继续计算．
[精解详析] 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间 [1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
返回
计算端点或中点
端点或中点横坐标
定区间
的函数值
a0＝1，b0＝2 x0＝1＋2 2＝1.5
f(1)＝－2，f(2)＝4 [1,2] f(x0)＝－0.125<0 [1.5,2]
x1＝1.52＋2＝1.75
f(x1)≈1.609 4>0 [1.5,1.75]
x2＝1.5＋2 1.75 ＝1.625
f(x2)＝0.666 0>0 [1.5,1.625]
返回
端点或中点横坐标
计算端点或中点 的函数值
定区间
x3＝1.5＋21.625＝1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0 [1.5,1.562 5]
()
[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义，判 断是否具备用二分法求零点的条件．
返回
[精解详析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两 侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分 法求零点；A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用 二分法求零点．
[答案] B
返回
[一点通] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依 据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变 号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅 对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
返回
1．二分法的原理 我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较， 按需要留下一个小区间的方法称为 二分．法它是通过不 断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
返回
2．二分法的步骤 第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与 f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中．
③如果 f(x0)·f(a0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令 a1＝x0，
b1＝b0.
返回
第三步：取区间[a1，b1]的中点，则中点对应的坐标为 x1＝a1
＋12(b1－a1)＝12(a1＋b1)，
计算 f(x1)和 f(a1)，并判断：
①如果 f(x1)＝0，则 x1 就是函数 f(x)的零点，计算终止；
返回
变号零点与不变号零点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并 且在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f(b)<0 ，则这个 函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)， 使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时 穿过，x轴则称这样 的零点为变号零点．如果没有 穿过x轴，则称这样的零点 为不变号零点.
返回
第二步：取区间[a0，b0]的中点，如图，则此中点对应的坐标
为 x0＝a0＋12(b0－a0)＝12(a0＋b0)．
计算 f(x0)和 f(a0)，并判断：
①如果 f(x0)＝0，则 x0 就是函数 f(x)的零点，计算终止；
②如果 f(x0)·f(a0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令 a1＝x0， a1＝x0；
②如果 f(x1)·f(a1)<0，则零点位于区间[a1，x1]上，令 a2＝a1，
b2＝x1；
③如果 f(x1)·f(a1)>0，则零点位于区间[x1，b1]上，令 a2＝x1，
b2＝b1.
……
返回
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零 点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度 所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝ f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零 点满足给定的精确度.
返回
1.函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数
为
()
A．0
B．1
C．4
D．3
解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，3个穿
过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点．
答案：D
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[例2] 用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零 点(精确到0.1)．
[思路点拨] 解答本题可先确定函数的一个零点所在的 大致区间，然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来 越小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时， 求解结束．
返回
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在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的 电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线 路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电 线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)
返回
问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试， 若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC的中点D， 再测CD和BD. 问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查 出故障? 提示：能．
二4
章
函 数
与
函方
数程
2.4. 2
求函 数零 点近 似解 的一 种计 算方 法 ——
二分 法
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二
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已知y＝f(x)的图象． 问题1：函数y＝f(x)有几个零点？ 提示：三个． 问题2：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？ 提示：在x1、x3的两侧函数值异号，在x2的两侧函数 值同号．
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(1)二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近 足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个 数值近似地表示零点．
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
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[例1] 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分
法求图中函数零点的是
x4＝1.5＋12.562 5＝1.531 25 f(x4)≈0.059 1>0 [1.5,1.531 25]
由表中数据可知，区间[1.5,1.531 25]的左、右端点精 确到0.1所取的近似值都是1.5，所以1.5可作为所求函数 的一个正实数零点的近似值．
返回
[一点通] (1) 用二分法求函数的零点应遵循的原则: 首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的 零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度， 及时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似 值是否相同，以决定是停止还是继续计算．
[精解详析] 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间 [1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
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计算端点或中点
端点或中点横坐标
定区间
的函数值
a0＝1，b0＝2 x0＝1＋2 2＝1.5
f(1)＝－2，f(2)＝4 [1,2] f(x0)＝－0.125<0 [1.5,2]
x1＝1.52＋2＝1.75
f(x1)≈1.609 4>0 [1.5,1.75]
x2＝1.5＋2 1.75 ＝1.625
f(x2)＝0.666 0>0 [1.5,1.625]
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端点或中点横坐标
计算端点或中点 的函数值
定区间
x3＝1.5＋21.625＝1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0 [1.5,1.562 5]
()
[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义，判 断是否具备用二分法求零点的条件．
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[精解详析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两 侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分 法求零点；A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用 二分法求零点．
[答案] B
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[一点通] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依 据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变 号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅 对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
返回
1．二分法的原理 我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较， 按需要留下一个小区间的方法称为 二分．法它是通过不 断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
返回
2．二分法的步骤 第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与 f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中．
③如果 f(x0)·f(a0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令 a1＝x0，
b1＝b0.
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第三步：取区间[a1，b1]的中点，则中点对应的坐标为 x1＝a1
＋12(b1－a1)＝12(a1＋b1)，
计算 f(x1)和 f(a1)，并判断：
①如果 f(x1)＝0，则 x1 就是函数 f(x)的零点，计算终止；
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变号零点与不变号零点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并 且在它的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f(b)<0 ，则这个 函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)， 使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时 穿过，x轴则称这样 的零点为变号零点．如果没有 穿过x轴，则称这样的零点 为不变号零点.
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第二步：取区间[a0，b0]的中点，如图，则此中点对应的坐标
为 x0＝a0＋12(b0－a0)＝12(a0＋b0)．
计算 f(x0)和 f(a0)，并判断：
①如果 f(x0)＝0，则 x0 就是函数 f(x)的零点，计算终止；
②如果 f(x0)·f(a0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令 a1＝x0， a1＝x0；
②如果 f(x1)·f(a1)<0，则零点位于区间[a1，x1]上，令 a2＝a1，
b2＝x1；
③如果 f(x1)·f(a1)>0，则零点位于区间[x1，b1]上，令 a2＝x1，
b2＝b1.
……
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继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零 点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度 所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝ f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零 点满足给定的精确度.
返回
1.函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数
为
()
A．0
B．1
C．4
D．3
解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，3个穿
过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点．
答案：D
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[例2] 用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零 点(精确到0.1)．
[思路点拨] 解答本题可先确定函数的一个零点所在的 大致区间，然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来 越小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时， 求解结束．
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在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的 电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线 路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电 线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)
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问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试， 若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC的中点D， 再测CD和BD. 问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查 出故障? 提示：能．