新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 函数的表示方法

第二课时函数的表示方法
课标要求 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
素养要求 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
一、函数的表示方法
1.思考(1)若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，可以用y＝300x来表示.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离50100200300500
氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01
问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？提示问题(1)、(2)、(3)分别是用解析法、图像法、列表法表示函数的.
2.填空(1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.
(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.
(3)图像法
①图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ②作函数图像的方法
ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 a.平移：y ＝f (x )
错误!
y ＝f (x ±a )(左“＋”右“－”)； y ＝f (x )错误!
y ＝f (x )±b (上“＋”下“－”). b.对称：y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )；
y ＝f (x )――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )； y ＝f (x )
――→关于原点对称y ＝－f (－x ).
求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把
x 轴下方图像翻折到上方
y ＝|f (x )|；
y ＝f (x )―――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，
并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像
y ＝f (|x |).
温馨提醒 (1)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.
(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.
(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性. 3.做一做 (1)已知函数f (x )由下表给出，则f (11)＝________.
x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20
y
2
3
4
5
(2)已知函数f (x )的图像如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f (f (0))＝________.
答案 (1)4 (2)0 二、分段函数
1.思考 根据实数绝对值的含义将函数y ＝|x ＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么形式？
提示 根据绝对值含义可知，y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，
－x －1，x <－1，变形后的函数是一个
分段函数.
2.填空 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.
温馨提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，要注意分段函数的定义域、值域和图像的理解：
(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集.
(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像.
3.做一做 已知函数f (x )＝
⎩⎨
⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，
x －1，x >1，则f (2)＝________. 答案 1
题型一 三种表示法的应用
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来. 解 (1)列表法：
x /台 1 2 3 4 5 y /元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x /台 6 7 8 9 10 y /元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：
(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 思维升华 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但
在实际操作中，仍以解析法为主.
训练1 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N ＋)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝
⎛⎭⎪⎫10－x 42
. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋25
4， x ∈{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ②列表法： 一段铁丝长x (cm) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正 方形的 面积之和S (cm 2)
418
174
298
134
258
134
298
174
418
③图像法：
题型二 求函数解析式
角度1 换元法(配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式： (1)已知f (x ＋2)＝2x ＋3，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ). 解 (1)f (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴f (x )＝2x －1.
(2)法一(换元法) 令t ＝x ＋1，t ≥1， 则x ＝(t －1)2，
所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).
法二(配凑法) f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1). 角度2 用待定系数法求函数解析式
例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝16x －25，求f (x )； (2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). 解 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，
则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，
∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－5，或⎩⎨⎧k ＝－4，b ＝253，
∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2－2x －1.
角度3 消元法(或解方程组法)求函数解析式
例4 已知定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝x 2，求f (x )的解析式.
解 ∵对任意的x ∈(－1，1)有－x ∈(－1，1)， 由2f (x )－f (－x )＝x 2，① 得2f (－x )－f (x )＝(－x )2，② ①×2＋②消去f (－x )得3f (x )＝3x 2， ∴f (x )＝x 2(－1<x <1).
思维升华 1.已知f [g (x )]＝h (x )求f (x )，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t ＝g (x )解出x ，代入h (x )中得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f [g (x )]的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
3.待定系数法求函数解析式：
已知所要求的f (x )的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
训练2 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；
(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).
解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ， ∴x ＝t －1，
∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，
∴f (x )＝3x －1.
法二(配凑法) f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2
＋2，
令t ＝x －1x ，
∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.
(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝x ，
∴用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋2f (x )＝1x ，
消去f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，
∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x
3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题 例5 已知函数f (x )
＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，
3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，
求f (－5)，f (1)， f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－5
2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＋5＝12. 迁移 (1)例5条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值. (2)例5的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.
解 (1)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去； ②当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3， 即a ＝－2
3∈(－2，2)，符合题意；
③当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上，当f (a )＝3
时，a 的值为－2
3或2.
(2)①当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； ②当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； ③当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上，x 的取值范围是{x |x <2}. 思维升华 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
训练3 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f [f （x ＋5）]，x ≤10，
则f (5)的值是( ) A.24 B.21 C.18
D.16
(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，
x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，
若f (a )<－3，则a 的取值范围为(
)
A.(－3，＋∞)
B.[－3，＋∞)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3]
答案 (1)A (2)C
解析 (1)f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21， ∴f (5)＝f (21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解；
当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.
[课堂小结]
1.函数三种表示法的优缺点
2.用三种方法表示函数时的注意点：
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；
(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”.
3.理解分段函数要注意的几个方面：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数；
(2)处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
一、基础达标
1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1f （2）的值为( )
A.15
16 B.－2716 C.89 D.18
答案 A
解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， 则f (2)＝22＋2－2＝4，∴
1f （2）
＝14.
当x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝1－116＝15
16. 2.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12的值为( )
A.4
B.1
4
C.16
D.1
16
答案 C
解析 根据题意令1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝16.
3.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，
x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图像是( )
答案 A
解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1，0)，D 错误；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0，1)，C 错误；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1，2)，B 错误.故选A.
4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图像是如图所示的曲线
ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f [g (2)]＝( )
x 1 2 3 f (x )
2
3
A.3
B.2
C.1
D.0
答案 B
解析 由题图知g (2)＝1， ∴f [g (2)]＝f (1)＝2.故选B.
5.(多选)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 可以取的值为( )
A.－3
B.3
C.－1
D.1
答案 CD 解析 ∵f (－1)＝－（－1）＝1，
∴f (a )＝1.
①当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1. ②当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1. 综上可知a ＝1或－1.
6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x >0，
π，x ＝0，
0，x <0，
则f {f [f (－2 022)]}＝________.
答案 π2＋1
解析 f (－2 022)＝0，
∴f [f (－2 022)]＝f (0)＝π， ∴f {f [f (－2 022)]}＝f (π)＝π2＋1.
7.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，
2x ，x >2，若f (x 0)＝8，
则x 0＝______. 答案 －6或4
解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 2
0＋2＝8， 即x 20＝6，
∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).
当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4.
8.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：
则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________. 答案 1 2
解析 由表中对应值，知f [g (1)]＝f (3)＝1.
当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2.
9.求下列函数的解析式：
(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x ). (3)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1
x 2，求f (x ).
(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x ).
解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，
(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2
－2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2). (4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝2x ＋12(x ≠0)，①
∴用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋f (x )＝2x ＋12，②
①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋1
2，
∴f (x )＝43x －23x ＋1
6(x ≠0).
10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－1
2x ，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.
(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，f (4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.
(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为 (－1，2]∪{3}.
二、能力提升
11.(多选)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0），
x 2＋1，x ∈[0，1]，
则下列选项中正确的是( )
答案 ACD
解析 作出函数f (x )的图像如图：
A.将f (x )的图像向右平移一个单位即可得到f (x －1)的图像，则A 正确；
B.∵f (x )>0，∴|f (x )|＝f (x )，图像不变，则B 错误；
C.y ＝f (－x )与y ＝f (x )关于y 轴对称，则C 正确；
D.f (|x |)的图像是把函数f (x )的图像保留y 轴右边的，左边的去掉，再把右边的做关于y 轴的对称，则D 正确. 故选ACD.
12.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，
a ，a <
b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________.
答案 (－∞，1]
解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，
x ，x <1，
画出函数f (x )的图像得值域是(－∞，1].
13.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域.
解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2， 其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，
x >0，
即0<x <a
2.
所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，a 2.
三、创新拓展
14.已知函数f (x )由表给出，则f (f (2))＝________，满足f (f (x ))>1的x 的值是________.
x 1 2 3 f (x )
2
3
1
答案11或3
解析由题中的表格可知：
当x＝1时，f(1)＝2，则f(f(1))＝f(2)＝3>1，
所以x＝1满足题意；
当x＝2时，f(2)＝3，
则f(f(2))＝f(3)＝1＝1，
所以x＝2不满足题意；
当x＝3时，f(3)＝1，
则f(f(3))＝f(1)＝2>1，
所以x＝3满足题意.
综上，f(f(2))＝1，满足f(f(x))>1的x的值为1或3.。