河南省平顶山市2017届高三第一次调研考试(图片)——数
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参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.
ABDBC ABB B D CC
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13); (14); (15)5; (16)3.
三、解答题:
(17) (本小题满分12分)
(Ⅰ) ∵,∴当n ≥2时,,
两式相减得.
………2分 又当n =1时,,∴.
∴ 数列是首项为2,公比为3的等比数列.
………4分 ∴ 数列的通项公式为.
………6分 (Ⅱ)由可得,∴
………8分 ∴33log (1)log 3n n n b S n =+==,∴.
………10分 ∴2(22)24622
n n n T n n n +=++++==+. ………12分 (18) (本小题满分12分)
(Ⅰ)由图可知,前四组学生的视力在4.8以下,第一组有0.15×0.2×100=3人,第二组有0.35×0.2×100=7人,第三组1.35×0.2×100=27人,第四组有24人. ………2分
所以视力在4.8以上的人数为1003727241000390100
----⨯=人. ………4分 (Ⅱ)22100(4118329)300 4.110 3.8415050732773
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关. ………8分
(Ⅲ)依题意,6人中年级名次在1~50名和951~1000名的分别有2人和4人,所以ξ可取0,1,2. ,,,
ξ的分布列为
………10分 ξ的数学期望2812()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………12分
(19) (本小题满分12分)
(Ⅰ) 如图,分别取PC ,PB 的中点E ,F ,连结DE ,EF ,AF ,由题意知,四边形ADEF 为矩形,∴AF ⊥EF 。
………2分
又∵为等边三角形,
∴AF ⊥PB .又∵,
∴AF ⊥平面BPC 。
………4分 又DE ∥AF 。
∴DE ⊥平面BPC ,又平面DPC ,
∴平面DPC ⊥平面BPC . ………5分 (Ⅱ)解法1:连结BE ,则BE ⊥CP ,由(Ⅰ)知,BE ⊥平面DPC ,过E 作EM ⊥PD ,垂足为M ,连结MB ,则∠BME 为二面角C -PD -B 的平面角.
………7分 由题意知,DP =DC =, P C=,∴,∴,
∴在中,。
………10分 又,
∴,
∴cos ME BME BM ∠=. ………12分 (Ⅱ)解法2:如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,,,,,.
,,. ………8分
设平面PDC 和面PBC 的法向量分别为,,
由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
,得,令得; 由00m PD m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
,得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩,令得.
………10分 ∴二面角C -PD -B
的余弦值为3m n
m n ⋅-==⋅. ………12分
(20) (本小题满分12分)
(Ⅰ)设Q (x ,y ) ,则PQ 的中点,
∵E (1,0),∴,.
………2分 在⊙E 中,∵DE ⊥DQ ,∴,.
∴点Q 的轨迹方程. ………4分
(Ⅱ)设222111222(,2),(,2),(,2)Q t t Q t t Q t t ,
则直线的方程为1212()220t t y x t t +--=.
………6分 由共线得,从而(,否则不存在),
由共线得,从而(,否则不存在),
………8分
∴,, ∴直线的方程化为2(4)2(1)(4)0t y x t x y -++++=, ………10分
令40
1040
y x x y -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,得.
∴直线恒过定点. ………12分
(21) (本小题满分12分)
(Ⅰ).
若,则当时,,;当时,,. ………2分 若,则当时,,;当时,,.
所以,在上单调递减,在上单调递增. ………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的a ,在上单调递减,在上单调递增,故在处取得最小值. ………6分 所以对于任意,的充要条件是:
即, ① ………8分 设函数,则.
当时,;当时,.
故在上单调递减,在上单调递增.
又,,故当时,.………10分
当时,,,即①式成立.
当时,由的单调性,,即;
当时,,即.
综上,a 的取值范围是. ………12分
(22) (本小题满分10分)
(Ⅰ)∵,∴,
∴曲线C 的普通方程为, ………2分 ∴曲线C
的参数方程为x y α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数). ………5分
(Ⅱ)方法一:设斜率为的直线与l 的夹角为γ(定值),M 到l 的距离为d , 则 ,所以d 取最小值时,|MQ |最小. ………7分
令)M αα,则
|2sin()6|
d πα++=,当时,最小. ………9分
∴点M 的坐标为. ………10分 (Ⅱ)方法二:设斜率为的直线与l 的夹角为γ(定值),M 到l 的距离为d , 则 ,所以d 取最小值时,|MQ |最小. ………7分 所以,M 是过圆心垂直于l 的直线与圆(靠近直线l 端)的交点.
………9分
由22(2,x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,得或(舍去).
∴点M 的坐标为. ………10分
(23) (本小题满分10分)
(Ⅰ)原不等式可化为:
或或 ………3分
解得:,
所以解集为:. ………5分
(Ⅱ)因为|2||1||2(1)|3x x x x -++≥--+=,
………7分 所以 ,当时等号成立.
所以 . 又222222
(log )3(log )2log 301log 3a a a a a -≤⇔--≤⇔-≤≤, 故.
………10分。