2020版高中数学高二必修5教案及练习归纳整理17知识讲解数列的求和问题基础

数列的求和问题
【学习目标】
1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式;
2.掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式;
3.熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法;注意观察数列的特点和规律,在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.
【要点梳理】
要点一、数列的前n 项和S n 的相关公式
任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式:
1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
等差数列的前n 项和n S 公式:
211()(1)
22
n n n a a n n S na d An Bn +-=
=+=+(A B 、为常数) 当d≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0; 当d=0时(a 1≠0),S n =na 1是关于n 的正比例式. 等比数列的前n 项和n S 公式: 当1q =时,1n a a =,1231n n S a a a a na =+++
+=,
当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1或q
q
a a S n n --=11
要点诠释:等比数列的求和中若q 的范围不确定,要特别注意1q =的情况. 要点二、求数列的前n 项和的几种常用方法 公式法:
如果一个数列是等差或者等比数列,求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前
n 项和公式求和;
倒序相加法:
等差数列前n 项和的推导方法,即将n S 倒写 后再与n S 相加,从而达到(化多为少)求和的目的,常用于组合数列求和.
裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差,以达到
在求和的时候隔项正负相抵消的目的,使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1
(1)
n a n n =
+的数列求和.
常见的拆项公式: ①
)1
1(1)(1k
n n k k n n +-=+∙;
②若{}n a 为等差数列,且公差d 不为0,首项也不为0,则
11
1111
()n n n n a a d a a ∙++=-;
③若{}n a 的通项的分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时,则
)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
.
④
n n n
n -+=++111;
)(1
1n k n k
n
k n -+=
++. 分解求和与并项求和法:
把数列的每一项拆分成两项或者多项,或者把数列的项重新组合,或者把整个数列分成两部分等等,使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为a n =2n+3n 的数列求和.
错位相减法:
如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的,求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n c b a ⋅=(其中{}n b 是公差d≠0的等差数列,{}n c 是公比q≠1的等比数列)(也称为“差比数列”)的数列求前
n 项和n S .例如对通项公式为(21)2n n a n =-⋅的数列求和.
一般步骤:
n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211,则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++
所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 要点诠释:
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后,再错位相减求出其前n 项和;
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1,若q=1,错位相减法会不成立.
要点三、掌握一些常见数列的前n 项和公式 1.2
)
1(321+=++++n n n ; 2.2135(21)n n +++
+-=
3.6
)
12)(1(3212222++=
++++n n n n ;
要点诠释:前两个公式结论最好能熟记,这样解题时会更加方便. 【典型例题】
类型一:公式法:直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式
例1.设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n N =-∈则1215||||+||a a a ++……= 【思路点拨】对含绝对值的式子,首先去绝对值号,再考虑分组为等差或等比之和。

【参考答案】
【试题解析】由0,n a >得7,2
n ≥取4,n ≥则
1215||||+||
a a a ++……1234515=()(+)(135)(135+23a a a a a a -+++++=++++++…………）
1
=9+1+232
⨯（）12=153.
【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和,关键是要去掉绝对值符号,去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法,所以此题的关键是要看n a 的符号. 举一反三:
【变式】已知{}n a 是首项为1的等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,且369,S S =则数
列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5项和为 【参考答案】
3116
【试题解析】由题意知,显然1q ≠
∵123123456,9()a a a a a a a a a ++=+++++ ∴123456,8()a a a a a a ++=++
31231238()()a a a a a a q ++=++
∴12,2n n q a -== ∴
01412511111131++22216
a a a ++=++=………… 类型二:错位相减法
例2.设0a ≠,求数列:a ,22a ,33a ,…, n na ,…的前n 项和n S . 【思路点拨】
原数列不是等差等比数列,但字母部分:a ,2
a ,3
a ,…,n
a ,…是等比数列,系数部分
1,2,3,…,n ,…是等差数列,对数列中任一项若除以a ,则与前项同类项,系数大1,若乘以
a ,它与它的后项是关于a 的同类项,且系数小1,联系等比数列求和方法,错项相减法(注意
当等比数列公比不为1的时候)
【试题解析】
当1a =时,(1)
123 (2)
n n n S n +=++++=
当1a ≠时,2323...n
n S a a a na =++++ …… ① 则2341
23...n n a S a a a na +⋅=++++ …… ②
由①-②可得:23
1
1
1(1)(1)1n n n n n n a a a S a a a a
a na
na a
-++--=+++
++-=--,
∴a na a a a S n n n ----=++1)
1(1
2
1. 【总结升华】
1.一般地,如果等差数列}a {n 与等比数列}b {n 的对应项相乘形成的数列}b a {n n (也称为“差比数列”)都用错位相减的办法来求前n 项之和n S .
2.错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法,一般都选择乘以q;
3.在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1,若q=1,错项相减法会不成立.
举一反三:
【高清课堂:数列的求和问题381055 典型例题3】
【变式1】求和231
1234...n n S x x x nx -=+++++(x R ∈).
【参考答案】 (1)当0x =时,1n S =
(2)当1x =时,2
)
1(321+=++++=n n n S n (3)当0x ≠且1x ≠时,
2
1)
1()1(1x x n nx S n
n n -+-+=+. 【变式2】求数列1234,,,,,,248162
n n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S . 【参考答案】
1234248162n n n
S =
++++⋅⋅⋅+ 11123424816322
n n n S +=++++⋅⋅⋅+ ∴111
11111(1)12
248222
2
n n n n n n n
S ++⎛
⎫-=
+++⋅⋅⋅+-=-- ⎪⎝⎭ 11222
n n n
n
S -∴=-
- 类型三:裂项相消法 例3.求数列 )
1(1
431321211+⨯⨯⨯n n ，，，，的前n 项的和n S . 【思路点拨】
观察数列特征:)
1(1
+=
n n a n 中每项都是个分数,相邻两项之间有公因式,考查每项可
作哪些变化,变化之后再来看有无规律;或看邻项之间运算关系。

∵
1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n ,即每一项都可变为两个数的差,即
211211-=⨯,4
131431,3121321-=⨯-=⨯,…,且每项拆裂出作差的两数,被减数恰是前项裂出的减数,它的减数呢又是它后项裂出的被减数,正好可以消去.
【试题解析】 ∵11
1)1(1+-=+=
n n n n a n ,
∴1111
122334
(1)
n S n n =
++++⨯⨯⨯+
1111111
(1)()()()223341
n n =-+-+-+
+-+
11111111223341
1
111
n n n n n =-+-+-+
+
-
+=-
+=
+
【总结升华】
1.本题所用的方法叫做裂项相消法,就是将数列的每一项“一拆为二”,即每一项拆成两项之差,以达到隔项相消之目的.一般地,对于裂项后有明显相消项的一类数列,在求和时常用此法,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.
2.在学习中也应积累一些常见的拆项公式,如: ①
)1
1(1)(1k
n n k k n n +-=+∙;
②若{}n a 为等差数列,公差为d,则
11
1111
()n n n n a a d a a ∙++=-;
③
n n n
n -+=++111
,
)(1
1n k n k
n
k n -+=
++. 举一反三:
【变式1
,……的前n 项和n S .
【参考答案】∵11++=
n n a n n n -+=1
∴1
12
313
212
11+++
+++
+++=
n n S n
n n -+++-+-+-=1322312
11-+=n
【变式2】求和:)(21132112111+∈++++++++++
N n n
(*
n N ∈)
【参考答案】∵)11
1(2)1(22
)1(1211+-=+=+=+++=k k k k k k k a k ,
∴ )
1(2432322212+++⨯+⨯+⨯=
n n S n
11111
111
2[()()(
)()]12233
41
122(1)11
n n n
n n =-+-+-++-+=-=
++
类型四:分组转化法求和
例4.已知{a n }是等差数列,满足a 1＝3,a 4＝12,数列{b n }满足b 1＝4,b 4＝20,且{b n －a n }为等比数列.
(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和.
【参考答案】(Ⅰ)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2,…),b n ＝3n ＋2n －1
(n ＝1,2,…).
(Ⅱ)
2
3n (n ＋1)＋2n
－1. 【试题解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得
33
3
12314=-=-=
a a d . ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2,…),
设等比数列{b n －a n }的公比为q ,则
83
412
2011443=--=--=
a b a b q ,∴q ＝2,
∴b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1
＝2n －1
,
∴b n ＝3n ＋2n －1
(n ＝1,2,…).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝3n ＋2n －1
(n ＝1,2,…).
∵数列{3n }的前n 项和为2
3n (n ＋1),数列{2n －1
}的前n 项和为1221211-=--⨯
n n , ∴数列{b n }的前n 项和为
2
3n (n ＋1)＋2n
－1. 【总结升华】
1.一般数列求和,先认真理解分析所给数列的特征规律,联系所学,考虑化归为等差、等比数列或常数列,然后用熟知的公式求解.
2.一般地,如果等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的对应项相加而形成的数列{}n n a b +都用分组求和的办法来求前n 项之和n S .
举一反三:
【变式1】求和23(21)(21)(21)...(21)n
n S =++++++++
【参考答案】231
(222...2)22n n n S n n +=+++++=+-
【高清课堂:数列的求和问题381055典型例题1】
【变式2】已知数列{}n x 的首项13x =,通项2n
n x p n q =⋅+⋅(*n N ∈,,p q 是常数),且
145,,x x x 成等差数列.
(1)求,p q 的值;
(2)求数列{}n x 的前n 项和n S . 【试题解析】
(1)232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得1
1q p =⎧⎨=⎩
(2)
12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++…………
=12(22+2)(123+n)n ++++++………… =1(1)
222
n n n ++-+
12312(222...2)2(123...)2(12)(1)212222
n n n n n n n n +=+++++++++-+=+⋅
-=++-
【变式3】(2016 北京文)已知{a n }是等差数列,{b n }是等差数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;
(Ⅱ)设c n = a n + b n ,求数列{c n }的前n 项和. 【参考答案】(Ⅰ)等比数列{b n }的公比329
33
b q b =
==, 所以2
11b b q
=
=,b 4=b 3q=27。

设等差数列{a n }的公差为d 。

因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2。

所以a n =2n －1(n=1,2,3,…) (Ⅱ)由(1)知,a n =2n －1,b n =3n －
1.
因此c n =a n +b n =2n －1+3n －
1.
从而数列{c n }的前n 项和
例5.已知数列{}n a 的前n 项和1
159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--,求
15S ,22S 的值.
【思路点拨】
该数列{}n a 的特征:1
(1)(43)n n a n -=--,既非等差亦非等比,但也有规律:所有奇数项
构成以1为首项8为公差的等差数列,偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列,因而可以对奇数项和偶数项分组求和;还有规律:1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-(n 为奇数),可以将相邻两项组合在一起。

【试题解析】
方法一:由1
(1)(43)n n a n -=--
∴158(157)7(553)
[19...(4153)][513...(4143)]2922
S ++=+++⨯--+++⨯-=
-=
2211(181)11(585)
[19...(4213)][513...(4223)]4422
S ++=+++⨯--+++⨯-=
-=- 方法二:由1
(1)(43)n n a n -=--
∴当n 为奇数,*n N ∈时, 1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-, 当n 为偶数,*n N ∈时, 1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=,
∴151(59)(1317)(2125)...(5357)17429S =+-++-++-+++-+=+⨯=, 22(15)(913)(1721)...(8185)11(4)44S =-+-+-++-=⨯-=- 【总结升华】
1.对通项公式中含有n )1(-或1n )1(+-的一类数列,在求n S 时要注意讨论n 的奇偶情况.
2.对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合,可能会有更简洁的运算结果. 举一反三:
【变式1】求21-,22,23-,24,…,2(1)n
n ∙
-,…的前50项之和50S 以及前n 项之和n S .
【参考答案】
(1)设22
(21)(2)41k b k k k =--+=-,则数列{}k b 为等差数列,且50S 是{}k b 的前25项
之和25T ,
所以502525[3(4251)]
12752
S T +⨯-==
=.
(2)当n 为偶数即*2()n k k N =∈时,
(341)2n k k k S T +-==
1
(21)(1)2
k k n n =+=+.
当n 为奇数即*21()n k k N =+∈时,2221(1)
(21)(1)22
n k n n S T n k k n n n n +=-=+-=
--=-
. 【变式2】(2014 湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2
2n
n +,n ∈N *.
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n ＝n n a a n
)1(2
-+,求数列{b n }的前2n 项和.
【参考答案】
(Ⅰ)当n ＝1时,a 1＝s 1＝1,
当n ≥2时,a n ＝s n －s n －1＝2
)
1()1(222-+--+n n n n ＝n , ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝n .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n ＝2n +(－1)n n ,记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则 T 2n ＝(21+22+…+22n )+(－1+2－3+4－…+2n )
＝2
1)21(22--n +n ＝22n +1+n －2.
∴数列{b n }的前2n 项和为22n +1+n －2.。