高考数学总复习 64数列的综合问题与数列的应用课件 新人教A版

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．非等腰的直角三角形
解析：tanA＝4－7－－34＝2，tanB＝
9 1 3
1
3
＝3，
即在△ABC 中，tanA＝2>0，tanB＝3>0，
tan(A＋B)＝1t－antAa＋nAt·atannBB＝－1，∴A＋B＝34π.
∴C＝π4，△ABC 为锐角三角形，故选 B.
答案：C
(理)(2011·广东促元中学期中)已知{an}为等差数列，{bn}
为正项等比数列，公比 q≠1，若 a1＝b1，a11＝b11，则( )
A．a6＝b6
B．a6>b6
C．a6<b6
D．以上都有可能
解析：a6＝a1＋2 a11，b6＝ b1b11＝ a1a11， 由 q≠1 得，a1≠a11. 故 a6＝a1＋2 a11> a1a11＝b6.
则 n 的最大值为( )
A．2001
B．2000
C．1999
D．1998
分析：公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的 项数就越多(即 n 越大)，故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 n 取最大 值，可依据公差大于10100列不等式解．
解析：由椭圆方程知，a＝2，c＝1， ∵|PnF|max＝a＋c＝3，|PnF|min＝a－c＝1， d＝ann－－1a1＝3n－ －11＞10100，∵n∈N，∴nmax＝2000，故选 B.
(2)由于 r1＝1，q＝3，故 rn＝3n－1，从而rnn＝n·31－n， 记 Sn＝r11＋r22＋…＋rnn， 则有 Sn＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n·31－n，② S3n＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n－1)·31－n＋n·3－n.③ ②－③得，
23Sn＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n－n·3－n ＝1－23－n－n·3－n＝32－ห้องสมุดไป่ตู้n＋32)·3－n，
∴2sinαcosα＝2sinα·cos2α，即 cosα＝cos2α， ∴2cos2α－1＝cosα.∴(2cosα＋1)(cosα－1)＝0. ∵cosα≠1，∴cosα＝－12，∴α＝23π. 答案：23π
(理)在△ABC 中，tanA 是以－4 为第 3 项，4 为第 7 项的 等差数列的公差，tanB 是以13为第 3 项，9 为第 6 项的等比数 列的公比，则这个三角形是( )
解析：(1)在 ann＋nan－1＝0，n∈N*中， 令 n＝1，得 a1＋a1－1＝0，∴a1＝12. 令 n＝2，得 a22＋2a2－1＝0，∴a2＝－1± 2. ∵an>0，∴a2＝ 2－1.
(2)∵ann＋nan－1＝0，所以 an 是方程 xn＋nx－1＝0 的一个 根，
设 f(x)＝xn＋nx－1，则 f(0)＝－1<0，f(1)＝n>0. ∴方程 f(x)＝0 在(0,1)内至少有一个根， ∵f ′(x)＝nxn－1＋n>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴方程 f(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一的根，且根在(0,1)内， ∴an∈(0,1)，即 0<an<1.
1n)＝1－1n<1.
综上可得，不等式 a21＋a22＋…＋a2n<1 成立．
(文)(2012·沈阳市二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 a2、a4 是方程 x2－x－2＝0 的两个实数根，则 S5 的值为( )
疑难误区 点拨警示 1．注意区分等差数列模型与等比数列模型，通项与前 n 项和，尤其是存款利息问题． 2．注意理清分期付款，森林砍伐，细胞分裂等一类模型 的内部关系．
思想方法技巧
如何求解数列应用题 (1)审题：仔细读题，理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于下列哪类数列模型：等差数列模型，等 比数列模型，递推数列模型，分期付款模型等． ②明确题目中的主要已知事项(即条件)，用数列中的什么 量来表达． ③明确所求结论是什么，是求 an，还是 Sn？还是求 n?
(2)建模：抓住数量关系，联想相关数学知识和数学方法， 恰当引入参变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系 用数学式子表达，将实际问题抽象为数学问题，将已知与所 求联系起来，写出满足题意的数学关系式．
(3)求解：运用相关数列知识解答该数列问题． (4)还原：将解答结果还原为实际问题，注意结论是否合 乎实际．
∴bn＝x2n＋1－x2n－1＝(x2n＋1＋x2n)－(x2n＋x2n－1) ＝221n－2－221n－3＝－221n－2，故bbn＋n 1＝14， ∴{bn}是以－1 为首项，14为公比的等比数列．
(文)椭圆x42＋y32＝1 上有 n 个不同的点 P1，P2，…，Pn，
椭圆的右焦点为 F，数列{|PnF|}是公差大于10100的等差数列，
答案：D
(文)(2011·济南模拟)已知数列{an}是首项为 a1＝4 的等比
数列，且 4a1，a5，－2a3 成等差数列，则其公比 q 等于( )
A．1
B．－1
C．1 或－1
D. 2
解析：依题意有 2a5＝4a1－2a3， 又 a1＝4，整理得 q4＋q2－2＝0，解得 q2＝1(q2＝－2 舍 去)，所以 q＝1 或－1.
(3)当 n＝1 时，a21＝14<1，原式成立．
当 n≥2 时，∵ann＋nan－1＝0 且 0<an<1， ∴an＝1－n ann<1n，
∴
a 21
＋
a
2 2
＋…
＋
a
2 n
<(
1 2
)2
＋
(
1 2
)2
＋
(
1 3
)2
＋
…
＋
(
1 n
)2<
1 4
＋
1 4
＋
2×1 3＋3×1 4＋…＋n－11n＝12＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(n－1 1－
答案：B
图表与数列 [例 2] (文)在如下表格中，每格填上一个数字后，使每 一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则 a＋b＋c 的值 为( )
1
2
0.5 1
a
b
c
A.1
B．2
C．3
9 D.8
解析：按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成 等比数列，把表填好后得 a＝12，b＝38，c＝14，则 a＋b＋c＝98. ∴选 D.
答案：4054187
黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成 若干个图案，则第 n 个图案中有白色地面砖________块．
分析：观察各图案中白色地面砖的变化规律可以发现， 后一个图案总比前一个图案多 4 块白色地面砖．
解析：设第 n 个图案中白色地面砖有 an 块， 则 a1＝6，a2＝10，a3＝14，易知 an－an－1＝4(n≥2)， ∴{an}是首项为 6，公差为 4 的等差数列， ∴an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：B
数列与函数、方程、不等式的综合
[例 5] 已知正项数列{an}满足 ann＋nan－1＝0(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：0<an<1； (3)求证：a21＋a22＋…＋a2n<1.
分析：(1)考查方程的思想，在所给关系式中令 n＝1,2 解 方程即可；(2)考查函数与方程的思想，根据所给条件式，可 构造函数 f(x)＝xn＋nx－1，则 an 为 f(x)的零点，因此证明 0<an<1，即证 f(x)在(0,1)内有零点；(3)欲证 a21＋a22＋…＋a2n<1， 注意到 an＝1－n ann∈(0,1)，从而 an<1n，因此可考虑用放缩法证 明．
分析：依题意可知，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn， yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)……都在抛物线上，且直线 PnPn＋1 的斜率 为21n，据此可建立{xn}的一个递推关系式，再依据此关系式证 明bbn＋n 1为常数即可．
解析：∵Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)在抛物线上， ∴xn2＝4yn，① x2n＋1＝4yn＋1，② 又∵直线 PnPn＋1 的斜率为21n，即yxnn＋ ＋11－ －yxnn＝21n， 将①②代入上式得， 14·xxn2n＋＋11－ －xxnn2＝21n，即 xn＋1＋xn＝2n1－2，
考点典例讲练
等差、等比数列的综合问题
[例 1] (2011·天津高考)已知{an}为等差数列，其公差为
－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，n
∈N*，则 S10 的值为( )
A．－110
B．－90
C．90
D．110
分析：由 a7 是 a3 与 a9 的等比中项及等差数列{an}的公差 为－2，可得关于 a1 的方程，求出 a1，再由求和公式可求 S10.
解析：因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，所以 a72＝a3a9，又 因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得 a1＝20， 通 项 公 式 为 an ＝ 20 ＋ (n － 1)( － 2) ＝ 22 － 2n ， 所 以 S10 ＝ 10a12＋a10＝5×(20＋2)＝110，故选择 D.
第六章 数 列
第六章
第四节 数列的综合问题与数列的应用
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：等差、等比数列的综合及应用． 难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题． 夯实基础 稳固根基 现实生活中涉及到存贷利息、企业股金、产品利润、人 口增长、产量增加、工作效率、图形面积、曲线长度等实际 问题，常常与数列有关，需考虑用数列的知识来加以解决．
答案：B
(理)设 C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一系列圆，它
们的圆心都在
x
轴的正半轴上，且都与直线
y＝
3 3x
相切，对
每一个正整数 n，圆 Cn 都与圆 Cn＋1 相互外切，以 rn 表示 Cn
的半径，已知数列{rn}为递增数列． (1)证明：数列{rn}为等比数列；
(2)设 r1＝1，求数列{rnn}的前 n 项和．
答案：4n＋2
数列与解析几何知识的综合
[例 3] 已知抛物线 x2＝4y，过原点作斜率为 1 的直线交 抛物线于第一象限内一点 P1，又过点 P1 作斜率为12的直线交 抛物线于点 P2，再过 P2 作斜率为14的直线交抛物线于点 P3，……，如此继续下去，一般地，过点 Pn 作斜率为21n的直 线交抛物线于点 Pn＋1，设点 Pn(xn，yn)，bn＝x2n＋1－x2n－1，求 证：数列{bn}是等比数列．
答案：B
(2011·辽宁联考)已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13
＝4π，则 tan(a2＋a12)等于( )
A. 3
B．－ 3
C．± 3
D．－
3 3
解析：由 a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，得 a7＝43π. ∴a2＋a12＝2a7＝83π， 故 tan(a2＋a12)＝tan83π＝tan23π＝－ 3.
3
则 Sn＝94－12(n＋32)·31－n.
数列与三角函数知识的综合
[ 例 4] ( 文 )(2011·苏 北 九 校 联 考 ) 已 知 α ∈ 0，π2 ∪ π2，π，且 sinα，sin2α，sin4α 成等比数列，则 α 的值为 ________．
解 析 ： 由 题 意 ， sin22α ＝ sinα·sin4α ， ∴ sin22α ＝ 2sinα·sin2α·cos2α，即 sin2α＝2sinα·cos2α，
答案：D
(理)已知等差数列{an}中，a3＝5，a6＝11，将此等差数列 的各项排成如图所示的三角形数阵：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …………… 则此数阵中第 2014 行从左到右的第 3 个数是________．
解析：设{an}的公差为 d，则 a6－a3＝3d＝6，∴d＝2， ∴a1＝1，∴an＝2n－1， ∵第 2014 行前共有 1＋2＋3＋…＋2013＝2027091 个数， ∴第 2014 行从左向右第 3 个数为 a2027094＝2×2027094－ 1＝4054187.
解析：(1)将直线
y＝
3 3x
的倾斜角记为
θ，
则有 tanθ＝ 33，sinθ＝12.
设 Cn 的圆心为(λn,0)(n∈N*)，则由题意知λrnn＝sinθ＝12，得 λn＝2rn，同理 λn＋1＝2rn＋1，
依题意知 λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1，∴rn＋1＝λn＋rn，① 将 λn＝2rn 代入①，解得 rn＋1＝3rn. 故数列{rn}是以 3 为公比的等比数列．