概率论和数理统计期末考试试题及答案-(2)

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
(1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P =
(2)某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为
(A) 0.05 （B ） 0.06 (C) 0.07 （D ） 0.08
(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则
(A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ
(C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >
(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，
则对任意实数a 成立的是
（A ）⎰-=-a
dx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0
)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F
(5)二维随机变量(X ,Y )服从二维正态分布，则X +Y 与X -Y 不相关的充要条件为
（A ）EY EX = (B)2
222][][EY EY EX EX -=-
(C)22EY EX = (D) 2222][][EY EY EX EX +=+
二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)
(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P 0.1
(2) 设随机变量X 有密度⎩
⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f ,则使)()(a X P a X P <=>的常数a = 421
(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P 0.35
(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从)51,1(N ，如果随机变量X -aY +2满足条件 ])2[()2(2
+-=+-aY X E aY X D ，
则a = 20 _.
(5) 已知X ～),(p n B ,且8)(=X E ,8.4)(=X D , 则n = 3
三、解答题 （共65分）
1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？
解：A 为事件“生产的产品是次品”，B 1为事件“产品是甲厂生产的”，B 2为事件“产品是乙厂生产的”，B 3为事件“产品是丙厂生产的”
易见的一个划分是Ω321,,B B B
(1) 由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3
131=⨯+⨯+⨯===
∑∑==i i i i i B A P B P AB P A P
(2) 由Bayes 公式有：
2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<--= ，　其它040,20),6(),(y x y x k y x f 求：（1）常数k （2）)4(≤+Y X P
23
80345.0%4%35)()()()()(31222=⨯==∑=i i
i B P B A P B P B A P A B P
解：（1）由于1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，所以1)6(4020=--⎰⎰dy y x k dx ，可得241=k （2）9
8)16621(241)6(2412204020=+-=--⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx x
3、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,
0;0,)(y y e y f y Y 求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.
解： ⎰∞-=x
dt t f x F )()( 当t x t e dt e x F x 2
121)(,0==<⎰∞-------------------------------------------------------------------------------------3分 当t x t t e dt e dt e x F x --∞--=+=≥⎰⎰2
11][21)(,000
4、（8分）设随机变量X 具有概率密度函数
⎩⎨⎧<<=其他，,0;40,
)(x x x f X
求：随机变量1-=X e Y 的概率密度函数.
解：1-=X e Y 的分布函数).(y F Y
⎰+∞-=+≤=≤-=≤=)1ln()())1ln(()1()()(y X X Y dx x f y X P y e P y Y P y F
=⎪⎩⎪⎨⎧≤--<≤+<.1,1;10),
1(ln 161;0,0442y e e y y y 于是Y 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<++==.
,0;10,)1(8)1ln()()(4其他e y y y y F dy d y f Y Y
5、（8分）设随机变量X 的概率密度为：
∞<<∞-=-x e x f x 21)(，
求:X 的分布函数．
解：由卷积公式得⎰+∞
∞--=dx x z x f z f Z ),()( ， 又因为X 与Y 相互独立，所以⎰
+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()( 当10<<z 时，;1)()()(0
)(z z x z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰ 当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞
∞-dx x z f x f z f Y X Z 当1≥z 时，);1()()()(1
0)(-==-=---+∞
∞-⎰⎰e e dx e dx x z f x f z f z x z Y X Z 所以 ;1)1(10100)()()(⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<-≤=-=--∞+∞-⎰z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z
6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障
可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？
解：（1）因为)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立，所以1,1++=+-=Y X V Y X U 都服从正态分布，
11)1(=+-=+-=E EY EX Y X E EU
2)1(=+=+-=DY DX Y X D DU
所以 )2,1(~N U ，所以 42
41
)(u U e u f -=π
同理 11)1(=++=++=E EY EX Y X E EV 2)1(=+=++=DY DX Y X D DU
所以 )2,1(~N V ，所以 42
41
)(u V e u f -=π
（2）)12()1)(1(22++-=+++-=X Y X E Y X Y X E EUV
12))(()(122
222+++-+=++-=EX EY DY EX DX EX EY EX 1=
7、 所以0=-=
DV DU EUEV EUV UV ρ
7、(10分)设)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立1,1+-=++=Y X V Y X U ，
求:（1）分别求U,V 的概率密度函数；
（2）U,V 的相关系数UV ρ； 、
（3）解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5Λ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-k k k X P k k
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,
2;2,
0;1,5;0,10)(X X X X X g Y
)
(216.5057.02410.05328.010}]
5{}4{}3{[2}
2{0}1{5}0{10}
{)()(50
万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k。