山东省聊城三中2013届高三上学期第一次模块检测数学(文)试题

聊城三中2013高三年级第一次质量检测
数学试题（文）
一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1. 函数()x
x x f 2log 1
2-=的定义域为 （ ）
A.()+∞,0
B.()+∞,1
C.()1,0
D.()()+∞,11,0U
2. 命题“2
,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为 （ ） A.2
,240x x x ∀∈-+≥R B.2
,240x x x ∃∈-+>R C.2
,240x x x ∀∉-+≤R D. 2
,240x x x ∃∉-+>R
3. 下列函数中，既是偶函数又在()+∞,0上单调递增的函数是 ( ) A.3
x y =
B. 1+=x y
C.12
+-=x y
D.x
y -=2
4. 已知:p 一元二次方程)0(0122
≠=++a x ax 有一个正根和一个负根，则p 的一个充分
不必要条件是（ ）
A. 0<a
B. 0>a
C. 1-<a
D.1<a 5. 若角α的终边上有一点),4(a P -，且25
12
cos sin -
=⋅αα，则a 的值为（ ） A. 3 B.3±
C.316或3
D. 3
16或3- 6 .下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )
Ａ.1
1
2
132y x y
x y x y x -=
==
=①,②,③,④ Ｂ．1
32
12y x y x y x y
x -====①,②,③,④
Ｃ.1
2
3
1
2y x y x y x y
x -====①,②,③,④ Ｄ．1
1
2132y x y
x y
x y x -=
=
==①,②,③,④
7．已知,316sin =⎪⎭⎫
⎝⎛-απ则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos 的值是( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79
8．如果数列{}n a
的通项公式n a =
）
A.22(1)n a n n =++ B ． 32n n a =⨯ C.31n a n =+ D.23n
n a =⨯
9.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n s ，若14611,6a a a =-+=-，则当n s 取最小值时，n 等于（ ）
A. 6 B ．7 C. 8 D.9 10. 已知函数()R x x x x f ∈-=,cos sin 3，若(),1≥x f 则x 的取值范围为( )
A ⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤≤+
Z k k x k x ,3πππ
π B ．⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤≤+
Z k k x k x ,232πππ
π
C ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
≤≤+
Z k k x k x ,656
πππ
π． D ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262π
πππ 11.已知数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且
481
,3s s =则816
s s 等于 （ ） A.
18 B ．13 C. 19 D. 3
10
12.已知函数()y f x =的周期为
2,当[0,2]x ∈时,2
()(1)
f x x =-,如果
()()g x f x =
-5l o g 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上 13.曲线13
++=x x y 在点()3,1处的切线方程是__________________.
14.已知,20π
α<
<且233tan -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πα，则=α___________．
15.若函数()13
--=ax x x f 在R 上单调递增，实数a 的取值范围为___________.
16.函数()x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =，则称()x f 为单函数．例如，函数())(12R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数()2
x x f =（x ∈R ）是单函数；
②若()x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则()()21x f x f ≠； ③若f ：A→B 为单函数，则对于任意B b ∈，它至多有一个原象； ④函数()x f 在某区间上具有单调性，则()x f 一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
三．解答题:本大题共5小题，满分56分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，A ， B ，C 的对边分别为c b a ,,，且c
a b
C B +-
=2c o s c o s ，求：（1）角B 的大小；
（2）若13=b ，,4=+c a 求ABC ∆.
18．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角βα,，
他们的终边分别于单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为.5
52,102 （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.
19（本小题满分12分）某商店预备在一个月内购入每张价值20元的书桌共36台,每批购入x 台(x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月共用去运费和保管费52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用)(x f ;
(2)能否恰当的安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
20.（本小题满分12分）若向量m ),sin 3,(sin x x ωω=n =())0(sin ,cos >ωωωx x ,在函数
()=x f m · n +t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为
4π,且当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,0πx 时, )(x f 的最大值为3.
(1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 求函数)(x f 的单调递增区间.
21.（本小题满分12分）已知函数(),ln x ax x f +=其中a 为常数,设e 为自然对数的底数. (1)当1-=a 时,求)(x f 的最大值;
(2)若)(x f 在区间(]e ,0上的最大值为-3,求a 的值; (3)当1-=a 时,推断方程()2
1
ln +=x x x f 是否有实数解.
聊城三中高三年级质量检测数学试题（文）答案
一．
选择题1-5 DBBCC 6-10 BABAB 11-12 DD
二.填空题13.014=--y x 14.4
π
15.0≤a 16.①③ 三.解答题
17.解：,2cos cos c a b C B +-= ()()
,2222
22222c a b
ac c b a ab b c a +-=-+-+∴ 整理得,2
2
2
ac b c a -=-+,2
1
22cos 222-=-=-+=
∴ac ac ac b c a B 从而
120=B
（2）由余弦定理得：132
2=++ac c a 又162,42
2
=++∴=+ac c a c a 由①②得.3=ac .4
33120sin 321sin 21=⨯⨯==
∴︒∆B ac S ABC 18.由三角函数定义得：5
5
2cos ,102cos ==
βα，βα, 为锐角，2
1
tan ,7tan ,55sin ,1027sin ==∴==
∴βαβα. (1)().32
17121
7tan tan 1tan tan tan -=⨯-+
=
-+=+βαβαβα (2)3421121
2tan 1tan 22tan 2
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯
=-=βββ, ()13
47134
72tan tan 12tan tan 2tan -=⨯-+
=
-+=+∴βαβαβα. βα, 为锐角,2320πβα<+<∴,4
32π
βα=+∴.
19.解:(1)设题中比例系数为k ,若每批购入x 台,则共需分
x
36
批,每批价值x 20元,由题意
()x k x x f 20436
⋅+⋅=
,由4
=x 时,
52
=y 得
5
18016==
k ()()
*∈≤<+=∴N x x x x
x f ,3604144
(2)由(1)知()()
*∈≤<+=∴N x x x x x f ,3604144
()()
2
222236
441444144x
x x x x x f -=+-=+-='∴ 令()0>'x f ,即0362>-x 解得6>x 或6-<x
令()0<'x f ,即0362
<-x 解得66<<-x .360≤<x
()x f ∴在()6,0上单调递减,在()36,6上单调递增. ∴当6=x 时,()x f 取得最小值,()()48646
144
6min =⨯+=
=f x f . 故需每批购入6张书桌,可使资金够用.
20.解:由题意得
()=x f m ﹒n +t x x x t ++=ωωω2sin 3cos sin
t x t x x ++⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=++-=2332sin 232cos 232sin 21πωωω (1)∵对称中心到对称轴的最小距离为
4
π
，()x f ∴的最小周期π=T 1,22=∴=∴
ωπωπ，()t x x f ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=∴2332sin π 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时，()[]
,3,,23,2332sin t t x f x +∈∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
-π
(),0,33,3max =∴=+∴=t t x f ()2332sin +
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=∴πx x f . （2）()Z k k x k ∈+
≤-
≤-
2
23
22
2π
ππ
π
π，解得：12
512
πππ
π+
≤≤-k x k ， 所以函数()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
125,12πππ
π. 21.解:(1)当1-=a 时,()x x x f ln +-=, ()x
x x x f -=+-='111. 当10<<x 时,()0>'x f ;当1>x 时,()0<'x f .
()x f ∴在()1,0上是增函数,在()+∞,1上是减函数.
()()11max -==∴f x f .
(2)
()(],,11,,0,1⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈∈+
='e x e x x a x f ①若e
a 1
-
≥,则()0≥'x f ,从而()x 在(]e .0上是增函数, ()()01max ≥+==∴ae e f x f .不合题意.
②若e a 1-<,则由(),0>'x f 得;.01>+x a 即a
x 10-<<, 由()0<x f ,得:01<+x a ,即e x a
≤<-1
.
从而()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-
a 1,0上是增函数,在⎪⎭
⎫
⎝⎛-e a ,1上是减函数. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴a a f x f 1ln 11max ,令31ln 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a ,则21ln -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-a ,
21
e a
=-
∴,即2e a -=. 22,1
e a e
e -=∴-<- 为所求.
③由①知当1-=a 时,()()11max -==f x f ,()1≥∴x f . 又令()()2
ln 1,21ln x
x
x g x x x g -='+=
,令()0='x g ,得e x =. 当e x <<0时,()0>'x g ,()x g 在()e ,0上单调递增; 当e x >时,()0<'x g , ()x g 在()+∞,e 上单调递减.
()()().112
1
1max <∴<+=
=∴x g e e g x g ()()x g x f >∴, 即()21ln +>x x x f ,∴方程()21
ln +=x x x f 没有实数解.。