拉氏变换
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例10
f (t ) = t
t →0
s→∞
1 F ( s) = 2 s
f (0) = lim s F ( s ) = lim s
s→∞
s→∞
1 =0 2 s
复习拉普拉斯变换有关内容(10)
(7)终值定理
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →∞ s →0
(终值确实存在时) 终值确实存在时)
[
]
∫
∞
s A= s 令
0
e f (t ) e
At
ts
( s A ) t dt dt = ∫0 f ( t ) e
∞
= ∫ f (t ) e
0
∞
s t
dt = F (s ) = F ( s A) = 右
例7 例8 例9
1 1 = = = L 1(t ) e s s → sa s a L e at s+3 s - 3t = L e cos 5t = 2 2 (s + 3)2 + 52 s + 5 s →s+3
0
∞
f (t )
F (s )
1 1s
1s 3 1s
证明: 证明:由微分定理
∞
∫
∞
0
df ( t ) s t e dt = s F ( s ) f (0) dt
df ( t ) s t lim ∫ e dt = lim[s F ( s ) f (0)] s→0 0 s→0 dt t ∞ ∞ df ( t ) st 左=∫ lim e dt = ∫0 df (t ) = lim ∫0 df ( t ) t →∞ 0 dt s →0 = lim[ f ( t ) f (0)] = 右 = lim[s F ( s ) f (0)] s→0 t →∞ 1 1 1 f (∞ ) = lim s = 例11 F ( s ) = s→0 s( s + a )( s + b) s(s + a )(s + b ) ab ω ω 例12 F (s ) = 2 =0 f (∞ ) = sin ωt t → ∞ ≠ lim s 2 2 2 s→0 s +ω s +ω
ω
[sin′ ω t ]
复习拉普拉斯变换有关内容(6)
[∫ f (t )dt ] = 1 F (s ) + 1 f ( ) (0) (3)积分定理 L s s 1 零初始条件下有: 零初始条件下有: L[∫ f (t )dt ] = F (s ) s
-1
例4 求 L[t]=? =?
t = ∫ 1(t )dt 1 1 1 1 解. L [t ] = L ∫ 1 (t )dt = + t t = 0 = 2 s s s s t2 t2 = ∫ t dt 例5 求 L = ? 2 2 1 1 1 t2 1 = 3 解. L t 2 2 = L t dt = 2 + ∫ s s s 2 t=0 s
L[ f ( t τ 0 )] = e τ 0 s F ( s )
∫
∞
0
∞
f ( t τ 0 ) e t s dt
t τ 0 = τ
令
=∫
例6
τ 0
f (τ ) e
s (τ +τ 0 )
dτ = e
τ 0 s
∫τ
∞
f (τ ) e τ s dτ = 右
0
0 t < 0 f (t ) = 1 0 < t < a , 求F(s) 0 t > a
(第 6 讲)
第二章 控制系统的数学模型 复习 拉普拉斯变换有关知识(2) 拉普拉斯变换有关知识(2)
课程回顾(1) 回顾
2 拉氏变换的定义 常见函数L变换 3 常见函数 变换
(1)单位脉冲 (2)单位阶跃 (3)单位斜坡 (4)单位加速度 (5)指数函数 (6)正弦函数 (7)余弦函数
F ( s ) = ∫ f ( t ) e ts dt
复习拉普拉斯变换有关知识 (1)
复习拉普拉斯变换有关内容(1)
1 复数有关概念
(1)复数,复函数 复数, 复数
s = σ + jω
例1 F ( s ) = s + 2 = σ + 2 + j ω (2)模,相角 模
复函数 F ( s ) = Fx ( s ) + F y ( s )
F (s ) = Fx2 + F y2
2
y (t ) = L1 [Y ( s )]
课程小结 (1)
2 拉氏变换的定义 常见函数L变换 3 常见函数 变换
(1)单位脉冲 (2)单位阶跃 (3)单位斜坡 (4)单位加速度 (5)指数函数 (6)正弦函数 (7)余弦函数
F ( s ) = ∫ f ( t ) e ts dt
0
∞
f (t )
1 1 1 1 2 jω ω = 2 = 2 2 j s jω s + jω 2 j s + ω 2 s + ω 2
复习拉普拉斯变换有关内容(4)
4 拉氏变换的几个重要定理
(1)线性性质 (2)微分定理
∞
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
∞
[ f ( ) (t )] = s F (s ) s
n n
0
n- 1
f (0 ) s n- 2 f ′(0 ) sf (n- 2 ) (0 ) f (n 1) (0 )
n (n ) 0初条件下有: L f (t ) = s F (s ) 初条件下有:
[
( )
]
复习拉普拉斯变换有关内容(5)
Hale Waihona Puke 解.1 1 e as as 1 L [ f ( t ) ] = L [1( t ) 1( t a ) ] = e = s s s
f ( t ) = 1( t ) 1( t a )
复习拉普拉斯变换有关内容(8)
(5)复位移定理 证明: 证明:左 =
L e At f ( t ) = F ( s A)
复习拉普拉斯变换有关内容(11)
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 y′( t ) + a2 y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换 变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) Y ( s ) = s
L[ f ′(t )] = s F (s ) f (0 )
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
1 1 L ∫ f (t )dt = F (s ) + f ( -1) (0 ) s s
[
]
L[ f ( t τ 0 )] = e τ s F ( s )
(6)初值定理
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →0 s →∞
证明: 证明:由微分定理
∞
∫
∞
0
df ( t ) s t e dt = s F ( s ) f (0) dt
df ( t ) s t lim ∫ e dt = lim[s F ( s ) f (0)] s→∞ 0 s→∞ dt ∞ df ( t ) lim[s F ( s ) f (0 + )] = 0 左= ∫ lim e s t dt = 0 s→∞ 0+ s→∞ dt f (0 + ) = lim f ( t ) = lim s F ( s )
f ( t ) = e at
st ∞
L[ f ( t )] = ∫ e e dt = ∫ e ( s a )t dt =
0 0
1 (s a)t e sa
[
]
∞ 0
=
1 1 (01) = sa sa
复习拉普拉斯变换有关内容(3)
(3)正弦函数
∞
t<0 0 f(t) = sin ωt t ≥ 0
F (s )
1 1s
δ (t )
1( t ) t t2 2
e at sin ω t cos ω t
1 ( s + a)
1s 3 1s
2
ω (s2 + ω 2 ) s (s2 + ω 2 )
课程小结 (2)
4 L变换重要定理 变换重要定理
(1)线性性质 (2)微分定理 (3)积分定理 (4)实位移定理 (5)复位移定理 (6)初值定理 (7)终值定理
进一步有: 进一步有: 1 1 1 1 L ∫∫ ∫ f (t )dt n = n F (s ) + n f (1 ) (0) + n1 f ( 2 ) (0) + + f ( n ) (0) s s s s n个
[
]
[
]
[
]
复习拉普拉斯变换有关内容(7)
(4)实位移定理 证明: 证明:左 =
2s2 5s + 1 (1) F(s)= s(s2 + 1 )
s (2) F(s)= 2 s + 8s + 17 3s2 + 2s + 8 (3) F(s)= s(s+ 2 )(s2 + 2s + 4)
s+2 (4) F(s)= s(s+ 3 )(s+ 1 )2
附加: 附加: 已知 F(s) ,求 f(t)
∞
L[ f(t)] = ∫ sin ω t e st dt = ∫
0 0
1 jω t e e jωt e st dt 2j
[
]
=∫
0
∞
1 -(s-jω)t e e (s + jω)t dt 2j
∞ 0
[
]
1 1 (s jω)t = s jω e 2j =
1 (s + jω)t ∞ e 0 s + jω
Fy Fx
相角 ∠F (s ) = arctan (3)复数的共轭 (4)解析
F ( s ) = Fx jF y
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在,则F(s)在 s 点解析. 在 点的各阶导数都存在, 在 点解析.
复习拉普拉斯变换有关内容(2)
2 拉氏变换的定义
L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫ f ( t ) e dt
[
[ ]
[
at
]
]
π L e 2 t cos ( 5t ) = Le 2 t cos 5(t π ) 3 15 π π (s+ 2) - 15 s s+2 s 15 =e = e 2 2 s + 5 s →s+ 2 (s + 2)2 + 52
复习拉普拉斯变换有关内容(9)
控制工程导论
(第 6 讲)
第二章 物理系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 引言 元件和系统运动方程的建立 运动方程的线性化 控制系统的元件 用拉普拉斯变换方法解微分方程 传递函数 结构图等效变换及梅逊公式 反馈控制系统的传递函数
控制工程导论
ts 0 ∞
F ( s) 像 f ( t ) 原像
3 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 (1)阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ 1 st ∞ 1 (0 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 e st dt = e 0 = s s s 0
[ ]
(2)指数函数
∞ at
例2 求 解.
L[δ (t )] = ?
1 = s δ 0 = 1 0 = 1 s
δ (t ) = 1′(t )
L[δ(t )] = L[1′(t )]
( )
例3 求 解.
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = s 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
L e At f ( t ) = F ( s A)
[
]
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →0 s→∞
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →∞ s→0
控制工程导论
本次课程作业(5) )
附加作业: 附加作业:
2 — 3
(1) ( 2)
( 3)
1 已知 f(t),求 F(s) ,
f (t ) = 1 e f ( t ) = 0.03(1 cos 2t )
f ( t ) = sin( 5t +
1 t T
π
3s 2 + 2s + 8 2 F ( s) = f(0),f(∞). ,求f(0),f(∞). 2 s( s + 2)( s + 2 s + 4)
3
)
控制工程导论
本次课程作业(6) )
L[ f ′(t )] = s F (s ) f (0 )
∞
-st st st st 左 证明: 证明: = ∫ f ′(t ) e dt = ∫ e df (t ) = e f (t ) 0 ∫ f (t ) de ∞
[
]
∞
0
0
0
= [0 -f (0 )] + s ∫ f (t ) e st dt = sF (s ) f (0 ) = 右
f (t ) = t
t →0
s→∞
1 F ( s) = 2 s
f (0) = lim s F ( s ) = lim s
s→∞
s→∞
1 =0 2 s
复习拉普拉斯变换有关内容(10)
(7)终值定理
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →∞ s →0
(终值确实存在时) 终值确实存在时)
[
]
∫
∞
s A= s 令
0
e f (t ) e
At
ts
( s A ) t dt dt = ∫0 f ( t ) e
∞
= ∫ f (t ) e
0
∞
s t
dt = F (s ) = F ( s A) = 右
例7 例8 例9
1 1 = = = L 1(t ) e s s → sa s a L e at s+3 s - 3t = L e cos 5t = 2 2 (s + 3)2 + 52 s + 5 s →s+3
0
∞
f (t )
F (s )
1 1s
1s 3 1s
证明: 证明:由微分定理
∞
∫
∞
0
df ( t ) s t e dt = s F ( s ) f (0) dt
df ( t ) s t lim ∫ e dt = lim[s F ( s ) f (0)] s→0 0 s→0 dt t ∞ ∞ df ( t ) st 左=∫ lim e dt = ∫0 df (t ) = lim ∫0 df ( t ) t →∞ 0 dt s →0 = lim[ f ( t ) f (0)] = 右 = lim[s F ( s ) f (0)] s→0 t →∞ 1 1 1 f (∞ ) = lim s = 例11 F ( s ) = s→0 s( s + a )( s + b) s(s + a )(s + b ) ab ω ω 例12 F (s ) = 2 =0 f (∞ ) = sin ωt t → ∞ ≠ lim s 2 2 2 s→0 s +ω s +ω
ω
[sin′ ω t ]
复习拉普拉斯变换有关内容(6)
[∫ f (t )dt ] = 1 F (s ) + 1 f ( ) (0) (3)积分定理 L s s 1 零初始条件下有: 零初始条件下有: L[∫ f (t )dt ] = F (s ) s
-1
例4 求 L[t]=? =?
t = ∫ 1(t )dt 1 1 1 1 解. L [t ] = L ∫ 1 (t )dt = + t t = 0 = 2 s s s s t2 t2 = ∫ t dt 例5 求 L = ? 2 2 1 1 1 t2 1 = 3 解. L t 2 2 = L t dt = 2 + ∫ s s s 2 t=0 s
L[ f ( t τ 0 )] = e τ 0 s F ( s )
∫
∞
0
∞
f ( t τ 0 ) e t s dt
t τ 0 = τ
令
=∫
例6
τ 0
f (τ ) e
s (τ +τ 0 )
dτ = e
τ 0 s
∫τ
∞
f (τ ) e τ s dτ = 右
0
0 t < 0 f (t ) = 1 0 < t < a , 求F(s) 0 t > a
(第 6 讲)
第二章 控制系统的数学模型 复习 拉普拉斯变换有关知识(2) 拉普拉斯变换有关知识(2)
课程回顾(1) 回顾
2 拉氏变换的定义 常见函数L变换 3 常见函数 变换
(1)单位脉冲 (2)单位阶跃 (3)单位斜坡 (4)单位加速度 (5)指数函数 (6)正弦函数 (7)余弦函数
F ( s ) = ∫ f ( t ) e ts dt
复习拉普拉斯变换有关知识 (1)
复习拉普拉斯变换有关内容(1)
1 复数有关概念
(1)复数,复函数 复数, 复数
s = σ + jω
例1 F ( s ) = s + 2 = σ + 2 + j ω (2)模,相角 模
复函数 F ( s ) = Fx ( s ) + F y ( s )
F (s ) = Fx2 + F y2
2
y (t ) = L1 [Y ( s )]
课程小结 (1)
2 拉氏变换的定义 常见函数L变换 3 常见函数 变换
(1)单位脉冲 (2)单位阶跃 (3)单位斜坡 (4)单位加速度 (5)指数函数 (6)正弦函数 (7)余弦函数
F ( s ) = ∫ f ( t ) e ts dt
0
∞
f (t )
1 1 1 1 2 jω ω = 2 = 2 2 j s jω s + jω 2 j s + ω 2 s + ω 2
复习拉普拉斯变换有关内容(4)
4 拉氏变换的几个重要定理
(1)线性性质 (2)微分定理
∞
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
∞
[ f ( ) (t )] = s F (s ) s
n n
0
n- 1
f (0 ) s n- 2 f ′(0 ) sf (n- 2 ) (0 ) f (n 1) (0 )
n (n ) 0初条件下有: L f (t ) = s F (s ) 初条件下有:
[
( )
]
复习拉普拉斯变换有关内容(5)
Hale Waihona Puke 解.1 1 e as as 1 L [ f ( t ) ] = L [1( t ) 1( t a ) ] = e = s s s
f ( t ) = 1( t ) 1( t a )
复习拉普拉斯变换有关内容(8)
(5)复位移定理 证明: 证明:左 =
L e At f ( t ) = F ( s A)
复习拉普拉斯变换有关内容(11)
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 y′( t ) + a2 y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换 变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) Y ( s ) = s
L[ f ′(t )] = s F (s ) f (0 )
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
1 1 L ∫ f (t )dt = F (s ) + f ( -1) (0 ) s s
[
]
L[ f ( t τ 0 )] = e τ s F ( s )
(6)初值定理
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →0 s →∞
证明: 证明:由微分定理
∞
∫
∞
0
df ( t ) s t e dt = s F ( s ) f (0) dt
df ( t ) s t lim ∫ e dt = lim[s F ( s ) f (0)] s→∞ 0 s→∞ dt ∞ df ( t ) lim[s F ( s ) f (0 + )] = 0 左= ∫ lim e s t dt = 0 s→∞ 0+ s→∞ dt f (0 + ) = lim f ( t ) = lim s F ( s )
f ( t ) = e at
st ∞
L[ f ( t )] = ∫ e e dt = ∫ e ( s a )t dt =
0 0
1 (s a)t e sa
[
]
∞ 0
=
1 1 (01) = sa sa
复习拉普拉斯变换有关内容(3)
(3)正弦函数
∞
t<0 0 f(t) = sin ωt t ≥ 0
F (s )
1 1s
δ (t )
1( t ) t t2 2
e at sin ω t cos ω t
1 ( s + a)
1s 3 1s
2
ω (s2 + ω 2 ) s (s2 + ω 2 )
课程小结 (2)
4 L变换重要定理 变换重要定理
(1)线性性质 (2)微分定理 (3)积分定理 (4)实位移定理 (5)复位移定理 (6)初值定理 (7)终值定理
进一步有: 进一步有: 1 1 1 1 L ∫∫ ∫ f (t )dt n = n F (s ) + n f (1 ) (0) + n1 f ( 2 ) (0) + + f ( n ) (0) s s s s n个
[
]
[
]
[
]
复习拉普拉斯变换有关内容(7)
(4)实位移定理 证明: 证明:左 =
2s2 5s + 1 (1) F(s)= s(s2 + 1 )
s (2) F(s)= 2 s + 8s + 17 3s2 + 2s + 8 (3) F(s)= s(s+ 2 )(s2 + 2s + 4)
s+2 (4) F(s)= s(s+ 3 )(s+ 1 )2
附加: 附加: 已知 F(s) ,求 f(t)
∞
L[ f(t)] = ∫ sin ω t e st dt = ∫
0 0
1 jω t e e jωt e st dt 2j
[
]
=∫
0
∞
1 -(s-jω)t e e (s + jω)t dt 2j
∞ 0
[
]
1 1 (s jω)t = s jω e 2j =
1 (s + jω)t ∞ e 0 s + jω
Fy Fx
相角 ∠F (s ) = arctan (3)复数的共轭 (4)解析
F ( s ) = Fx jF y
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在,则F(s)在 s 点解析. 在 点的各阶导数都存在, 在 点解析.
复习拉普拉斯变换有关内容(2)
2 拉氏变换的定义
L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫ f ( t ) e dt
[
[ ]
[
at
]
]
π L e 2 t cos ( 5t ) = Le 2 t cos 5(t π ) 3 15 π π (s+ 2) - 15 s s+2 s 15 =e = e 2 2 s + 5 s →s+ 2 (s + 2)2 + 52
复习拉普拉斯变换有关内容(9)
控制工程导论
(第 6 讲)
第二章 物理系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 引言 元件和系统运动方程的建立 运动方程的线性化 控制系统的元件 用拉普拉斯变换方法解微分方程 传递函数 结构图等效变换及梅逊公式 反馈控制系统的传递函数
控制工程导论
ts 0 ∞
F ( s) 像 f ( t ) 原像
3 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 (1)阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ 1 st ∞ 1 (0 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 e st dt = e 0 = s s s 0
[ ]
(2)指数函数
∞ at
例2 求 解.
L[δ (t )] = ?
1 = s δ 0 = 1 0 = 1 s
δ (t ) = 1′(t )
L[δ(t )] = L[1′(t )]
( )
例3 求 解.
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = s 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
L e At f ( t ) = F ( s A)
[
]
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →0 s→∞
lim f ( t ) = lim s F ( s )
t →∞ s→0
控制工程导论
本次课程作业(5) )
附加作业: 附加作业:
2 — 3
(1) ( 2)
( 3)
1 已知 f(t),求 F(s) ,
f (t ) = 1 e f ( t ) = 0.03(1 cos 2t )
f ( t ) = sin( 5t +
1 t T
π
3s 2 + 2s + 8 2 F ( s) = f(0),f(∞). ,求f(0),f(∞). 2 s( s + 2)( s + 2 s + 4)
3
)
控制工程导论
本次课程作业(6) )
L[ f ′(t )] = s F (s ) f (0 )
∞
-st st st st 左 证明: 证明: = ∫ f ′(t ) e dt = ∫ e df (t ) = e f (t ) 0 ∫ f (t ) de ∞
[
]
∞
0
0
0
= [0 -f (0 )] + s ∫ f (t ) e st dt = sF (s ) f (0 ) = 右