2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.3含解析

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析　以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，
中低档难度．
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式
表示区域Ax ＋By ＋C >0
不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0
直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.线性规划中的基本概念名称
意义约束条件
由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件
由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数
关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数
关于x ，y 的一次解析式可行解
满足线性约束条件的解(x ，y )可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
概念方法微思考
1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．
2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)
(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)
(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)
(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)
(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
答案　(－7,24)
解析　点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.
3．[P77T2]不等式组Error!所表示的平面区域的面积是________．
答案　25
解析　直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是
一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝×5×1012
＝25.
4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －3y 的最小值为________．
答案　－8
解析　画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.
题组三　易错自纠
5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案　6
解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．
由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－x ＋.32z 2
作直线l 0：y ＝－x ，平移直线l 0，当直线y ＝－x ＋过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×03232z 2
＝6.
6．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案　－1
解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.
题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1　不含参数的平面区域问题
例1 在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积是________．答案　3
解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，)为顶点的三角形及3内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，
由图知该平面区域的面积为×2×＝.12
33
命题点2　含参数的平面区域问题
例2 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．
答案　(0,1]∪[43，＋∞)
解析　作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．
思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
跟踪训练1 (1)不等式组Error!表示的平面区域的形状为________三角形．
答案　等腰直角
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．
(2)已知由不等式组Error!确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．
答案　－1
解析　作出不等式组Error!
所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.
由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，
当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
由于6<7，由此可得k <0.由Error!
可得D ，(2k －1，4k －2k －1)
依题意应有×2×＝1，12|2k －1|
解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．
题型二　求目标函数的最值问题
命题点1　求线性目标函数的最值
例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件Error!则z＝x＋y的最大值为________．
答案　9
解析　由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，
由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．
由Error!得点C(5,4)，
∴z max＝5＋4＝9.
(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件Error!则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．
答案　[1,7]
解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．
命题点2　求非线性目标函数的最值
例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足Error!
则k ＝的最大值为________．y x ＋1
答案　1
解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)：
因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB
的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝＝1.10＋1
(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件Error!则x 2＋y 2的取值范围是______．答案　[14425，25]
解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．
由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝2＝，(1232＋42)
14425所以x 2＋y 2的取值范围为.[14425，25]
命题点3　求参数值或取值范围
例5 已知实数x ，y 满足Error!如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____.
答案　5
解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
联立直线方程Error!可得交点坐标为A ，(m ＋13，2m －13)
由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，
所以
－＝－1，解得m ＝5.m ＋132m －13思维升华 常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .
(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.
(3)斜率型：形如z ＝.y －b x －a
跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为________．答案　10
解析　先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，
将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值．
当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大，
又A(3，－4)，故z的最大值为10.
(2)已知x，y满足Error!且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．
答案　2
解析　由约束条件Error!作出可行域(图略)，
z＝3x－y的最大值为2，
联立Error!解得A(2,4)，
可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，
解得m＝2.
(3)已知实数x，y满足不等式组Error!则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．
答案　13
解析　画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，
易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.
1．设点(x，y)满足约束条件Error!且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．
答案　12
解析　画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，
由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．
2．设不等式Error!表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案　[2,5]
解析　由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2,5]．
3．在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为，则t 的值为______．
3
2答案　1
解析　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由Error!
解得交点B (t ，t ＋1)．
在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)．
由平面区域的面积S ＝
＝，(1＋t ＋1)×t 2
3
2得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．
4．已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案　1
解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．
若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋.
1m 1m z
m
若m <0，则－>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；
1
m 若m >0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB
1
m 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1.
1
m 综上可知，m ＝1.
5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．答案　
143
解析　约束条件Error!对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：
当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组Error!得A ，此时x ＋2y ＝＋＝
(43，53)
4310
3
.14
3
6．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值是________．
1
3答案　3
解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，
1
3并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值为2＋×3＝
131
33.
7．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形且其面积等于，则z ＝x －y 的最小值为
431
2________．答案　－2
解析　作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，
由Error!得A (1－m,1＋m )，
同理B ，C (2，0)，D (－2m,0)，
(23－43m ，23＋2
3
m )
S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝·DC ·(|y A |－|y B |)＝＝，
12(1＋m )234
3解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在，则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ，C (2,0)；
(－23，4
3
)
由图象，得当直线z ＝x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.
1
28．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝
2x ＋y 的最大值为________．
(12
)
答案　
18
解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
要求目标函数z ＝
2x ＋y 的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，
(12
)
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝
2x ＋y 的最大值为
3＝.(12
)
(12)
18
9．若x ，y 满足约束条件Error!则
的最小值为________．y ＋1
x ＋2
答案　
2
3
解析　画出x ，y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)．
的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率，y ＋1
x ＋2
当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小，
此时k min ＝
＝.1＋11＋22
3
10．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：
维生素A(单位/kg)
维生素B(单位/kg)
甲35乙
4
2
分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg.答案　30
解析　设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴Error!
作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!
得Error!即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，
由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.
11．变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；
y
x
(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．
解　由约束条件Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．
由Error!解得A .(1，
225
)
由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．(1)因为z ＝＝，
y x y －0
x －0
所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝.
2
5
(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝＝8，(－3－5)2＋(2－2)2故z 的最大值为64.
12．若x ，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；
121
2
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．
平移初始直线x －y ＋＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.
121
2所以z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
a
2解得－4<a <2.
故a 的取值范围是(－4,2)．
13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足Error!且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________．答案　4
解析　画出Error!表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)，若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方，
直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．
当直线过点(0,2)时，k －1有最小值＝3，k 的最小值为4.
2＋1
114．设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的最大值为________．
|y
x ＋3
|
答案　1
解析　由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，
则目标函数z ＝的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值|y
x ＋3
|
的取值范围，
由可行域可知直线|k AB |＝
＝1，|k AC |＝
＝，故最大值为1.
|
－1－0－2－(－3)|
|
0－1－3－0|
1
3
15．记不等式组Error!的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，7]
解析　若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，即求z ＝3x ＋y 的最小值，
作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：
当y＝－3x＋z经过A(1,4)点时，z最小，
此时z min＝3×1＋4＝7，
∴a≤7.
16．已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，求z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值．
解　因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，
所以函数y＝f(x)是奇函数．
因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，
所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，
所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，
因为函数y＝f(x)是增函数，
所以x2－2x≤y2＋2y，
所以x2－y2－2(x＋y)≤0，
所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.
所以(x＋y)(x－y－2)≤0，
所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，
所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，
所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，
观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小，
因为d ＝
＝，|3－2|12＋1222
所以d 2＝，所以z min ＝＋1＝.
12123
2。