2020中考数学冲刺练习-第09讲 方案设计性问题-

2020数学中考冲刺专项练习
专题09方案设计性问题
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；
方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．
方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：
1．根据实际问题拼接或分割图形；
2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．
方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．
解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．
解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.
【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；
【原创1】为了迎接全市的“传统文化体验教育现场会”，我校需要购进一批圆珠笔和笔记本，通过调查发现购买3支圆珠笔和4本笔记本需要18元；购买2支圆珠笔和1本笔记本需要7元。

（1）求圆珠笔和笔记本的单价各是多少元？
学校计划购进圆珠笔和笔记本共900件，其中笔记本的件数不少于圆珠笔的件数，并且计划消费不超过1355元，请问共有几种购买方案？
【原创2】李老师利用2018年寒假期间做起了微商，通过对市场行情了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜，通过一周的内两次的订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元。

（1）请求出这两种水果每箱的价格是多少元？
（2）李老师为了满足春节需求采用薄利多销的方式，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，共购进了这两种水果200箱，但是每种水果进货箱数不能少于30箱，获得的利润为W元，购进的冰糖橙箱数为a箱，求W关于a的函数关系式，并写出a取值范围；
（3）在条件（2）的销售情况下，冰糖橙的箱数不能超过西瓜的5倍，请你设计下进货方案，并计算出李老师能获得的最大利润是多少？
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；
【例题1】利用方程（组）进行方案设计
学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．
(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元；
(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
【例题2】利用不等式（组）进行方案设计
为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，
于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过
．．．84万元，
预计二期工程完成后每月将产生不少于
．．．1300吨污水.
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买案；
（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）
【例题3】利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计
为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．
(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？
(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函数关系式；
(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱．
【例题4】利用函数知识进行方案设计
（2018·浙江省台州·12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所
示的函数关系，其图象是函数P= 120
4
t+
（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每
吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
28,012
44,1224
t t
t t
+<≤
⎧
⎨
-+<≤
⎩
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．
【例题5】利用几何知识进行方案设计
手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注：不同的分法,面积可以相等)
【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

1.下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2.今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨.现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨.李大叔安排甲、乙两种货车时有( )种方案.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.宜宾市某化工厂,现有A种原料52千克,B种原料64千克,现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件.已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克,B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原料2千克,B种原料4千克,则生产方案的种数为()
A.4
B.5
C.6
D.7
4.某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误
．．的是（）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
5. (2018·滨州中考)如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6. （2018•湖南省永州市•4分）现有A 、B 两个大型储油罐，它们相距2km ，计划修建一条笔直的输油管道，使得A 、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km ，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种．
7. 某市有甲、乙两家液化气站,他们的每罐液化气的价格、质量都相同.为了促销,甲站的液化气每罐降价25%销售;乙站的液化气第1罐按原价销售,从第2罐开始以7折优惠销售,若小明家购买8罐液化气,则最省钱的方法是买 站的.
8. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
(1)每支钢笔的价格为 ；每本笔记本的价格为 ；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 种购买方案？请你一一写出 ．
9. 从边长为a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图1﹚，可以拼成一个平行四边形ABCD ﹙如图2﹚．已知∠A=45°，AB=8，AD=42．则原来的大正方形的面积为 ．
10. 几何模型：
条件：如下左图，A 、B 是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．
方法：作点A 关于直线的对称点A '，连结A B '交于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：
（1） 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________； （2） 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是___________；
（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR
△
周长的最小值是___________．
三、解答题：
11. 某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.
(1)求出该班男生与女生的人数；
(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？
答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．
12.在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．
(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．
13.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。

春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折。

设x(单位：元)表示商品原价,y(单位：元)表示购物金额。

(Ⅰ)根据题意,填写下表：(单位：元)
(Ⅱ)分别就两家商场的让利方式，写出y关于x的函数解析式；
(Ⅲ)春节期间，当在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际花费少?
14.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．
(1)当n＝200时，
①根据信息填表：
A地B地C地合计
产品件数(件) x 2x 200
运费(元) 30x
②若运往B
(2)若总运费为5800元，求n的最小值．
15.某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)
(1)试用含x的代数式表示y；
2020中考冲刺数学专项复习(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.。