湖北省黄冈市高三数学上学期9月月考试题 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年湖北省黄冈市高三（上）9月月考数学试卷（文科）
一、选择题
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）
2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
3．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
4．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A．B．C．D．
5．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（）
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知b＞0，直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x﹣b2y﹣1=O互相垂直，则ab的最小值等于（）A．1 B．2 C．D．
7．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．
8．已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体
积为（）
A．B．C．2 D．
10．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x2）＞的解集为（）
A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）
11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．2
12．设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A．f p=f B．f p=f C．f p=f D．f p=f
二、填空题
13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是．
14．设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．
16．设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题
17．（10分）（2015秋•黄冈月考）设命题p：∀x∈，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）（2012•武昌区模拟）已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的最小值．
19．（12分）（2015春•建瓯市校级期末）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n∈N*．（1）求证：数列{﹣1}为等比数列；
（2）记S n=++…+，若S n＜100，求满足条件的最大正整数n的值．
20．（12分）（2014•启东市模拟）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．
（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．
21．（12分）（2015秋•黄冈月考）在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（I）若向量与夹角为锐角，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区城（含边界）内，=m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．
22．（12分）（2013秋•天津期中）已知f（x）=x3+ax2+bx+4，g（x）=mx3﹣6mx2+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．（12分）（2013秋•天津期中）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e 是自然常数，a∈R
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）求证++…+＜．
2015-2016学年湖北省黄冈市高三（上）9月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：函数的性质及应用；集合．
分析：由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出∁R P和
（∁R P）∩Q．
解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，
由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}
所以∁R P={x|x＜﹣1或x＞2}，
且（∁R P）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，
故选：C．
点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．
2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
考点：全称命题；复合命题的真假．
专题：常规题型．
分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解答：解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，
令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，
依据复合命题真假性的判断法则，
得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，
进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．
故答案为C．
点评：本题考查复合命题的真假，属于基础题．
3．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0，
∴a＞b＞c．
故选：C．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
4．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A．B．C．D．
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的前n项和公式求解．
解答：解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
5．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（）
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：综合题．
分析：对于①，利用平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，即可下结论；
对于②，因为垂直于同一平面的两直线平行，可得其为真命题；
对于③，④，只要能找到反例即可说明其为假命题．
解答：解：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故①为假命题；
因为垂直于同一平面的两直线平行，故②为真命题；
在③中n可以平行于β，也可以在β内，故③为假命题；
④中，m、n也可以不互相垂直，故④为假命题．
故真命题只有一个．
故选 A．
点评：本题考查空间中直线和直线的位置关系以及直线和平面的位置关系，是对课本基础知识的考查，属于基础题，但也是易错题．
6．已知b＞0，直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x﹣b2y﹣1=O互相垂直，则ab的最小值等于（）A．1 B．2 C．D．
考点：两条直线垂直的判定．
专题：计算题．
分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab
的最小值．
解答：解：b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x一b2y一1=O 互相垂直，
所以（b2+1）﹣ab2=0，ab=b+≥2
故选B
点评：本题考查两条直线垂直的判定，考查计算推理能力，是基础题．
7．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．
专题：计算题；新定义；三角函数的图像与性质．
分析：由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．
解答：解：由定义的行列式运算，得
=
==
=．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
所得图象对应的函数解析式为．
由该函数为奇函数，得，
所以，则m=．
当k=0时，m有最小值．
故选C．
点评：本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．
8．已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点：向量的模．
专题：计算题．
分析：利用D为BC边的中点，，再利用向量的模的定义求出向量的模．
解答：解：=，
故选 A．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体
积为（）
A．B．C．2 D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．
解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，
∴V==．
点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．
10．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x2）＞的解集为（）
A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）
考点：导数的运算；其他不等式的解法．
专题：计算题．
分析：所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x），构造单调递减函数h（x）=f（x）﹣，利用其单减性求解．解答：解：∵f′（x），
∴f′（x）﹣＜0，
设h（x）=f（x）﹣，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．
不等式f（x2）＞，
即为f（x2）x2＞，
即h（x2）＞h（1），
得x2＜1，解得﹣1＜x＜1，
∴原不等式的解集为（﹣1，1）．
故选：D．
点评：本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．
11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．2
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，由此能求出结果．
解答：解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，
即4c2=m2+n2﹣mn，
设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，
a1=3a2，e1•e2=•==1，
解得e2=．
故选A．
点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．
12．设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A．f p=f B．f p=f C．f p=f D．f p=f
考点：分段函数的应用．
专题：新定义；函数的性质及应用．
分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再
对选项一一加以判断，即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，
∴f2（x）=，
∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；
B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；
C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；
D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．
故选：B．
点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．二、填空题
13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是{x|x＜2} ．
考点：其他不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0，当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0，解不等式即可求解
解答：解：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0
解可得，﹣2≤x≤1
此时x不存在
当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0即x2﹣x+2≥0
解不等式可得x∈R
此时x＜2
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜2}
故答案为：{x|x＜2}
点评：本题主要考查了二次不等式的求解，解题中要注意分类讨论的应用．
14．设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：根据已知的约束条件，，画出满足约束条件的可行域，分析ω=的取值表示的几何意义，结合图象即可给出ω=的取值的取值范围．
解答：解：约束条件，对应的平面区域如下图示：
ω==的表示可行域内的点P（x，y）与点Q（0，﹣1）连线的斜率的倒数，由图可知ω=的取值范围是，
故答案为：．
点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8 ．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．
解答：解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．
考点：函数的零点；分段函数的应用．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题
17．（10分）（2015秋•黄冈月考）设命题p：∀x∈，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：导数的综合应用；简易逻辑．
分析：命题p：，令，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出；命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=≥0，基础a的范围．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．即可得出．
解答：解：命题p：，
令，
=，
∴f min（x）=f（1）=，
∴．
命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2．
命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．
（1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；
（2）当p假q真，
综合，a的取值范围．
点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究其单调性极值与最值、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2012•武昌区模拟）已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的最小值．
考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
专题：综合题；解三角形．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos
﹣cos2xsin）
=1+sin2x+=1+sin（2x+）．
∴函数f（x）的最大值为2．
要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）
∴x=kπ+（k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．
（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，
∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=
在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．
由b+c=2，知，即a2≥1．
∴当b=c=1时，实数a取最小值1．
点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．
19．（12分）（2015春•建瓯市校级期末）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n∈N*．（1）求证：数列{﹣1}为等比数列；
（2）记S n=++…+，若S n＜100，求满足条件的最大正整数n的值．
考点：数列的求和；等比关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用数列递推式，变形可得得，从而可证数列为等比数列；
（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n．
解答：证明：（1）∵a n+1=，
∴=+，
∴，
∵a1=，
∴﹣1=，
∴为以为首项，以为等比的等比数列．
（2）由（1）知﹣1=×（）n﹣1，
∴=2×（）n+1，
∴S n=++…+=n+2×（++…+）=n+2×=n+1﹣，
∵S n＜100，
∴，
故n max=99
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．
20．（12分）（2014•启东市模拟）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．
（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：应用题；导数的综合应用．
分析：（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，令瞬时速度即s′=0，可求t，再代入s可求；（2）汽车静止时v=0，故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在内有解，，令，利用导数可求得f（t）的范围，从而可得k的范围；
解答：解：（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，
这时汽车的瞬时速度为V=s′=15t2﹣16t+1，
令s′=0，解得t=1（舍）或，
当时，，
所以汽车的刹车距离是米．
（2）汽车的瞬时速度为v=s′，∴v=15t2﹣2kt+1，
汽车静止时v=0，
故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在内有解，
又，
∵，当且仅当时取等号，
∵，∴记，，
∵t∈，∴，∴f（t）单调递增，
∴，，即，
故k的取值范围为．
点评：该题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，在实际问题中构建恰当函数是解决问题的关键．
21．（12分）（2015秋•黄冈月考）在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（I）若向量与夹角为锐角，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区城（含边界）内，=m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．
考点：平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：（I）由题意求得和的坐标，令=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得实数a 的取值范围．
（Ⅱ）由=m+n=（m+2n，2m+n），由，可得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．
解答：解：（I）由题意可得=（2﹣a，3﹣a），=（3﹣a，2﹣a），
若向量与夹角为锐角，则=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得a＜2或a＞3．
（Ⅱ）∵a=1，=m+n=m（1，2）+n（2，1）=（m+2n，2m+n）（m，n∈R），
由，可得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图可知，
当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为：1．
点评：本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．
22．（12分）（2013秋•天津期中）已知f（x）=x3+ax2+bx+4，g（x）=mx3﹣6mx2+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（x）在（1，f（1））处的切线方程得到f′（1）和f（1）的值，联立方程组求得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函数f（x）d的解析式，利用导数求出函数在上的值域，然后对k﹣2分类讨论分析方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数；
（Ⅲ）利用导数分析出g（x）的单调性，求出g（x）的极值与在区间上的端点值，由题意得到
g（x）⊆f（x），然后对m分类列不等式求解m的范围．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2+bx+4，得
f′（x）=x2+2ax+b，
∵f′（1）=﹣3，f（1）=，
∴，解得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x2﹣4，f（x）=，
∴当x∈（0，2）时，原函数为减函数，当x∈（2，3）时，原函数为增函数，
又f（0）=4，f（2）=，f（3）=1．
∴当x∈时，．
①当k﹣2＜﹣或k﹣2＞4，即k或k＞6时，函数y=f（x）与y=k﹣2无交点，方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数是0．
②当，即时，函数y=f（x）与y=k﹣2有2个交点，
方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数是2．
③当1＜k﹣2≤4，即3＜k≤6时，函数y=f（x）与y=k﹣2有1个交点，
或k=时，函数y=f（x）与y=k﹣2有1个交点，
方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的个数是1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知．
又g（x）=mx3﹣6mx2+2（m≠0），
∴g′（x）=3mx2﹣12mx=3mx（x﹣4），
令g′（x）=0，得x=0，
又g（﹣1）=2﹣7m，g（0=2），g（2）=2﹣16m，
由题意知g（x）⊆f（x），
当m＞0时，g（0）=2＜4，
g（﹣1）=2﹣7m，
g（2）=2﹣16m，
解得0＜m；
当m＜0时，g（2）=2﹣16m≤4，
g（﹣1）=2﹣7m≤4，
解得．
故实数m的取值范围是0＜m或．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，运用了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，解答（Ⅲ）时对题意的正确理解是关键，是压轴题．
23．（12分）（2013秋•天津期中）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e 是自然常数，a∈R
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）求证++…+＜．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣=，分别讨论①当a≤0时，②a＞0时的情况；
（Ⅱ）设存在实在a，使f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值2，再分别讨论①当a≤0时②当0＜＜e时③当≥e时的情况；
（Ⅲ）g′（x）==0，则 g（x）max=g（e）=，有≤，从而有++…+
＜（1﹣）＜．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣=，
∴当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减区间为（0，e），
当a＞0时，x=，
（1）当≤e时，即a≥时，
f（x）单调递减区间为（0，），
f（x）单调递增区间为（，e），
（2）当＞e时，即 a＜时，f（x）单调递减区间为（0，e），无增区间；
（Ⅱ）设存在实在a，使f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值2，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=2，
则a=（舍去）所以，此时f（x）无最小值．
②当0＜＜e时，f（x）min=f（）=1+lna=2，
则a=e，满足条件．
③当≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，
则a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值2．
（Ⅲ）g′（x）==0，所以g（x）单调递减区间为（e，+∞），
g（x）单调递增区间为（0，e），
则 g（x）max=g（e）=
所以≤，
则有≤，
∴＜=（﹣），（n≥2），
则＜（1﹣），＜（﹣），…
＜（﹣），（n≥2），
∴++…+＜（1﹣）＜．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．。