常用逻辑用语 课件

[例 6] 判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出命 题的否定，并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)p：所有的正方形都是矩形； (3)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋8≤0； (4)p：至少有一个实数 x0，使 x30＋1＝0.
[解析] (1)是全称命题，綈 p：∃x0∈R，x02－x0＋14<0.因 为对于任意的 x，x2－x＋14＝(x－12)2≥0，所以綈 p 为假命题．
[例 5] 已知直线 y＝2x 上一点 P 的横坐标为 a，有两个
点 A(－1,1)，B(3,3)，那么使向量P→A与P→B的夹角为钝角的一个
充分不必要条件是( )
A．－1<a<2
B．0<a<1
C．－
2 2 <a<
2 2
D．0<a<2
[答案] B
[解析] 由题设条件知 P(a,2a)， ∵P→A与P→B的夹角为钝角，∴P→A·P→B<0， ∵P→A＝(－1－a,1－2a)，P→B＝(3－a,3－2a)， ∴(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)<0， 解得 0<a<2， 又∵P→A与P→B方向相反时，a＝1， ∴0<a<1 或 1<a<2，故选 B.
(6)奇数的平方仍是奇数； (7)好人一生平安！ (8)解方程 3x＋1＝0； (9)方程 3x＋1＝0 只有一个解； (10)3x＋1＝0.
[解析] (1)(2)(3)(4)(6)(9)都是命题，其中(1)(4)(6)(9)为真命 题．
[点评] (5)是疑问句，(7)是感叹句，(8)是祈使句都不是 命题，(10)中由于 x 的值未给，故无法判断此句的真假，因而 不是命题．
(2)特称命题真假的判断 要判定一个特称命题为真，只要在限定集合 M 中，能找 到一个 x0，使 p(x0)成立即可，否则，这一特称命题为假．
一、命题及其真假判断 可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问 句、祈使句、感叹句都不是命题．
[例 1] 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假． (1)方程 x2－2x＝0 的根是自然数； (2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β 是任意角)； (3)垂直于同一个平面的两个平面平行； (4)函数 y＝12x＋1 是单调增函数； (5)非典型肺炎是怎样传染的？
1．四种命题之间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系 一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题 之间的相互关系如下图所示．
从上图可以发现：原命题、逆命题、否命题与逆否命题中， 有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．
(2)四种命题的真假性
一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：
(1)∀n∈N，若 n 是完全平方数，则 n∈N； (2)∀a，b∈R，如果 a＝b，则 a2＝ab； (3)如果 a，b 都是奇数，则 ab 必是奇数． (4)对于平面向量 a，b，c，若 a·b＝a·c，则 b＝c.
[解析] (1)逆命题：∀n∈N，若 n∈N，则 n 是完全平方 数．(真)
否命题：∀n∈N，若 n 不是完全平方数，则 n∉N.(真) 逆否命题：∀n∈N，若 n∉N，则 n 不是完全平方数．(真) (2)逆命题：∀a，b∈R，若 a2＝ab，则 a＝b.(假) 否命题：∀a，b∈R，若 a≠b，则 a2≠ab.(假) 逆否命题：∀a，b∈R，若 a2≠ab，则 a≠b.(真)
(2)等价法 由于互为逆否的两个命题是等价．当我们从正面对命题进 行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题进行判断，此种方 法称之为等价法． 也就是，在不易判断 p 是 q 的充分条件(p⇒q)时，可以判 断綈 q⇒綈 p; 在不易判断 p 是 q 的必要条件(q⇒p)时，可以判
断綈 p⇒綈 q.
(3)集合法 写出集合 A＝{x|p(x)}以及集合 B＝{x|q(x)}，利用集合之 间的包含关系进行判断． ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的 充分不必要条件． ②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件；若 B A，则 p 是 q 的 必要不充分条件． ③若 A＝B，则 p、q 互为充要条件． ④若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要件．
[例 2] 判断命题：“若 a＋b≠7，则 a≠3，且 b≠4”的 真假．
[解析] 其逆否命题为：“若 a＝3 或 b＝4，则 a＋b＝ 7”．显然这是一个假命题，
∴原命题为假．
[点评] 复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易 着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重 要的处理技巧．
3．命题的构成 (1)不含逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻 辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是一类新命题． (2)构成命题的形式： ①p 或 q；②p 且 q；③非 p.
4．含逻辑联结词的命题真假的判断
(1)对于 p∧q 形式的命题真假的判断，可以由下表确定：
p
q
p∧q
真真
真
真假
假
(2)是全称命题，綈 p：存在一个正方形，它不是矩形．正
方形是特殊的矩形，所以綈 p 为假命题．(3)是特称命题，綈 p： ∀x∈R，x2＋2x＋8>0.
因为对于任意的 x，x2＋2x＋8＝(x＋1)2＋7≥7>0，所以綈 p 为真命题．
(4)是特称命题，綈 p ∀x∈R， x3＋1≠0.因为 x＝－1 时，x3＋1＝0，所以綈 p 为假命题
二、四种命题的关系 1．注意：若 p，则 q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假 未知，而“p⇒q”是说“若 p，则 q”是一个真命题． 2．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题 的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假． 3．互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．
[例 3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判定其真假：
假真
假
假假
假
可用一句话概括为“全真才真，一假即假”．
(2)对于 p∨q 形式的命题真假的判断，可以由下表确定：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
可用一句话概括为“一真必真，全假才假”．
(3)命题綈 p 的真假可由下表确定：
命题 p 命题綈 p
真
假
假
真
可用一句话概括为“真值相反”．
5．全称命题、特称命题真假的判断 (1)全称命题真假的判断 要判定一个全称命题为真，必须对限定集合 M 中每个 x 验证 p(x)成立．一般用代数推理的方法加以证明；要判断一个 全称命题为假，只需举一个反例即可．
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
Байду номын сангаас
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
2.充分条件和必要条件的判断 充分条件和必要条件的判断一般有以下几种方法： (1)定义法 ①若 p⇒q，但 q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件； ②若 q⇒p，但 p⇒/ q，则 p 是 q 的必要不充分条件； ③若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； ④若 p⇒/ q，q⇒/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件
[例 4] 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：有些三角形是直角三角形； (2)p：方程 2x＋1＝0 有一负实根； (3)p：三角形的两边之和大于第三边； (4)p：存在实数 q<0，使方程 x2＋2x＋q＝0 无实根．
[解析] (1)綈 p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)
(2)綈 p：“方程 2x＋1＝0 无负实根”．(假)
(3)逆命题：若 ab 是奇数，则 a、b 都是奇数．(假) 否命题：若 ab 不全是奇数，则 ab 不是奇数．(假) 逆否命题：若 ab 不是奇数，则 a、b 不全是奇数．(真) (4)逆命题：对于平面向量 a、b、c，若 b＝c，则 a·b＝a·c.(真) 否命题：对于平面向量 a、b、c，若 a·b≠a·c，则 b≠c.(真) 逆否命题：对于平面向量 a、b、c，若 b≠c，则 a·b≠a·c.(假)
四、全称命题与特称命题 1．全称命题与特称命题 含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是 特称命题． 判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全 称命题为假命题，只需举出反例． 判断特命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为 假时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题的否定 这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要 以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是 特称命题，特称命题的否定是全称命题．
(3)綈 p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三 边”．(假)
(4)綈 p：“对任意实数 q<0，方程 x2＋2x＋q＝0 都有实数 根”．(真)
三、充要条件 1．若“p⇒q”，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条 件，即：有了 p 成立，则一定有 q 成立，即使 p 不成立，q 也 可能成立；q 不成立，则 p 一定不成立． 2．区分“p 是 q 的充要条件”，“p 的充要条件是 q”说 法的差异．