数学-高中数学《 充要条件》教案2 选修2-1

里的条件和结论各是什么。

证明：（1）先证充分性
∵0.q <∴方程20x px q ++=的2
40p q ∆=->
∴方程20x px q ++=有两个不相等的实根，设其为12x x ，。

∵120x x q =<·∴方程20x px q ++=有两个异号实根
（2）再证必要性
∵方程20x px q ++=有两个异号实根，设其为12x x ，
∴120x x <·∵12x x q =·∴0q <
由（1）（2）原命题得证。

评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立. 它亦等价于证明：
(1)原命题和否命题都成立；
(2)逆否命题和逆命题都成立；
(3)逆否命题和否命题都成立.
这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.
六、回顾反思
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
七、课后练习
1． “xy ＞0”是“｜x+y ｜=｜x ｜+｜y ｜”
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2．“A ∩B=A ”是A=B 的( ).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；
如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；
如图(3)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；
如图(4)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；
4．抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为x=2的充要条件是
______________;
5．判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A ∶ax 2+ax+1＞0的解集为R ，结论B ∶0＜a ＜4；
(2)条件p ∶A B ，结论q ∶A ∪B=B.
6．已知全集R ，A=｛x ｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x ｜｜x ｜＞a,a ∈N +｝.当a
为何值时.
①A 是B 的充分而不必要条件；
②A 是B 的必要而不充分条件；
③A 是B 的充要条件.
八、参考答案：
1． A 2．B3．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.
4．4a+b=0
5．解：(1)∵△=a 2-4a ＜0，即0＜a ＜4
∴当0＜a ＜4时，ax 2+ax+1＞0恒成立.故B ⇒A.
而当a=0时，ax 2+ax+1＞0恒成立，∴A B.
故A 为B 的必要不充分条件.
(2)∵A B ⇒A ∪B=B ，
而当A=B 时，A ∪B=B ，即q p ，
∴p 为q 的充分不必要条件.
6． p ≥4时，“4x+p ＜0”是“x 2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p ，
使“4x+p ＜0”是“x 2-x-2＞0”的必要条件.
思考题：试寻求关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要
条件.
解法1：关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)
内有实根⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(1200f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011
002042n m n m n m . 解法2：
方程在(0，1)内有实根
⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00021
212121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011
002042n m n m n m .。