高中数学人教A版必修三课时习题：第3章 概率 3.3 习题课含答案

习题课 几何概型的应用
课时目标
巩固几何概型的有关知识．能解决随机数与几何概型的问题．
课时作业
一、选择题
1．关于几何概型和古典概型的区别，正确的说法是( )
A ．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个
B ．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个
C ．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等
D ．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等
答案：B
解析：几何概型和古典概型的相同点是每个基本事件出现的可能性相等，区别是几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个，故选B. 2.
如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区
域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2
3，则阴影区域的面积为( )
A.43
B.83
C.2
3 D ．无法计算 答案：B
解析：由几何概率公式知，S 阴S 矩
＝23，所以S 阴＝23S 矩＝8
3.
3．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是( )
A.13
B.14
C.15
D.16 答案：D
解析：射线OA 落在直角坐标系的每个位置可能性是一样的，这是与角度有关的几何概型问题．因为周角是360°，∠xOT ＝60°，故
令“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A ，其概率为P (A )＝60°360°＝1
6.故选D.
4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率是( )
A.14
B.12
C.34
D.23 答案：C 解析：如图所示在边AB 上任取一点P ，事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||BA |＞14”．因为△ABC 与△PBC 是等高的，即
P (△PBC 的面积大于S 4)＝|BP ||BA |＝3
4.
5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s ，黄灯亮的时间为5 s ，绿灯亮的时间为40 s ，当你到达路口时，事件A 为“看见绿灯”，事件B 为“看见黄灯”，事件C 为“看见的不是绿灯”的概率大小关系为( )
A ．P (A )＞P (
B )＞P (
C ) B ．P (A )＞P (C )＞P (B ) C ．P (C )＞P (B )＞P (A )
D ．P (C )＞P (A )＞P (B ) 答案：B
解析：在75 s 内的每一时刻到达路口的机会是相同的，属于几何概型．
则P (A )＝绿灯亮的时间全部时间＝4075＝815，
P (B )＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.
P (C )＝不是绿灯亮的时间全部时间
＝1－绿灯亮的时间全部时间
＝1－815＝715.
6．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的
空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a
2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )
A ．1－π8 B.π
4
C ．1－π
4 D ．与a 的值有关联
答案：C
解析：图中阴影部分的面积为：a 2
－π×(a 2)2
，
则它击中阴影部分的概率是：
P ＝a 2
－π(a 2)
2
a 2＝1－π
4. 二、填空题
7．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
答案：13
解析：因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，
区域h 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB
∠DAB
＝
30°90°
＝13. 8．一个路口的信号灯，红灯的时间间隔为30秒，绿灯的时间间
隔为40秒，如果你到达路口时，遇到红灯的概率为2
5，那么黄灯亮的时间间隔为________秒．
答案：5
解析：设黄灯亮的时间间隔为t 秒．P {遇见红灯}＝25＝
30
30＋40＋t 解得t ＝5.
9．在半径为1的圆上随机取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是________．
答案：13
解析：在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取
另一点．如图所示．
B 为定点，△BCD 是圆内接等边三角形，则当BE 的弦端点E 取
在劣弧»CD
上时，有|BE |＞|BC |.设事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，全部试验结果构成的区域长度是圆周长，事件A 构成的
区域长度是劣弧»CD ，又劣弧»CD 的长是圆周长的13，则P (A )＝13.
三、解答题
10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的发环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：把射中靶面看成一次试验，其结果可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点，有无限个，属于几何概型．设射中黄心为事件A ，
全部结果构成的区域面积是1
4×π×1222cm 2，
事件A 的结果构成的区域面积是1
4×π×12.22cm 2，
则P (A )＝14
×π×12.2214×π×1222
＝0.01，
即射中黄心的概率为0.01.
11.
如图在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .
求AM ＜AC 的概率．
解：可先找到AM ＝AC 时∠ACM 的度数，再找出相应的区域角，利用几何概型的概率公式求解．
这是几何概型问题且射线CM 在∠ACB 内部 在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°
2＝67.5°. 设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ， 与线段AB 交于点M ，AM ∠AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°， 事件A 的区域角度为67.5°，
∴P (A )＝67.590＝3
4.
能力提升
12.
利用计算机随机模拟方法计算y ＝x 2
与y ＝4所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：
第一步：利用计算机产生两个在0～1区间内的均匀随机数a ，b ；
第二步：对随机数a ，b 实施变换：⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝4a －2，
b 1＝4b ，得到点A (a 1，
b 1)；
第三步：判断点A (a 1，b 1)的坐标是否满足b 1<a 2
1；
第四步：累计所产生的点A 的个数m 及满足b 1<a 21的点A 的个数n ；
第五步：判断m 是否小于M (一个设定的数)．若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法．
若设定的M ＝100，且输出的n ＝34，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为________(保留小数点后两位数字)．
答案：10.56。